Кинетическая энергия и работа.

Рассмотрим простейшую систему, состоящую из одной материальной точки (частицы) массы m, движущейся под действием сил, результирующая которых равна F. Напишем уравнение движения частицы:

m

(– ускорение частицы). Умножим скалярно обе части этого равенства на элементарное перемещение частицы ds:

m (4.9)

Учтя, что ds=vdt; (напомним, что перемещенеие ds совпадает с приращением радиус-вектора dr), представим левую часть равенства (3.9) в виде

mvdt=mvdv. (=dv/dt, откуда dt=dv).

Согласно формуле А²=АА=ААcos0⁰=А² vdv=vdv (это равенство поясняет также рис. 4.1). Следовательно,

mvdv=mvdv=d. (4.10)

Заменив полученным выражением левую часть формулы (4.9), придем к соотношению

d (4.11)

Если результирующая сил, действующих на частицу, равна нулю, d(mv²/2)=0, то сама величина

Е_к= (4.12)

остается постоянной. Эта величина называется кинетической энергией частицы. Приняв во внимание, что произведение mv равно модулю импульса частицы р, выражению (4.12) можно придать вид

Е_к= (4.13)

Если сила F, действующая на частицу, не равна нулю, кинетическая энергия получит за время dt приращение

dE_k=Fds, (4.14)

где ds – перемещение частицы за время dt. Величина

dA=Fds (4.15)

называется работой, совершаемой силой F на пути ds (ds – модуль перемещения ds). Из (3.14) следует, что работа характеризует изменение кинетической энергии, обусловленное действием силы на движущуюся частицу:

dE_k=dA (4.16)

Проинтегрируем обе части равенства (4.11) вдоль траектории частицы от точки 1 до точки 2:

Левая часть полученного равенства представляет собой приращение кинетической энергии частицы:

Правая часть есть работа А₁₂ силы F на пути 1-2:

А₁₂=

Таким образом, мы пришли к соотношению

А₁₂=Е_к2-Е_к1, (4.17)

из которого следует, что работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы.