Принятие решений в условиях полной определенности

 

Математические модели исследуемых явлений или процессов могут быть заданы в виде таблиц, элементами которых являются значения частных критериев эффективности функционирования системы, вычисленные для каждой из сравниваемых стратегий при строго заданных внешних условиях. Для рассматриваемых условий принятие решений может производиться:

– по одному критерию;

– по нескольким критериям.

Пример 1. Одной из фирм требуется выбрать оптимальную стратегию по обеспечению нового производства оборудованием. С помощью экспериментальных наблюдений были определены зна­чения частных критериев функционирования соответствующего оборудования (а_ij), выпускаемого тремя заводами-изготовителями. Рассмотрим данные для выбора оптимальной стратегии в условиях полной определенности:

На основе экспертных оценок были также определены веса ча­стных критериев λ_j,j=1,4

 

Очевидно, выбор оптимальной стратегии (варианта оборудова­ния) по одному критерию в данной задаче не вызывает затрудне­ний. Например, если оценивать оборудование по надежности, то лучшим является оборудование завода 1 (стратегия x₁).

Таблица 8.1

Выбор оптимального решения по комплексу нескольких крите­риев (в нашем примере — по четырем критериям) является задачей многокритериальной.

Один из подходов к решению многокритериальных задач уп­равления связан с процедурой образования обобщенной функции F_i (а_i1; а_i2; а_i3; ... a_in), монотонно зависящей от критериев а_i1; a_i2; а_i3 ... a_in. Данная процедура называется процедурой (методом) свер­тывания критериев. Существует несколько методов свертывания, например:

¨ метод аддитивной оптимизации;

¨ метод многоцелевой оптимизации и др.

Рассмотрим подробнее метод аддитивной оптимизации. Пусть

(1)

Здесь выражение (1) определяет аддитивный критерий опти­мальности. Величины λ_i являются весовыми коэффициентами, ко­торые определяют в количественной форме степень предпочтения j-го критерия по сравнению с другими критериями. Другими сло­вами, коэффициенты λ_j определяют важность j-го критерия опти­мальности. При этом более важному критерию приписывается больший вес, а общая важность всех критериев равна единице, т. е.

(2)

Обобщенная функция цели (1) может быть использована для свертывания частных критериев оптимальности, если:

¨ частные (локальные) критерии количественно соизмеримы по
важности, т. е. каждому из них можно поставить в соответствие
некоторое число λ_i, которое численно характеризует его важ­ность по отношению к другим критериям;

¨ частные критерии являются однородными (имеют одинаковую
размерность; в нашем примере критерии «стоимость оборудова­ния» и «производительность оборудования» в условных денеж­ных единицах будут однородными).

В этом случае для решения задачи многокритериальной опти­мизации оказывается справедливым применение аддитивного кри­терия оптимальности.

Допустим, в примере 1 необходимо выбрать оптимальный ва­риант оборудования по двум однородным локальным критериям:

¨ производительность (д. е.);

¨ стоимость оборудования (д. е.).

На основе экспертных оценок были определены весовые коэф­фициенты этих двух частных критериев: λ₁ = 0,667, λ₂ = 0,333. Вы­числим аддитивный критерий оптимальности для трех вариантов:

Очевидно, первый вариант оборудования по двум частным сто­имостным критериям будет оптимальным, так как F_max = F₁(a_1j) = 5,666. В примере 1 четыре локальных критерия не однородны, т.е. имеют различные единицы измерения. В этом случае требуется нормализация критериев. Под нормализацией критериев понимает­ся такая последовательность процедур, с помощью которой все критерии приводятся к единому, безразмерному масштабу измере­ния. К настоящему времени разработано большое количество схем нормализации. Рассмотрим некоторые из них.

Определим максимум и минимум каждого локального крите­рия, т. е.

 

(3

4)

Выделим группу критериев a_j,j =1,l, которые максимизируют­ся при решении задачи, и группу критериев a_j,j= l + 1,n, которые минимизируются при решении задачи.

Тогда в соответствии с принципом максимальной эффективно­сти нормализованные критерии определяются из следующих соот­ношений:

(5)

(6)

(7)

(8)

Оптимальным будет тот вариант (стратегия), который обеспе­чивает максимальное значение функции цели:

(9)

 

В соответствии с принципом минимальной потери нормализо­ванные критерии определяются из соотношений

 

(10)

(11)

(12)

(13)

При этом оптимальным будет тот вариант (стратегия), который обеспечивает минимальное значение функции цели (9).

Пример 2. Используя данные примера 1, определите опти­мальную стратегию выбора оборудования из трех возможных (m = 3) с учетом четырех локальных критериев (n = 4).

Решение 1. Определим max и min каждого локального критерия:

При решении задачи максимизируются первый (производи­тельность) и четвертый (надежность) критерии, а минимизируются
второй (стоимость оборудования) и третий (энергоемкость) критерии.

Исходя из принципа максимизации эффективности, норма­лизуем критерии:

 

 

 

 

4. Определим обобщенную функцию цели по каждому варианту:

Оптимальным является первый вариант оборудования, так как

F_max = F₁ = 0.729.

Рассмотренный подход к решению многокритериальных задач зачастую применяется при решении экономических задач, связан­ных с оценкой качества промышленной продукции и оценкой уров­ня технического совершенства технических устройств и систем по нескольким показателям.

Другим возможным методом решения многокритериальных за­дач является метод последовательных уступок. В начале критерии ранжируются и нумеруются в порядке убывания важности. Абсо­лютное значение коэффициентов важности λ_j на этом этапе не иг­рает никакой роли. Оптимизируется первый по важности критерий а₁, и определяется его экстремальное значение а₁*. Затем назначается величина допустимого отклонения критерия от оптимального значения (уступка) Δа₁ и ищется экстремальное значение второго по важности критерия а₂, при условии, что отклонение первого от оптимального значения не превзойдет величины уступки. Затем назначается уступка для второго критерия, и задача оптимизирует­ся по третьему критерию и т. д. Таким образом, многокритериаль­ная задача оптимизации заменяется последовательностью однокритериальных задач. Решение каждой предыдущей задачи использу­ется при решении последующих для формирования дополнитель­ных условий, состоящих в ограничении на величину уступки.