Цензурированная модель (tobit-модель).

Для описания зависимости цензурированной переменной y_t от влияющих на нее факторов обычно используется так называемая tobit-модель.

Tobit-модель исходит из того, что цензурированная переменная y_t описывается следующим выражением:

 

y_t=a¢×x_t+e_t. (10.159)

 

где y_t – наблюдаемые значения зависимой переменной (например, либо фактические расходы на отдых за границей, либо 0); x_t – вектор независимых переменных, влияющих на зависимую переменную y_t, a – вектор параметров; e_t – ошибка модели.

Далее tobit-модель предполагает, что цензурированным значениям y_t (т. е. y_t=0; b=0 – точка цензурирования) соответствует неположительное произведение a¢×x_t (a¢×x_t£0); а нецензурированным значениям y_t – положительное (a¢×x_t>0).

Из выражения (10.159) следует, что условное математическое ожидание переменной у_t по факторам x_t определяется как

M[у_t]=a¢×x_t. (10.160)

 

Математическое ожидание у_t с учетом цензурирования (т. е. M[у_t^цен]) для точки цензурирования b=0 определяются следующим образом (см. выражение (10.154)):

 

где

 

 

В соответствии с выражением (10.160) маржинальные эффекты факторов x_t для математического ожидания переменной у_t (без учета цензурирования) определяются как

 

В соответствии с выражением (10.161) маржинальные эффекты факторов x_t для математического ожидания переменной у_t с учетом цензурирования могут быть представлены в следующем виде:

 

 

Заметим, что tobit-модель предполагает, что изменение факторов x_t приводит к тому, что вероятность P(y_t>0) и математическое ожидание М(y_t|y_t>0) обязательно меняются в одинаковом направлении. Действительно, согласно выражению (10.156) вероятность того, что у_t>0 определяется как

 

P(у_t>0)=P(a¢×x_t >0)=F(a¢×x_t /s). (10.165)

 

Соответственно маржинальный эффект факторов x_t для вероятности P(у_t>0) может быть представлен в следующем виде:

 

¶P(y_t>0)/¶х_t=j(a¢×x_t)×a. (10.166)

 

Если коэффициент a_i положителен, то согласно выражениям (10.164) и (10.166) с увеличением фактора х_it (i=1,2,..., n; t=1,2,..., T) увеличивается как математическое ожидание М(y_t|y_t>0), так и вероятность P(y_t>0), и, наоборот, при отрицательном a_i с ростом фактора х_it эти показатели уменьшаются.

Вместе с тем заметим, что эффект одновременного увеличения математического ожидания и вероятности при увеличении некоторого независимого фактора х_i на практике может и не иметь место. В частности, как показали Фин и Шмидт (Fin and Schmidt, 1984), независимая переменная х_i, увеличивающая вероятность нецензурированного наблюдения (P(y_t>0)), не всегда увеличивает и математическое ожидание переменной (М(y_t|y_t>0)). В качестве примера они приводят потери от пожаров в зданиях. Вероятность возникновения пожара в старом здании выше, следовательно ¶P(y_t>0)/¶х_it>0 (х_it – возраст t-го здания), но так как старое здание стоит дешевле, то и пожар в нем приносит меньше убытков, т. е. ¶М(y_t|y_t>0)/¶х_it<0. Таким образом, в данной задаче предполагается, что коэффициент a_i при факторе “возраст здания” имеет разные знаки в функциях вероятности и математического ожидания. В рамках tobit-модели это учесть невозможно.

Для описания процессов, в рамках которых предположение об одинаковом характере маржинального эффекта математического ожидания и вероятности не выполняется, была предложена более общая модель, являющаяся сочетанием одномерной probit-модели и усеченной регрессии (для нецензурированных значений зависимой переменной).

На основе probit-модели определяется вероятность нецензурированного (или цензурированного) наблюдения при данном наборе факторов x_t.

 

P[у_t>0]=F(g¢x_t); z_t =1,

P[у_t=0]=1–F(g¢x_t); z_t =0, (10.167)

 

где F(g¢x_t) – интегральная функция закона нормального распределения, определяющая вероятность нецензурированного наблюдения; g – вектор параметров модели, z_t – переменная-индикатор, принимающая значение 1 для нецензурированного наблюдения и значение 0 – для цензурированного.

Далее на основе модели усеченной регрессии определяется математическое ожидание нецензурированного наблюдения. В соответствии с выражением (10.150) математическое ожидание нецензурированной переменной может быть представлено в следующем виде:

M[у_t |z_t =1]=a¢x_t +s×l_t. (10.168)

 

Заметим, что если g=a/s, то модель (10.167)–(10.168) сводится к tobit-модели.