рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Кинематика материальной точки

Кинематика материальной точки - раздел Экономика, Л Е К Ц И Я 1 ...

Л Е К Ц И Я 1

Кинематика материальной точки

Механическое движение.

Материальной точкой называют тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями до других тел. Одно и тоже тело в одних случаях… Всякое тело под действием приложенных к нему сил в большей или меньшей степени… Механику подразделяют на кинематику, статику и динамику. Кинематика описывает движения тел, не интересуясь причинами,…

СКОРОСТЬ

, (1.1) которую в обыденной жизни называют скоростью частицы. Эта величина численно… Если движение неравномерное, величина, получаемая делением s на t, дает среднее значение скорости за промежуток…

Сравнение выражений (1.9) и (1.10) приводит к соотношениям

Таким образом, компоненты скорости равны производным соответствующих координат по времени. Зная модуль скорости в каждый момент времени, можно вычислить путь, пройденный… Dsi»viDti (1.12)

В математике выражение вида

составленное для значений х, заключенных в пределах от а до b, называют определенным интегралом от функции f(x), взятым по переменной х между нижним… . (1.17) Сравнение выражений (1.15) и (1.16) показывает, что путь, пройденный частицей за промежуток времени от t1 до t2, равен…

УСКОРЕНИЕ

а=limDt®0, (1.23) называемая ускорением частицы. Приняв во внимание соотношение (1.5), можно… а=. (1.24)

Сопоставление этого выражения с (1.25) дает, что

Таким образом, компоненты ускорения равны вторым производным соответствующих координат по времени. При движении в одну и туже сторону по прямолинейной траектории скорость…  

Поступательное движение твердого тела

Обозначим цифрами 1 и 2 две произвольные точки тела (рис.2.6). При поступательном движении вектор r12, проведенный из точки 1 в точку 2, остается… , т.е. v2=v1 (производная от постоянного вектора равна нулю). Еще одно дифференцирование дает, что

Продифференцировав соотношение (2.6) по времени, получим

(напомним, что R=const). В соответствии с формулой (2.13) || представляет собой модуль тангенциального ускорения аi. В случае, когда ось вращения, а следовательно и вектор w, не изменяет направления в пространстве, равен модулю углового ускорения e. Следовательно, мы приходим к формуле

аi=eR. (2.16)

 

ЛЕКЦИЯ 3

Динамика материальной точки

Инерциальные системы отсчета. Закон инерции.

Среди всевозможных систем отсчета существуют такие, относительно которых движение тел оказывается особенно простым. В частности, тела, не… Любая система отсчета, движущаяся относительно какой-либо инерциальной системы… =+, т.е. (3.1)

Сила и масса.

Масса есть мера инертности тела. Под инертностью понимают неподатливость тела действию силы, т.е. свойство тела противиться изменению скорости под… Произведение массы тела на его скорость называют импульсом тела. p=mv (3.2)

Второй закон Ньютона

(3.3) Соотношение (3.3) называется уравнением движения частицы. Подставив в формулу (3.3) выражение для импульса, получим, что

Единицы и размерности физических величин.

Для каждой физической величины можно было бы установить единицу произвольно, независимо от единиц других величин. Однако это привело бы к появлению… При таком определении единиц формулы принимают более простой вид, а… В качестве основных в системе СИ приняты семь единиц: длины – метр (обозначение м), массы – килограмм (кг), времени –…

Третий закон Ньютона

Воздействие тел друг на друга всегда носит характер взаимодействия. Если тело 2 действует на тело 1 с силой F12 то и тело1 действует на тело 2 с силой F21. Третий закон Ньютона утверждает, что силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по модулю и противоположны по направлению, т.е.

F12=-F21 (3.11)

Таким образом, силы всегда возникают попарно. Подчеркнем, что силы, фигурирующие в соотношении (3.11), приложены к разным телам; поэтому они не могут уравновесить друг друга.

Третий закон Ньютона, как и первые два, справедлив лишь в инерциальных системах отсчета. В неинерциальных системах отсчета этот закон оказывается несправедливым.

Силы

В классической механики приходиться иметь дело с гравитационными и электромагнитными силами, а также с упругими силами и силами трения. Гравитационные и электромагнитные силы нельзя свести к другим, более простым силам; поэтому их называют фундаментальными. Законы фундаментальных сил просты и выражаются точными формулами. Для примера приведем формулу, определяющую модуль силы гравитационного взаимодействия двух материальных точек:

F=G (3.12)

Здесь r – расстояние между точками, m1 и m2 – их массы, G – коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной.

Упругие силы и силы трения являются по своей природе электромагнитными и, следовательно, не могут считаться фундаментальными. Для этих сил можно получить лишь приближенные эмпирические (т.е. основанные на опыте) формулы.

Типичная ошибка, которую допускают учащиеся при решении задач, заключается в том, что одна и та же сила под разными названиями учитывается дважды. Этому способствует имеющие, к сожалению, хождение термины: «движущая», «скатывающая», «центростремительная», центробежная» и тому подобные силы. Этими терминами, которые характеризуют силы по оказываемому ими действию или по геометрическому признаку пользоваться не следует. Чтобы не впасть в ошибку, нужно характеризовать силы по «источнику», вызвавшему их появление. Это означает, что за каждой силой надо видеть тело, воздействием которого обусловлена данная сила.

Сила тяжести и вес

F=mg (3.13) (m – масса тела). Эта сила называется силой тяжести. Она приблизительно равна… Если подвесть тело (рис. 3.2 а) или положить его на опору (рис. 3.2 б), оно будет покоиться относительно Земли. В этом…

Упругие силы.

В деформированном теле возникают упругие силы, которые уравновешивают внешние силы, вызвавщие деформацию. Поясним это следующим примером (рис.3.4).… Упругие силы возникают во всей деформированной пружине. Любая часть пружины…     Установленный экспериментально закон Гука утверждает, что при упругой деформации…

Силы трения.

Различают также сухое и жидкое (или вязкое) трение. Сухое трение возникает между поверхностями твердых тел в отсутствии смазки (т.е. жидкой или… Сухое трение подразделяется на трение скольжения и трения качения. Эмпирические законы сухого трения. Подействуем на тело (например. Брусок), лежащее на неподвижной опоре, внешней силой…

ЛЕКЦИЯ 4

Сохраняющиеся величины.

Для замкнутых систем остаются постоянными (сохраняются) три физических величины: энергия, импульс и момент импульса. Соответственно имеются три… Рассматриваемые в механике законы сохранения энергии, импульса и момента… Законы сохранения не зависят от природы и характера действующих сил. Поэтому с их помощью можно делать ряд важных…

Энергия и работа.

Энергия является общей количественной мерой движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия не исчезает и не возникает из ничего; она может… Механическая энергия бывает двух видов: кинетическая и потенциальная.… Работа определяется как скалярное произведение векторов силы и перемещения.

Кинетическая энергия и работа.

m (– ускорение частицы). Умножим скалярно обе части этого равенства на… m (4.9)

Работа

Согласно определению скалярного произведения выражение (4.15) для элементарной работы можно представить в виде

dA=Fds=Fcosa×ds, (4.18)

где F – модуль силы, ds – путь, пройденный точкой приложения силы, a - угол между векторами силы F и перемещения ds.

 
 

Если угол острый, работа положительна. Согласно (4.16) приращение кинетической энергии также положительно; следовательно, кинетическая энергия увеличивается. Если угол тупой, работа и приращение кинетической энергии отрицательны; следовательно, кинетическая энергия уменьшается. При a=p/2 работа равна нулю и кинетическая энергия остается неизменной.

Запишем выражение для работы в виде

dA=Fsds, (4.19)

где Fs – проекция силы на направление перемещения ds, а ds – модуль перемещения, равный элементарному пути. На рис. 4.2 дан график зависимости Fs от s. Работа, совершаемая на пути от точки 1 до точки 2, положительна и численно равна площади S1 фигуры 1В2, взятой со знаком плюс: А12(=)S1. Работа на пути от точки 2 до точки 3 отрицательна и численно равна площади S2 фигуры 2С3, взятой со знаком минус: А23(=)-S2. Мы взяли знак равенства в скобки, чтобы подчеркнуть, что речь идет только о числовом равенстве (размерности работы и площади не совпадают). Работа на всем пути 1-3 численной равна разности площадей S1 и S2: А13(=)S1-S2.

