Реферат Курсовая Конспект
Кинематика материальной точки - раздел Экономика, Л Е К Ц И Я 1 ...
|
Л Е К Ц И Я 1
Кинематика материальной точки
Продифференцировав соотношение (2.6) по времени, получим
(напомним, что R=const). В соответствии с формулой (2.13) || представляет собой модуль тангенциального ускорения аi. В случае, когда ось вращения, а следовательно и вектор w, не изменяет направления в пространстве, равен модулю углового ускорения e. Следовательно, мы приходим к формуле
аi=eR. (2.16)
ЛЕКЦИЯ 3
Динамика материальной точки
Третий закон Ньютона
Воздействие тел друг на друга всегда носит характер взаимодействия. Если тело 2 действует на тело 1 с силой F12 то и тело1 действует на тело 2 с силой F21. Третий закон Ньютона утверждает, что силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по модулю и противоположны по направлению, т.е.
F12=-F21 (3.11)
Таким образом, силы всегда возникают попарно. Подчеркнем, что силы, фигурирующие в соотношении (3.11), приложены к разным телам; поэтому они не могут уравновесить друг друга.
Третий закон Ньютона, как и первые два, справедлив лишь в инерциальных системах отсчета. В неинерциальных системах отсчета этот закон оказывается несправедливым.
Силы
В классической механики приходиться иметь дело с гравитационными и электромагнитными силами, а также с упругими силами и силами трения. Гравитационные и электромагнитные силы нельзя свести к другим, более простым силам; поэтому их называют фундаментальными. Законы фундаментальных сил просты и выражаются точными формулами. Для примера приведем формулу, определяющую модуль силы гравитационного взаимодействия двух материальных точек:
F=G (3.12)
Здесь r – расстояние между точками, m1 и m2 – их массы, G – коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной.
Упругие силы и силы трения являются по своей природе электромагнитными и, следовательно, не могут считаться фундаментальными. Для этих сил можно получить лишь приближенные эмпирические (т.е. основанные на опыте) формулы.
Типичная ошибка, которую допускают учащиеся при решении задач, заключается в том, что одна и та же сила под разными названиями учитывается дважды. Этому способствует имеющие, к сожалению, хождение термины: «движущая», «скатывающая», «центростремительная», центробежная» и тому подобные силы. Этими терминами, которые характеризуют силы по оказываемому ими действию или по геометрическому признаку пользоваться не следует. Чтобы не впасть в ошибку, нужно характеризовать силы по «источнику», вызвавшему их появление. Это означает, что за каждой силой надо видеть тело, воздействием которого обусловлена данная сила.
ЛЕКЦИЯ 4
Работа
Согласно определению скалярного произведения выражение (4.15) для элементарной работы можно представить в виде
dA=Fds=Fcosa×ds, (4.18)
где F – модуль силы, ds – путь, пройденный точкой приложения силы, a - угол между векторами силы F и перемещения ds.
Запишем выражение для работы в виде
dA=Fsds, (4.19)
где Fs – проекция силы на направление перемещения ds, а ds – модуль перемещения, равный элементарному пути. На рис. 4.2 дан график зависимости Fs от s. Работа, совершаемая на пути от точки 1 до точки 2, положительна и численно равна площади S1 фигуры 1В2, взятой со знаком плюс: А12(=)S1. Работа на пути от точки 2 до точки 3 отрицательна и численно равна площади S2 фигуры 2С3, взятой со знаком минус: А23(=)-S2. Мы взяли знак равенства в скобки, чтобы подчеркнуть, что речь идет только о числовом равенстве (размерности работы и площади не совпадают). Работа на всем пути 1-3 численной равна разности площадей S1 и S2: А13(=)S1-S2.
Применим полученный результат к нахождению работы, совершаемой внешней силой при растяжении пружины, подчиняющейся закону Гука. Растяжение будем осуществлять очень медленно для того, чтобы проекцию внешней силы на ось х можно было считать все время практически равной кх. В рассматриваемом случае Fsds =Fxdx. График зависимости Fx от х показан на рис. 4.3. Из рисунка следует, что работа, которую нужно совершить, чтобы вызвать удлинение пружины х, равна
А=. (4.20)
Такая же работа совершается при сжатии пружины.
В случае, если на частицу действуют несколько сил, их работа на пути ds равна
dA=(F1+F2+…)ds=F1ds+F2ds+…
(мы воспользовались дистрибутивностью скалярного произведения векторов. Каждое из слагаемых в правой части дает работу соответствующей силы. Таким образом, мы приходим к выводу, что работа суммы нескольких сил, действующих одновременно на частицу, равна сумме работ, которые совершила бы каждая сила в отдельности:
А=А1+А2+… (4.21)
Это утверждение согласуется с опытом.
Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью. Мощность Р определяется соотношением
Р= (4.22)
Где dA – работа, совершаемая за время dt. Подставив вместо dA выражение (4.15) и приняв во внимание, что ds/dt есть скоростьv, получим
Р=FFv (4.23)
Таким образом, мощность равна скалярному произведению силы на скорость точки приложения силы.
Единицей работы служит работа, совершаемая на пути в один метр силой в один ньютон, действующей в направлении перемещения. Эта единица называется джоулем (Дж).
Единицей мощности является такая мощность, при которой за одну секунду совершается работа, равная одному джоулю. Эта единица называется ваттом (Вт). В технике иногда применяется единица мощности, именуемая лошадиной силой (л.с.) и равная 736 Вт.
Из соотношения (4.17) следует, что размерность кинетической энергии совпадает с размерностью работы. В сответствии с этим энергия измеряется в тех же единицах, что и работа.
Лекция 5
Консервативные силы
Кроме контактных взаимодействий, возникающих между соприкасающимися телами, наблюдаются также взаимодействия между телами, удаленными друг от друга. Примерами могут служить взаимодействие между Солнцем и Землей, Землей и Луной, Землей и поднятым над ее поверхностью телом, взаимодействие между наэлектризованными телами. Подобные взаимодействия осуществляются посредсвом физических полей , которые представляют собой особую форму материи. Каждое тело создает в окружающем его пространстве особое состояние, называемое силовым полем. Это поле проявляет себя в действии сил на другие тела. Например, в гравитационном поле, создаваемом Землей, на тело массы m в каждой точке пространства вблизи поверхности Земли действует сила тяжести mg.
Силы, работа которых не зависит от пути, по которому двигалась частица, а зависит лишь от начального и конечного положения частицы, называются консервативными.
Легко показать, что работа консервативных сил на любом замкнутом пути равна нулю. Разобьем произвольный замкнутый путь (рис.5.1) точками 1 и 2 (взятыми также произвольно) на два участка, обозначенных римскими цифрами I и II. Работа на замкнутом пути слагается из работ, совершаемых на этих участках:
А=(А12)I+(А21)II (5.1)
Изменение направления движения по участку II на обратное сопровождается заменой всех элементарных перемещений ds на –ds, вследствие чего изменяет знак на обратный. Отсюда заключаем, что (А21)II=-(А12)II. Произведя такую замену в (5.1), получим, что
А=(А12)-(А12)II.
Вследствие независимости работы от пути последнее выражение равно нулю. Таким образом, консервативные силы можно определить как силы, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю.
Если силы, действующие на частицу, во всех точках поля одинаковы по модулю и направлению, поле называется однородным. Если, кроме того, поле не изменяется со временем, оно называется стационарным. В случае однородного стационарного поля F=const.
Докажем, что силы, действующие на частицу в однородном стационарном поле, консервативны. Возьмем в таком поле две произвольные точки 1 и 2 (рис.5.2 и вычислим работу, совершаемую над частицей при ее перемещении из первой точки во вторую по произвольной траектории. В выражении для работы постоянную силу можно вынести за знак интеграла:
А12=
Сумма элементарных перемещений дает результирующее перемещение s12 частицы из точки 1 в точку 2; поэтому
А12=Fs12=FsF (5.2)
Где F – модуль силы, а sF – проекция перемещения s12 на направление силы (мы опустили индексы «12» в обозначении проекции перемещения). Полученное выражение определяется только положениями точек 1 и 2 и не зависит от формы траектории. Таким образом, мы доказали, что силы однородного стационарного поля консервативны.
А12=mg(h1-h2), (5.3)
Где h1-h2 есть проекция перемещения s12 на направление вниз по вертикали (рис. 5.3). Следовательно, сила P=mg консервативна.
