Методы оценки дисперсии прогноза при случайном прогнозном фоне

При случайном прогнозном фоне обычно предполагается, что значения независимых факторов в будущие моменты времени T+k являются случайными величинами, которые можно представить в виде суммы их математических ожиданий и случайных ошибок

 

При этом дисперсии и ковариации ошибок Dхi,T+1, Dхj,T+1, в общем случае предполагаются известными, и математические ожидания ошибок M[Dхi,T+1]=0; i, j=1,...,n; s2(х0)=M[Dх0]=0 в силу тождества х0º1.

Тогда, например, для момента Т+1 истинное значение прогноза определяется следующим выражением:

 

 

Далее обычно выдвигается вполне реалистическое предположение о независимости ошибок оценок параметров модели Dаi и соответствующего прогнозного фона Dхi,T+1. Их независимость, в частности, является следствием того, что параметры модели и прогнозный фон обычно определяются в ходе разных, не связанных между собой исследований.

После раскрытия скобок в выражении (12.27) несложно заметить, что расчетное прогнозное значение (математическое ожидание процесса) определяется выражением (12.11), а его ошибка DуT+1 – выражением следующего вида:

 

где х0, T+1º1, Dх0,T+1º0.

Дисперсия такой ошибки определяется на основании известного выражения s2(DуT+1)=M[DуT+1]2 с учетом некоторых дополнительных предположений, касающихся свойств ошибки модели. В случае ее гомоскедастичности и отсутствия автокорреляционных связей, т. е. при se2=const, Сov(e)=se2×E, имеет место и независимость ошибок коэффициентов модели Dаi и ошибки eT+1. Независимость ошибки прогнозного фона и ошибки eT+1 практически очевидна.

В этом случае, возводя в квадрат правую часть выражения (12.28) и беря математическое ожидание от полученного выражения после несложных вычислений, получим

 

где cov(хi,T+1, хj,T+1) – ковариация случайных i-го и j-го значений прогнозного фона; при i=j, cov(ai, aj)=s2(ai,); cov(хi,T+1, хj,T+1)=s2(хi,T+1); cov(ai, aj)=cov(aj, ai) и cov(хi,T+1, хj,T+1)=cov(хj,T+1, хi,T+1); х0,T+1=0; s2(х0,T+1)=0; cov(хi0,T+1, хj,T+1)=0, j=1,...,n.

При выводе выражения (12.29) также учтено, что математические ожидания сомножителей типа Dаi×Dхi,T+1×Dхj,T+1×Daj, Dхi,T+1×Dаi×Daj×Dхj,T+1, Dаi×Dхj,T+1×Daj×Dхi,T+1 равны нулю в силу введенных предположений о равенстве нулю математических ожиданий рассматриваемых ошибок и независимости ошибок Dаi, Dхj,T+1, j=1,...,n.

Для получения выражения, определяющего дисперсию прогноза при случайном прогнозном фоне и свойствах ошибки модели, отличных от белого шума, представим выражение (12.28) в векторной форме записи:

 

D уT+1=хT+1¢×Da+DхT+1¢×a+D хT+1¢×Da+eT+1. (12.30)

 

Далее, как и в разделе 12.2, выразим векторы оценок коэффициентов модели и их ошибки в векторно-матричной форме записи a=(X¢×X)–1×X¢×y, Da=(X¢×X)–1×X¢×e, где e – вектор истинной ошибки модели, X – матрица наблюдаемых значений независимых факторов, y – вектор наблюдаемых значений зависимой переменной на интервале (1,Т). Получим

 

DуT+1=хT+1¢×(X¢×X)–1×X¢×e+DхT+1¢×(X¢×X)–1×X¢×y+

+DхT+1¢×(X¢×X)–1×X¢×e+eT+1. (12.31)

 

Дисперсию ошибки прогноза с учетом оговоренных выше предположений о независимости и свойствах ошибок Dаi, Dхj,T+1, i,j=0,..., n; определим как математическое ожидание от квадрата этой ошибки

 

s2()=M[DyT+1] 2=хT+1¢×(X¢×X)–1× X¢×M[e×e¢]×X×(X¢×X)–1×хT+1+

+у¢×X ×(X¢×X)–1×M[DхT+1, Dх¢T+1] ×(X¢×X)–1× X¢×y +M[e2T+1]+

+M[DхT+1¢×(X¢×X)–1× X¢×M[e×e¢]×X×(X¢×X)–1×DхT+1]+

+ хT+1¢×(X¢×X)–1× X¢×M[eT+1×e]. (12.32)

 

В предположении, что M[e×e¢]=se2×E и независимости ошибок eT+1 и et, t=1,..., Т имеем

 

1) M[DхT+1¢×(X¢×X)–1× X¢×M[e×e¢]×X×(X¢×X)–1×DхT+1]=

=se2× M[DхT+1¢×(X¢×X)–1×DхT+1]=

2) M[eT+1×e]=0.

 

В этом случае несложно показать, что выражение (12.32) приобретает следующий вид:

 

s2()=хT+1¢×Сov(aхT+1+a¢×Cov(Dхa+

M[DхT+1¢×Сov(a)× DхT+1]+se2, (12.33)

 

где Cov(Dх) – ковариационная матрица вектора ошибок прогнозного фона;

 

M[DхT+1¢×Сov(a)× DхT+1]=

 

Несложно заметить, что выражения (12.29) и (12.33) эквивалентны.

При наличии у ошибки модели только свойства гетероскедастичности последнее слагаемое в правой части выражения (12.32) обращается в нуль, а ковариационная матрица ошибки имеет следующий вид:

 
 


 

 

При наличии автокорреляционных связей у ошибки модели вектор M[eT+1×e] имеет специфический вид, определяемый характером этих связей.