Применим полученный результат к нахождению работы, совершаемой внешней силой при растяжении пружины, подчиняющейся закону Гука. Растяжение будем осуществлять очень медленно для того, чтобы проекцию внешней силы на ось х можно было считать все время практически равной кх. В рассматриваемом случае Fsds =Fxdx. График зависимости Fx от х показан на рис. 4.3. Из рисунка следует, что работа, которую нужно совершить, чтобы вызвать удлинение пружины х, равна

А=. (4.20)

Такая же работа совершается при сжатии пружины.

В случае, если на частицу действуют несколько сил, их работа на пути ds равна

dA=(F1+F2+…)ds=F1ds+F2ds+…

(мы воспользовались дистрибутивностью скалярного произведения векторов. Каждое из слагаемых в правой части дает работу соответствующей силы. Таким образом, мы приходим к выводу, что работа суммы нескольких сил, действующих одновременно на частицу, равна сумме работ, которые совершила бы каждая сила в отдельности:

А=А12+… (4.21)

Это утверждение согласуется с опытом.

Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью. Мощность Р определяется соотношением

Р= (4.22)

Где dA – работа, совершаемая за время dt. Подставив вместо dA выражение (4.15) и приняв во внимание, что ds/dt есть скоростьv, получим

Р=FFv (4.23)

Таким образом, мощность равна скалярному произведению силы на скорость точки приложения силы.

Единицей работы служит работа, совершаемая на пути в один метр силой в один ньютон, действующей в направлении перемещения. Эта единица называется джоулем (Дж).

Единицей мощности является такая мощность, при которой за одну секунду совершается работа, равная одному джоулю. Эта единица называется ваттом (Вт). В технике иногда применяется единица мощности, именуемая лошадиной силой (л.с.) и равная 736 Вт.

Из соотношения (4.17) следует, что размерность кинетической энергии совпадает с размерностью работы. В сответствии с этим энергия измеряется в тех же единицах, что и работа.

 

Лекция 5

Консервативные силы

Кроме контактных взаимодействий, возникающих между соприкасающимися телами, наблюдаются также взаимодействия между телами, удаленными друг от друга. Примерами могут служить взаимодействие между Солнцем и Землей, Землей и Луной, Землей и поднятым над ее поверхностью телом, взаимодействие между наэлектризованными телами. Подобные взаимодействия осуществляются посредсвом физических полей , которые представляют собой особую форму материи. Каждое тело создает в окружающем его пространстве особое состояние, называемое силовым полем. Это поле проявляет себя в действии сил на другие тела. Например, в гравитационном поле, создаваемом Землей, на тело массы m в каждой точке пространства вблизи поверхности Земли действует сила тяжести mg.

Силы, работа которых не зависит от пути, по которому двигалась частица, а зависит лишь от начального и конечного положения частицы, называются консервативными.

Легко показать, что работа консервативных сил на любом замкнутом пути равна нулю. Разобьем произвольный замкнутый путь (рис.5.1) точками 1 и 2 (взятыми также произвольно) на два участка, обозначенных римскими цифрами I и II. Работа на замкнутом пути слагается из работ, совершаемых на этих участках:

А=(А12)I+(А21)II (5.1)

Изменение направления движения по участку II на обратное сопровождается заменой всех элементарных перемещений ds на –ds, вследствие чего изменяет знак на обратный. Отсюда заключаем, что (А21)II=-(А12)II. Произведя такую замену в (5.1), получим, что

А=(А12)-(А12)II.

Вследствие независимости работы от пути последнее выражение равно нулю. Таким образом, консервативные силы можно определить как силы, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю.

Если силы, действующие на частицу, во всех точках поля одинаковы по модулю и направлению, поле называется однородным. Если, кроме того, поле не изменяется со временем, оно называется стационарным. В случае однородного стационарного поля F=const.