Поле, в любой точке которого направление силы, действующей на частицу, проходит через неподвижный центр, а модуль силы зависит только от растояния r от этого центра, называется центральным. Направлена сила либо от центра (как на рис.5.4) либо к силовому центру.
Найдем работу, совершаемую над частицей в центральном стационарном, т.е. не изменяющимся со временем, силовом поле. В таком поле модуль силы определяется функцией F(r). Представим элементарную работу в виде
dA=Fds=F(r)dsF,
где F(r) – модуль силы, а dsF – проекция перемещения на направление силы. Из рис. 5.4, выполненного для силы, направленной от центра (т.е. для случая отталкивания частицы от силового центра), следует, что dsF можно положить равной dr. Очевидно, что для силы, направленной к центру (т.е. для случая притяжения частицы к центру), dsF будет равно –dr (приращению r, взятому с обратным знаком). Соответственно dA равна F(r)dr в случае отталкивания и - F(r)dr в случае притяжения.
Работу на всем пути от точки 1 до точки 2 найдем, взяв интеграл от dA. В результате получим выражение
А12=для случая отталкивания, (5.4)
А12=-для случая притяжения. (5.5)
Оба интеграла зависят только от вида функции F(r) и от пределов интегрирования r1 и r2; от формы траектории они никак не зависят. Отсюда заключаем, что силы центрального стационарного поля являются консервативными.
Потенциальная энергия материальной
ЛЕКЦИЯ 6
В этой сумме имеется N(N-1) слагаемых (каждая из N частиц взаимодействует с N-1 частицей).
Взаимная энергия системы частиц зависит только от их взаимного расположения (от конфигурации системы). Если при движении частиц конфигурация системы не изменяется, то потенциальная энергия остается неизменной и внутренние силы работы не совершают.
Потенциальной энергией обладают не только системы обособленных взаимодействующих частиц, но и сплошные деформированные тела (например, растянутая или сжатая пружина). В этом случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположения отдельных частей тела (например, от расстояния между витками пружины). Как для растяжения, так и для сжатия пружины на величину х нужно совершить работу А=кх2/2. Эта работа идет на приращение потенциальной энергии пружины. Следовательно, зависимость потенциальной энергии пружины от удлинения х имеет вид
Ер= (6.8)
(мы предположили потенциальную энергию недеформированной пружины равной нулю).
Закон сохранения энергии
Сведем воедино результаты, полученные в предыдущих параграфах. Для этого рассмотрим систему, состоящую из N взаимодействующих друг с другом частиц, находящихся под воздействием внешних как консервативных, так и неконсервативных сил. Силы взаимодействия между частицами предполагаются консервативными. Определим работу, совершаемую над частицами при перемещении системы из одного места в другое, сопровождающееся изменением конфигурации системы.
Работа внешних консервативных сил может быть представлена как убыль потенциальной энергии системы во внешнем силовом поле:
А12,внеш,консерв=
Лекция 7
Момент силы
Моментом силы относительно точки О называется вектор М, модуль которого равен произведению модуля силы на ее плечо l:
Рис. 7.1). Плечом силы называют длину перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила. Направлен вектор М перпендикулярно к плоскости, в которой лежат сила и точка О, причем так, что направление вращения, обусловленного силой, и направление вектора М образуют правовинтовую систему (поворот головки винта или шурупа с правой нарезкой в направлении силы вызвал бы перемещение винта в направлении вектора М). Поскольку его направление определяется условно, М является псевдовектором.
На рис. 7.1 вектор М изображен в виде кружка с крестиком внутри. Так мы будем в дальнейшем обозначать векторы, перпендикулярные к плоскости чертежа и направленные «от нас». Векторы, перпендикулярные к плоскости чертежа и направленные «на нас», мы будем обозначать кружком с точкой внутри него.
Момент силы можно представить в виде векторного произведения радиус –вектора r точки приложения силы на силу F.
М=[rF] (7.2)
Здесь r – радиус-вектор точки приложения силы, проведенной из точки, относительно которой определяется момент.
Когда сила приложена к одной из точек твердого тела, вектор М характеризует способность силы вращать тело вокруг точки О, относительно которой он берется. Поэтому момент силы называют также вращающим моментом. Если тело может вращаться вокруг точки О произвольным образом, то под действием силы тело повернется вокруг оси, совпадающей с направлением вращающего момента.
Проекция вектора М на произвольную ось z, проходящую через точку О, называется моментом силы относительно этой оси:
Мz=[rF]пр.z. (7.3)
Разложим силу F на три составляющие, как показано на рис. 7.2. Воспользовавщись дистрибутивностью векторного произведения, представим момент силы F относительно точки О в виде
М=[r, (FII+F^+Fi)]=[rFII]+[rF^]+[rFi]=MII+M^+Mi,
Проекция на ось z вектора М равна сумме проекций моментов составляющих сил. Моменты МII и М^ перпендикулярны к оси z, поэтому их проекции равны нулю. Следовательно,
Мz=(Мi)пр.z=Мi cosa=rFi cosa=RFi (7.4)
(Рис. 7.2)
Из трех составляющих силы F вращение вокруг оси z может вызвать только сила Fi, причем она тем успешнее осуществит этот поворот, чем больше ее плечо R относительно точки ОI. Таким образом, момент силы относительно оси характеризует способность силы вращать тело вокруг этой оси.
Две равные по модулю противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной прямой, называют парой сил (рис.7.3). Расстояние l между прямыми, вдоль которых действуют силы, называется плечом пары. Суммарный момент сил относительно точки О равен
М=[r1F1]+[r2F2].
Учтя, что F2=-F1, можно написать
где r21=r1-r2 (рис.7.3). Полученное выражение не зависит от положения точки О, следовательно, момент пары сил относительно любой точки будет одним и тем же. Вектор М перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы, а его модуль равен произведения модуля любой из сил на плечо.
Силы гравитационного и кулоновского взаимодействия между двумя частицами образуют пару с плечом, равным нулю. Поэтому их суммарный момент относительно любой точки равен нулю. Отсюда следует, что моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы частиц всегда равна нулю:
(7.6)
Соответственно равен нулю и суммарный момент относительно любой оси z:
. (7.7)
Л Е К Ц И Я 8
Момент инерции
Из определения момента инерции
I= (8.8)
следует, что эта величина аддитивна. Это означает, что момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции частей тела относительно той же оси.
Поэтому суммирование в выражении для момента инерции должно быть заменено интегрированием:
I=. (8.9)
Кинетическая энергия тела при плоском движении
Представим плоское движение тела как наложение поступательного движения со скоростью v0 некоторой точки О и вращение вокруг оси, проходящей через эту точку, с угловой скоростью w. В этом случае скорость i-й элементарной массы тела определяется формулой
vi=v0+[wri],
гле ri – радиус-вектор i-й элементарной массы, проведенный из точки О.
Кинетическая энергия i-элементарной массы равна
(DЕк)i=
Лекция 9
Кинетическая энергия тела при плоском движении
Представим плоское движение тела как наложение поступательного движения со скоростью v0 некоторой точки О и вращение вокруг оси, проходящей через эту точку, с угловой скоростью w. В этом случае скорость i-й элементарной массы тела определяется формулой
vi=v0+[wri],
гле ri – радиус-вектор i-й элементарной массы, проведенный из точки О.
Кинетическая энергия i-элементарной массы равна
(DЕк)i=
Лекция 10
Механические колебания
Колебательное движение, общие сведения о колебаниях
Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электромагнитные и т.д.
В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.
Свободными или собственными колебаниями называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок либо она была выведена из положения равновесия.
Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силой.
Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой – система сама управляет внешним воздействием.
При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например длины нити, к которой подвешен шарик, совершающий колебания.
Простейшими являются гармонические колебания, т.е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника) изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам: во-первых, колебания в природе и технике часто имеют характер очень близкий к гармоническим, и, во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.
Затухающие колебания.
Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. В простейшем случае сила сопротивления пропорциональна величине скорости:
Fc=-rv=-r (10.13)
Здесь r – постоянная, называемая коэффициентом сопротивления.
Уравнение второго закона Ньютона при наличии сил сопротивления имеют вид
m (10.14)
Лекция 11
Упругие волны
– Конец работы –
Используемые теги: атика, материальной, точки0.06
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Кинематика материальной точки
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов