Точки во внешнем силовом поле

Сопоставим каждой точке поля консервативных сил значение некоторой функции координат Е_р(x,y,z), которую определим следующим образом. Произвольно выбранной точке О припишем значение функции Е_р0, взятое также произвольно. Значение функции в любой другой точке В положим равным сумме Е_р0 и работы А_В0, совершаемой силами поля при перемещении частицы из точки В в точку О:

Е_рВ=Е_р0+А_В0 (5.6)

Поскольку работа А_В0 не зависит от пути, значения функции Е_Р во всех точках поля определяются однозначно. Функция (5.6) имеет, как и кинетическая энергия Е_к, размерность работы и называется потенциальной энергией частицы во внешнем силовом поле.

Образуем разность значений потенциальной энергии для точек 1 и 2 (рис.5.5). Согласно формуле (5.6)

Е_р1-Е_р2=(Е_р0+А₁₀)-(Е_р0+А₂₀)=А₁₀-А₂₀=А₁₀+А₀₂

(мы воспользовались тем, что А₂₀=-А₀₂). Правая часть полученного соотношения дает работу, совершаемую над частицей силами поля на пути из точки 1 в точку 2, проходящем через точку О. Вследствие независимости работы от формы пути такая же работа А₁₂ совершается на любом другом пути. Следовательно, мы приходим к выводу, что работа консервативных сил равна разности значений функции Е_р в начальной и конечной точках пути, т.е. убыли потенциальной энергии:

А₁₂=Е_р1-Е_р2. (5.7)

Из (5.6) следует, что потенциальная энергия определяется с точностью до неизвестной аддитивной постоянной Е_р0. Однако это не имеет никакого значения, так как во все физические соотношения входит либо разность значений потенциальной энергии в двух точках, либо производная функции Е_р по координатам.

Ранее мы нашли, что работа силы тяжести равна

А₁₂=mgh₁-mgh₂ (5.8)

Сопоставление формул (5.6) и (5.7) дает, что потенциальная энергия частицы массы m в поле сил тяжести определяется выражением

Е_р=mgh, (5.9)

где h отсчитывается от произвольного уровня.

В отличие от кинетической энергии, которая всегда положительна, потенциальная энергия может быть как положительной, так и отрицательной. Если, например, h отсчитывать от поверхности Земли, то потенциальная энергия частицы, лежащей на дне ямы глубины l, будет равна –mgl (подчеркнем, что l>0, ибо глубина, как и длина, не может быть отрицательной).

Пусть частица движется в поле консервативных сил. При переходе из точки 1 в точку 2 над ней совершается работа (5.5). В соответствии с формулой (4. ) эта работа равна приращению кинетической энергии частицы. Приравняв оба выражения для работы, получим соотношение Е_р1-Е_р2=Е_к2-Е_к1, из которого следует, что

Е_к1+Е_р1=Е_к2+Е_р2. (5.10)

Величина Е, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, называется полной механической энергией частицы. Формула (5.10) означает, что Е₁=Е₂, т.е. что полная механическая энергия частицы, движущейся в поле консервативных сил, остается постоянной. Это утверждение выражает закон сохранения механической энергии для системы, состоящей из одной частицы.

В случае поля силы тяжести полная энергия определяется выражением

Е= (5.11)

Кинетическая и потенциальная энергии могут переходить друг в друга. Однако, если на частицу не действуют никакие силы, кроме обусловивших потенциальную энергию консервативных сил, полная энергия остается постоянной. Пусть частица свободно падает с высоты h. Первоначально ее кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия равна mgh. Формулы кинематики дают для скорости в конце падения значение v=Следовательно, в конце падения кинетическая энергия частицы равна

Е_к=

Потенциальная же энергия в конце падения равна нулю. Таким образом, потенциальная энергия превратилась в эквивалентное количество кинетической энергии.

Если известно выражение Е_р(x,y,z) для потенциальной энергии, можно найти силу, действующую на частицу в каждой точке поля. Пусть частица переместилась параллельно оси х, вследствие чего координата х получила приращение dx. При этом силы поля совершают над частицей работу dA=Fds=F_xds_x; в данном случае ds_y и ds_z равны нулю. Проекция перемещения ds на ось х равна dx; поэтому dA=F_xdx. Вместе с тем согласно формуле (3.30) эта работа равна убыли потенциальной энергии: dA=-dE_p. Приравняв оба выражения для работы, найдем, что F_xdx=-dE_p, откуда

F_x=-.

Мы написали дЕ_р/дх вместо dE_p/dx, чтобы отметить то обстоятельство, что производная по х вычисляется при условии, что координаты y и z остаются постоянными. Производная, вычисленная при этом условии, называется частной. Таким образом, компонента силы по оси х равна взятой с обратным знаком частной производной потенциальной энергии по переменной х. Для компонент силы по осям y и z получаются аналогичные выражения. Следовательно. Мы приходим к соотношениям

F_x=- F_y=- F_z=- (5.12)

Учитывая, что сумма произведений компонент силы на соответствующие орты координатных осей дает вектор силы:

F=F_xe_x+F_ye_y+F_ze_z=- (5.13)

Вектор с компонентами где j - скалярная функция координат х, у, z, называется градиентом функции j и обозначается символом grad j:

grad j=e_x+e_ye_z. (5.14)

Направление вектора grad j совпадает с направлением оси l, вдоль которой функция j возрастает с наибольшей скоростью, а модуль равен dj/dl, т.е. скорости возрастания функции j при перемещении вдоль оси l. В этом проще всего убедиться на примере функции, зависящей только от одной координаты, скажем х. Для такой функции

grad j=e_x

В этом случае осью l является ось х, если dj/dx>0, либо ось, противоположная оси х, если dj/dl<0. Модуль же grad j равен I dj/dx I, т.е. dj/dl.

Выражение (3.37) можно рассматривать как результат действия на функцию j оператора

е_хе_уе_z, (5.15)

который называется оператором Гамильтона или оператором набла. Поэтому градиент функции j можно представить в виде j:

grad jºj.

Из сравнения выражений (5.13) и (5.14) заключаеи, что

F=-grad E_p, или F=-E_p. (5.16)

Таким образом, консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии частицы, взятому с обратным знаком.

Если система состоит из N не взимодействующих друг с другом частиц, находящихся в поле внешних консервативных сил, то потенциальная энергия этой системы равна сумме потенциальных энергий отдельных частиц:

Е_р= (5.17)

Здесь Е_рi – потенциальная энергия i – й частицы. Функция Е_р зависит от координат всех N частиц. Сила F_i, действующая на i – ю частицу, равна -Е_рi.