Докажем, что силы, действующие на частицу в однородном стационарном поле, консервативны. Возьмем в таком поле две произвольные точки 1 и 2 (рис.5.2 и вычислим работу, совершаемую над частицей при ее перемещении из первой точки во вторую по произвольной траектории. В выражении для работы постоянную силу можно вынести за знак интеграла:

А12=

Сумма элементарных перемещений дает результирующее перемещение s12 частицы из точки 1 в точку 2; поэтому

А12=Fs12=FsF (5.2)

Где F – модуль силы, а sF – проекция перемещения s12 на направление силы (мы опустили индексы «12» в обозначении проекции перемещения). Полученное выражение определяется только положениями точек 1 и 2 и не зависит от формы траектории. Таким образом, мы доказали, что силы однородного стационарного поля консервативны.

 
 

Примером однородного стационарного поля может служить поле силы тяжести в ограниченной области вблизи поверхности Земли. Согласно (5.2) работа, совершаемая над частицей силой Р, независимо от формы траектории, равна

А12=mg(h1-h2), (5.3)

Где h1-h2 есть проекция перемещения s12 на направление вниз по вертикали (рис. 5.3). Следовательно, сила P=mg консервативна.

Поле, в любой точке которого направление силы, действующей на частицу, проходит через неподвижный центр, а модуль силы зависит только от растояния r от этого центра, называется центральным. Направлена сила либо от центра (как на рис.5.4) либо к силовому центру.

Найдем работу, совершаемую над частицей в центральном стационарном, т.е. не изменяющимся со временем, силовом поле. В таком поле модуль силы определяется функцией F(r). Представим элементарную работу в виде

dA=Fds=F(r)dsF,

где F(r) – модуль силы, а dsF – проекция перемещения на направление силы. Из рис. 5.4, выполненного для силы, направленной от центра (т.е. для случая отталкивания частицы от силового центра), следует, что dsF можно положить равной dr. Очевидно, что для силы, направленной к центру (т.е. для случая притяжения частицы к центру), dsF будет равно –dr (приращению r, взятому с обратным знаком). Соответственно dA равна F(r)dr в случае отталкивания и - F(r)dr в случае притяжения.

Работу на всем пути от точки 1 до точки 2 найдем, взяв интеграл от dA. В результате получим выражение

А12=для случая отталкивания, (5.4)

А12=-для случая притяжения. (5.5)

Оба интеграла зависят только от вида функции F(r) и от пределов интегрирования r1 и r2; от формы траектории они никак не зависят. Отсюда заключаем, что силы центрального стационарного поля являются консервативными.

Потенциальная энергия материальной

Точки во внешнем силовом поле

ЕрВ=Ер0+АВ0 (5.6) Поскольку работа АВ0 не зависит от пути, значения функции ЕР во всех точках… Образуем разность значений потенциальной энергии для точек 1 и 2 (рис.5.5). Согласно формуле (5.6)

ЛЕКЦИЯ 6

Потенциальная энергия взаимодействия

Найдем работу внутренних сил, совершаемую при перемещении первой частицы на dr1, а второй частицы на dr2 (напомним, что перемещение частицы ds равно… dA=F12dr1+F21dr2=F12dr1+F21(dr1+dr12)=(F12+F21dr1+F21dr12 Согласно третьему закону Ньютона F12=-F21 , так что F12+F21=0. Поэтому выражение для работы внутренних сил упрощается…

В случае гравитационного притяжения частиц

Получим A12=-=-Gm1m2. (6.4) Сопоставление соотношений (6.3) и (6.4) дает для потенциальной энергии взаимодействия двух частиц выражение

Нетрудно убедится в том, что в этом случае

Можно показать, что взаимная потенциальная энергия системы, состоящей из N частиц, силы взаимодействия между которыми консервативны, слагается из… Ер=Ер,12+Ер,23+Ер,31, где Ер,12 – энергия взаимодействия первой и второй частиц и т.д. Это выражение можно представить в виде

В этой сумме имеется N(N-1) слагаемых (каждая из N частиц взаимодействует с N-1 частицей).

Взаимная энергия системы частиц зависит только от их взаимного расположения (от конфигурации системы). Если при движении частиц конфигурация системы не изменяется, то потенциальная энергия остается неизменной и внутренние силы работы не совершают.

Потенциальной энергией обладают не только системы обособленных взаимодействующих частиц, но и сплошные деформированные тела (например, растянутая или сжатая пружина). В этом случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположения отдельных частей тела (например, от расстояния между витками пружины). Как для растяжения, так и для сжатия пружины на величину х нужно совершить работу А=кх2/2. Эта работа идет на приращение потенциальной энергии пружины. Следовательно, зависимость потенциальной энергии пружины от удлинения х имеет вид

Ер= (6.8)

(мы предположили потенциальную энергию недеформированной пружины равной нулю).

Закон сохранения энергии

Сведем воедино результаты, полученные в предыдущих параграфах. Для этого рассмотрим систему, состоящую из N взаимодействующих друг с другом частиц, находящихся под воздействием внешних как консервативных, так и неконсервативных сил. Силы взаимодействия между частицами предполагаются консервативными. Определим работу, совершаемую над частицами при перемещении системы из одного места в другое, сопровождающееся изменением конфигурации системы.

Работа внешних консервативных сил может быть представлена как убыль потенциальной энергии системы во внешнем силовом поле:

А12,внеш,консерв=

Где определяется формулой (3.30).

А12,внутр= Где определяется формулой (6.7). Работу неконсервативных сил обозначим посредством .

Лекция 7

Момент силы

Моментом силы относительно точки О называется вектор М, модуль которого равен произведению модуля силы на ее плечо l:

 
 

М=Fl=Fr sina (7.1)

Рис. 7.1). Плечом силы называют длину перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила. Направлен вектор М перпендикулярно к плоскости, в которой лежат сила и точка О, причем так, что направление вращения, обусловленного силой, и направление вектора М образуют правовинтовую систему (поворот головки винта или шурупа с правой нарезкой в направлении силы вызвал бы перемещение винта в направлении вектора М). Поскольку его направление определяется условно, М является псевдовектором.

На рис. 7.1 вектор М изображен в виде кружка с крестиком внутри. Так мы будем в дальнейшем обозначать векторы, перпендикулярные к плоскости чертежа и направленные «от нас». Векторы, перпендикулярные к плоскости чертежа и направленные «на нас», мы будем обозначать кружком с точкой внутри него.

Момент силы можно представить в виде векторного произведения радиус –вектора r точки приложения силы на силу F.

М=[rF] (7.2)

Здесь r – радиус-вектор точки приложения силы, проведенной из точки, относительно которой определяется момент.

Когда сила приложена к одной из точек твердого тела, вектор М характеризует способность силы вращать тело вокруг точки О, относительно которой он берется. Поэтому момент силы называют также вращающим моментом. Если тело может вращаться вокруг точки О произвольным образом, то под действием силы тело повернется вокруг оси, совпадающей с направлением вращающего момента.

Проекция вектора М на произвольную ось z, проходящую через точку О, называется моментом силы относительно этой оси:

Мz=[rF]пр.z. (7.3)

Разложим силу F на три составляющие, как показано на рис. 7.2. Воспользовавщись дистрибутивностью векторного произведения, представим момент силы F относительно точки О в виде

М=[r, (FII+F^+Fi)]=[rFII]+[rF^]+[rFi]=MII+M^+Mi,

 
 

где МII – момент силы FII и т.д.

Проекция на ось z вектора М равна сумме проекций моментов составляющих сил. Моменты МII и М^ перпендикулярны к оси z, поэтому их проекции равны нулю. Следовательно,

Мz=(Мi)пр.zi cosa=rFi cosa=RFi (7.4)

(Рис. 7.2)

Из трех составляющих силы F вращение вокруг оси z может вызвать только сила Fi, причем она тем успешнее осуществит этот поворот, чем больше ее плечо R относительно точки ОI. Таким образом, момент силы относительно оси характеризует способность силы вращать тело вокруг этой оси.

Две равные по модулю противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной прямой, называют парой сил (рис.7.3). Расстояние l между прямыми, вдоль которых действуют силы, называется плечом пары. Суммарный момент сил относительно точки О равен

М=[r1F1]+[r2F2].

Учтя, что F2=-F1, можно написать

 
 

М=[r1F1]-[r2F1]=[(r1-r2),F1]=[r12F1] (7.5)

где r21=r1-r2 (рис.7.3). Полученное выражение не зависит от положения точки О, следовательно, момент пары сил относительно любой точки будет одним и тем же. Вектор М перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы, а его модуль равен произведения модуля любой из сил на плечо.

Силы гравитационного и кулоновского взаимодействия между двумя частицами образуют пару с плечом, равным нулю. Поэтому их суммарный момент относительно любой точки равен нулю. Отсюда следует, что моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы частиц всегда равна нулю:

(7.6)

Соответственно равен нулю и суммарный момент относительно любой оси z:

. (7.7)

Закон сохранения момента импульса

L=[rp]=[r,mv], (7.8) где r – радиус-вектор, определяющий положение частицы относительно точки 0, а… L=l p (7.9)

Л Е К Ц И Я 8

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Момент импульса i – й элементарной массы относительно точки О, лежащей на оси вращения, равен     Li=Dmi[rivi] (8.1) Момент импульса тела L равен сумме моментов импульса элементарных масс:

Момент инерции

Из определения момента инерции

I= (8.8)

следует, что эта величина аддитивна. Это означает, что момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции частей тела относительно той же оси.

Поэтому суммирование в выражении для момента инерции должно быть заменено интегрированием:

I=. (8.9)

С учетом dm=rdV, получим формулу

где r - плотность тела в точке, в которой взят объем dV, R – расстояние этого объема от оси, относительно которой вычисляется момент. Если тело однородно, плотность r во всех его точках одинакова и ее можно…     I=r (8.11)

Кинетическая энергия вращающегося тела

(DЕk)i= Сумма энергий (DЕk)i дает кинетическую энергию всего тела: Ек===Iw2. (8.17)

Кинетическая энергия тела при плоском движении

Представим плоское движение тела как наложение поступательного движения со скоростью v0 некоторой точки О и вращение вокруг оси, проходящей через эту точку, с угловой скоростью w. В этом случае скорость i-й элементарной массы тела определяется формулой

vi=v0+[wri],

гле ri – радиус-вектор i-й элементарной массы, проведенный из точки О.

Кинетическая энергия i-элементарной массы равна

(DЕк)i=

Возведение в квадрат дает

Просуммировав (DЕк)i по всем элементарным массам, найдем кинетическую энергию тела: Ек= Разобьем полученное выражение на три слагаемых, вынося при этом постоянные множители за знак суммы:

Лекция 9

Кинетическая энергия вращающегося тела

(DЕk)i= Сумма энергий (DЕk)i дает кинетическую энергию всего тела: Ек=

Кинетическая энергия тела при плоском движении

Представим плоское движение тела как наложение поступательного движения со скоростью v0 некоторой точки О и вращение вокруг оси, проходящей через эту точку, с угловой скоростью w. В этом случае скорость i-й элементарной массы тела определяется формулой

vi=v0+[wri],

гле ri – радиус-вектор i-й элементарной массы, проведенный из точки О.

Кинетическая энергия i-элементарной массы равна

(DЕк)i=

Возведение в квадрат дает

Просуммировав (DЕк)i по всем элементарным массам, найдем кинетическую энергию тела: Ек= Разобьем полученное выражение на три слагаемых, вынося при этом постоянные множители за знак суммы:

Лекция 10

Механические колебания

Колебательное движение, общие сведения о колебаниях

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электромагнитные и т.д.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными или собственными колебаниями называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок либо она была выведена из положения равновесия.

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силой.

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой – система сама управляет внешним воздействием.

При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например длины нити, к которой подвешен шарик, совершающий колебания.

Простейшими являются гармонические колебания, т.е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника) изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам: во-первых, колебания в природе и технике часто имеют характер очень близкий к гармоническим, и, во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

Малые колебания

Разложим функцию U(x) в ряд по степеням х, причем ограничимся рассмотрением малых колебаний, так что высшими степенями х можно будет пренебречь. По… U(x)=U(0)+UI(0)х+1/2 UII(0)х2 (ввиду малости х остальными членами пренебрегаем). Поскольку U(x) при х=0 имеет минимум, UI(0) равна нулю, а UII(0)…

Введя обозначения

преобразуем уравнение (10.5) следующим образом (10.7) Поскольку к/m>0, w0 – вещественная величина.

Затухающие колебания.

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. В простейшем случае сила сопротивления пропорциональна величине скорости:

Fc=-rv=-r (10.13)

Здесь r – постоянная, называемая коэффициентом сопротивления.

Уравнение второго закона Ньютона при наличии сил сопротивления имеют вид

m (10.14)

Применив обозначения

перепишем уравнение (10.14) следующим образом: (10.16) Это дифференциальное уравнение описывает затухающие колебания системы.

Маятник

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.… Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом j.… М=-mglsinj (10.22)

Лекция 11

Упругие волны

Распространение волн в упругой среде

Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений…     На рис.11.1 показано движение частиц при… На рис.11.1 показаны колебания частиц, положения равновесия которых лежат на оси х. В действительности колеблются не…

Уравнения плоской и сферической волн

x=x(x, y, z; t) (11.3) (имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна… Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения…

Волновое уравнение

-w2a cos(wt-kх+a)=-w2x, -a cos(wt-kх+a)=-x, Сравнивая эти два выражения и заменив к2/w2 через 1/v2. Получим уравнение

Стоячие волны

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называют когерентными.… Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных… Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях:

– Конец работы –

Используемые теги: атика, материальной, точки0.067

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Кинематика материальной точки

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Основы кинематики. Кинематика материальной точки
Введение... Математическое введение... Основные понятия о векторах и операции над ними...

Кинематика точки, сложное движение точки, движение точки вокруг неподвижной оси
Порядок Рассмотреть относительное движение точки и определить относительную скорость 2. Рассмотреть переносное вращение и определить переносную…

Лекция 5.Кинематика точки. Кинематика изучает движение с внешней стороны
Лекция Кинематика точки... Кинематика изучает движение с внешней стороны рассматривая лишь его геометрические свойства и временные...

Основные характеристики движения материальной точки: траектория движения, перемещение точки, пройденный ею путь, координаты, скорость и ускорение
Фи зика область естествознания Наука изучающая наиболее общие и фундаментальные закономерности определяющие структуру и эволюцию... Мате рия объективная реальность... Все вещества состоят из отдельных мельчайших частиц молекул и атомов...

Критические точки – это точки, контролируемые при переходе от процесса к процессу. Для описываемого процесса критическими точками являются:
На сайте allrefs.net читайте: Критические точки – это точки, контролируемые при переходе от процесса к процессу. Для описываемого процесса критическими точками являются:...

При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяют­ся. В общем случае ее движение определя­ется скалярными уравнениями
Механика для описания движения тел в зависимости от условий конкретных задач использует разные физические модели Простейшей моделью является... Произвольное макроскопическое тело или систему тел можно мысленно разбить на... Под воздействием тел друг на друга тела могут деформироваться т е изме нять свою форму и размеры Поэтому в...

Кінематика матеріальної точки. нормальне і тангенціальне прискорення
Вектор переміщення співпадає з ділянкою траєкторії лише прямолінійному русі... Шлях пройдений тілом являється функцією часу При рівномірному русі швидкість тіла визначається просто як шлях...

КІНЕМАТИКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ
Під рунтям освіти інженера є глибоке вивчення фундаментальних дисциплін насамперед фізики Практичні заняття являють собою найбільш активну форму... Метою вузівського навчання є підготовка студента до самостійної творчої... Ці методичні вказівки є навчальним посібником при підготовці до практичних занять з курсу фізики і при самостійній...

ГЛАВА II. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Лабораторная работа... ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ НА МАШИНЕ АТВУДА...

Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка. Абсолютно твердое тело. Границы применимости классической механики
Механическое движение Система отсчета Материальная точка Абсолютно твердое...

0.04
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам