Критерий Лапласа.

Этот критерий опирается на «принцип недостаточного основания» Лапласа, согласно которому все состояния «природы» Si, i = 1,n полагаются равновероятными. В соответствии с этим прин­ципом каждому состоянию Si, ставится вероятность q_i определяе­мая по формуле

(25)

 

При этом исходной может рассматриваться задача принятия решения в условиях риска, когда выбирается действие R_j, дающее наибольший ожидаемый выигрыш. Для принятия решения для каж­дого действия R_j вычисляют среднее арифметическое значение вы­игрыша:

(26)

Среди Mj(R) выбирают максимальное значение, которое будет соответствовать оптимальной стратегии R_j.

Другими словами, находится действие Rj , соответствующее

 

(27)

 

Если в исходной задаче матрица возможных результатов пред­ставлена матрицей рисков ||r_ji||, то критерий Лапласа принимает следующий вид:

(28)

Пример 4. Одно из транспортных предприятий должно опре­делить уровень своих провозных возможностей так, чтобы удовле­творить спрос клиентов на транспортные услуги на планируемый период. Спрос на транспортные услуги не известен, но ожидается (прогнозируется), что он может принять одно из четырех значений: 10, 15, 20 или 25 тыс. т. Для каждого уровня спроса существует на­илучший уровень провозных возможностей транспортного пред­приятия (с точки зрения возможных затрат). Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превы­шения провозных возможностей над спросом (из-за простоя по­движного состава), либо из-за неполного удовлетворения спроса на транспортные услуги. Ниже приводится таблица, определяющая возможные прогнозируемые затраты на развитие провозных воз­можностей:

Необходимо выбрать оптимальную стратегию.

 

 

Решение

Согласно условию задачи, имеются четыре варианта спроса на транспортные услуги, что равнозначно наличию четырех состояний «природы»: S₁, S₂, S₃, S₄. Известны также четыре стратегии разви­тия провозных возможностей транспортного предприятия: R₁, R₂, R₃, R₄ Затраты на развитие провозных возможностей при каждой паре S_i и R_j заданы следующей матрицей (таблицей):

 

 

Принцип Лапласа предполагает, что S₁, S₂, S₃, S₄ равновероят­ны. Следовательно, P{S = S_i }= 1/n= 1/4 = 0,25, i = 1, 2, 3, 4 и ожидае­мые затраты при различных действиях R₁, R₂, R₃, R₄ составляют:

Таким образом, наилучшей стратегией развития провозных воз­можностей в соответствии с критерием Лапласа будет R₂.

2. Критерий Вальда (минимаксный или максиминный крите­рий). Применение данного критерия не требует знания вероятнос­тей состояний Si. Этот критерий опирается на принцип наиболь­шей осторожности, поскольку он основывается на выборе наилуч­шей из наихудших стратегий Rj.

Если в исходной матрице (по условию задачи) результат V_ij представляет потери лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется минимаксный критерий. Для определения оптимальной стратегии R_j необходимо в каждой строке матрицы результатов найти наибольший элемент max{V_ij}, а затем выбирается действие R_j (строка j), которому будет соответствовать наименьший элемент из этих наибольших элементов, т. е. дейст­вие, определяющее результат, равный

(29)

Если в исходной матрице по условию задачи результат V_ij пред­ставляет выигрыш (полезность) лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется максиминный кри­терий.

Для определения оптимальной стратегии R_j в каждой строке матрицы результатов находят наименьший элемент min {Vij} , а затем выбирается действие R_j (строка j), которому будут соответство­вать наибольшие элементы из этих наименьших элементов, т. е. действие, определяющее результат, равный

(30)

Пример 5. Рассмотрим пример 4. Так как V_ij в этом примере представляет потери (затраты), применим минимаксный критерий. Необходимые результаты вычисления приведены в следующей таб­лице:

 

Таким образом, наилучшей стратегией развития провозных воз­можностей в соответствии с минимаксным критерием «лучшим из худших» будет третья, т. е. R₃.

Минимаксный критерий Вальда иногда приводит к нелогич­ным выводам из-за своей чрезмерной «пессимистичности». «Пес­симистичность» этого критерия исправляет критерий Сэвиджа.

 

3. Критерий Сэвиджа использует матрицу рисков || r_ij ||. Элементы данной матрицы можно определить по формулам (23), (24), ко­торые перепишем в следующем виде:

 

(31)

 

Это означает, что r_ij есть разность между наилучшим значени­ем в столбце i и значениями V_ji при том же i. Неза­висимо от того, является ли V_ji доходом (выигрышем) или потеря­ми (затратами), r_ji в обоих случаях определяет величину потерь ли­ца, принимающего решение. Следовательно, можно применять к r_ji только минимаксный критерий. Критерий Сэвиджа рекоменду­ет в условиях неопределенности выбирать ту стратегию Rj, при ко­торой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален).

Пример 6. Рассмотрим пример 4. Заданная матрица опреде­ляет потери (затраты). По формуле (31) вычислим элементы мат­рицы рисков || r_ij ||:

 

 

Полученные результаты вычислений с использованием крите­рия минимального риска Сэвиджа оформим в следующей таблице:

 

Введение величины риска r_ji, привело к выбору первой страте­гии R₁, обеспечивающей наименьшие потери (затраты) в самой не­благоприятной ситуации (когда риск максимален).

Применение критерия Сэвиджа позволяет любыми путями из­бежать большого риска при выборе стратегии, а значит, избежать большего проигрыша (потерь).

4. Критерий Гурвицаоснован на следующих двух предположе­ниях: «природа» может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1 — α) и в самом выгодном состоянии с вероятно­стью α, где α — коэффициент доверия. Если результат V_ji — прибыль, полезность, доход и т. п., то критерий Гурвица записыва­ется так:

Когда V_ji представляет затраты (потери), то выбирают действие, дающее

 

Если α = 0, получим пессимистический критерий Вальда.

 

Если α = 1, то приходим к решающему правилу вида max max V_ji, или к так называемой стратегии «здорового оптими­ста», т. е. критерий слишком оптимистичный.

Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями край­него пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих способов поведения соответствующими весами (1 — α) и α, где 0≤α≤1. Значение α от 0 до 1 может определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решение, к пессимизму или к оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности α = 0,5 представляется наиболее разумной.

Пример 7. Критерий Гурвица используем в примере 4. Поло­жим α = 0,5. Результаты необходимых вычислений приведены ниже:

 

Оптимальное решение заключается в выборе W.

Таким образом, в примере предстоит сделать выбор, какое из возможных решений предпочтительнее:

по критерию Лапласа — выбор стратегии R₂,

по критерию Вальда — выбор стратегии R₃;

по критерию Сэвиджа — выбор стратегии R₁;

по критерию Гурвица при α = 0,5 — выбор стратегии R₁, а ес­ли лицо, принимающее решение, — пессимист (α = 0), то выбор стратегии R₃.

Это определяется выбором соответствующего критерия (Лапла­са, Вальда, Сэвиджа или Гурвица).

Выбор критерия принятия решений в условиях неопределенно­сти является наиболее сложным и ответственным этапом в иссле­довании операций. При этом не существует каких-либо общих со­ветов или рекомендаций. Выбор критерия должно производить ли­цо, принимающее решение (ЛПР), с учетом конкретной специфи­ки решаемой задачи и в соответствии со своими целями, а также опираясь на прошлый опыт и собственную интуицию.

В частности, если даже минимальный риск недопустим, то сле­дует применять критерий Вальда. Если, наоборот, определенный риск вполне приемлем и ЛПР намерено вложить в некоторое пред­приятие столько средств, чтобы потом оно не сожалело, что вложе­но слишком мало, то выбирают критерий Сэвиджа.