Сумма квадратов значений фактической ошибки модели должна быть минимальной.

Иными словами, найденные с помощью МНК оценки a₀, a₁,..., a_n, обеспечивают минимум следующей квадратичной формы на множестве всех других комбинаций значений таких оценок:

 

 

где e_t – значение фактической ошибки модели в момент t=1,2,..., Т, полученное после подстановки в выражение (1.2) вместо неизвестных истинных значений параметров a₀, a₁,..., a_n их оценок a₀, a₁,..., a_n.

Оптимальные по данному критерию значения оценок в этом случае могут быть найдены путем решения следующей системы так называемых “нормальных” уравнений, вытекающей из условия равенства нулю частных производных функции s² (a₀, a₁,..., a_n) по своим параметрам в точке минимума:

 

 

 

В системе (2.3) неизвестными являются оценки параметров a₀, a₁,..., a_n, а ее известные коэффициенты сформированы на основе исходных данных и представлены в виде следующих сумм: i,j=1,2,..., п. Решения, получаемые на основе развернутой формы системы (2.3), достаточно громоздки, и поэтому в дальнейшем в математических выкладках общего характера будем использовать векторно-матричную форму представления ее составляющих.

Векторно-матричная форма записи линейной эконометрической модели (1.2) имеет следующий вид:

у=Х×a+e, (2.4)

 

где у – вектор-столбец, состоящий из Т компонент; Х – матрица размера Т´(п+1) (если в модели присутствует “свободный” коэффициент a₀); a=(a₀, a₁,..., a_n)¢– вектор-столбец параметров, состоящий из п+1-й компоненты; e – вектор-стобец ошибки модели, состоящий, как и вектор у, из Т компонент.

Соответственно векторно-матричный вариант модели, в котором вместо неизвестных истинных коэффициентов a и ошибок e используются их оценки, т. е. вектора а и е, запишем в следующем виде:

у=Х×а+е, (2.5)

 

где а=(а₀, а₁,..., а_n)¢, е=(е₁, е₂,..., е_Т)¢– вектора значений оценок коэффициентов линейной эконометрической модели и значений ее фактической ошибки соответственно.

Сумму квадратов значений ошибки s² можем представить в виде скалярного произведения вектора-строки е¢ на вектор-столбец е. Проводя несложные преобразования с учетом правил произведения векторов и матриц, получим следующий результат:

s² =(е¢, е)=(у–Х×a)¢(у–Х×a)= у¢у–a¢Х¢у–у¢Хa+a¢Х¢Хa=

=у¢у–2a¢Х¢у+a¢Х¢Хa. (2.6)

 

При проведении преобразований учитывалось правило транспонирования векторно-матричного произведения (z×W)¢=(W¢×z¢).

Условие (2.3) в векторной форме записи приобретает следующий вид:

 

¶s²/¶a=0. (2.7)

 

Заметим, что в выражении (2.7) операция дифференцирования осуществляется по вектору.

С учетом выражения (2.6) уравнение (2.7) приводится к следующему виду:

 

¶s²/¶a=¶(у¢у–2a¢Х¢у+a¢Х¢Хa)/¶a=–2Х¢у+2Х¢Хa=0

или