Качественные характеристики оценок параметров нелинейных эконометрических моделей

Помимо определения точечных значений оценок параметров нелинейных эконометрических моделей в эконометрических исследованиях большое внимание уделяется и поиску их интервальных характеристик, по величине которых можно судить о качестве построенного варианта эконометрической модели. Напомним, что совокупность интервальных характеристик параметров линейных эконометрических моделей можно определить на основе элементов ковариационной матрицы их оценок, определенных для независимых и гомоскедастичных ошибок выражением (2.18)

 

Cov(a)= s_e ²×(X¢×X)^–1,

 

где Х – матрица значений независимых параметров.

Для нелинейной эконометрической модели в аналитическом виде получить аналог выражению (2.18) не представляется возможным. Однако можно определить некоторое приближение ковариационной матрицы оптимальных оценок параметров модели в области минимума суммы квадратов ошибки. Для этого разложим нелинейный функционал модели в окрестности точки оптимума параметров a_* в ряд Тейлора. В результате в соответствии с выражениями (11.19)–(11.23) получим

 

где f_* – вектор расчетных значений функционала f(a, х) в точке параметров a_*, принадлежащей окрестности оптимума; Х_* – матрица производных ¶ f_t /¶a_i, определенная согласно выражению (11.21) в точке a_*, h – ошибка разложения.

Перепишем выражение (11.34) в следующем виде:

 

g=

 

где вектор g определяется согласно выражению:

 

g=у– f_*(a, х)+

 

Несложно заметить, что все компоненты вектора g в точке a_* известны. Из этого вытекает, что в окрестности оптимума нелинейная эконометрическая модель может быть представлена в линейной форме записи (11.35).

В соответствии с этим, согласно выражению (2.18), ковариационная матрица оптимальных оценок параметров модели a может быть представлена в следующем приближенном виде:

 

Cov(a)= s_h²×

 

Приближенный характер матрицы Cov(a) обусловлен использованием аппроксимирующего приближения Тейлора для нелинейной модели и соответствующей ему точки a_* из окрестности оптимума (а также матрицы ). В этом случае, также как и в случае выражения (2.34), можно показать, что найденные оценки a при Т®¥ являются приблизительно состоятельными, а их распределение является асимптотически нормальным

 

(a,

где