Рассмотрим движение частицы (т.е. материальной точки) по некоторой траектории. Если за равные, сколь угодно малые промежутки времени Dt частица проходит одинаковые пути Ds, движение частицы называется равномерным. Разделив путь s на время t, за которое он пройден, получим величину
, (1.1)
которую в обыденной жизни называют скоростью частицы. Эта величина численно равна пути, проходимому частицей в единицу времени.
Если движение неравномерное, величина, получаемая делением s на t, дает среднее значение скорости за промежуток времени t:
<v>= (1.2)
(Средние значения величин мы будем обозначать, заключая символы этих величин в угловые скобки.)
Чтобы определить скорость v в некоторый момент времени t, берут следующий за t небольшой промежуток времени Dt (его можно рассматривать как приращение времени) и измеряют путь Ds, пройденный частицей за время Dt (его можно рассматривать как приращение пути). Беря все меньшие промежутки времени Dt (соответственно будут уменьшаться пути Ds), получают значения отношения Ds/Dt, приближающиеся к «истинной» скорости в момент t. В пределе при стремлении Dt к нулю отношение Ds/Dt даст скорость в момент времени t. Аналитически это записывают следующим образом:
v==sI (1.3)
Выражение (1.3) показывает, что скорость v представляет собой производную путиs по времени t.
Все сказанное до сих пор относится к величине, которую называют скоростью в обыденной жизни. В механике под скоростью понимают векторную величину v, которая характеризует не только быстроту движения частицы по траектории, но и направление, в котором движется частица в каждый момент времени. В соответствии с этим величина, определяемая формулой (1.3), представляет собой не саму скорость v, а ее модуль v.
На рис. 1.3 показана траектория частицы. За время Dt частица получила перемещение Dr, равное приращению радиус-вектора частицы r. Скорость частицы v определяется как предел отношения перемещения частицы Dr к промежутку времени Dt, за который оно произошло, при условии, что Dt стремится к нулю:
Выражение (1.4) показывает, что скорость есть производная радиус-вектора по времени.
В физике принято производные по времени обозначать не штрихом, а точкой над буквой, обозначающей данную величину. Поэтому определение (1.4) можно записать в виде
v=. (1.5)
Из рис.1.3 следует, что вектор v направлен по касательной к траектории в той точке, где находится частица в данный момент, в ту сторону, в которую движется частица.
Найдем модуль выражения (1.4), т.е. модуль скорости v:
IvI=½½= (1.6)
На рис.1.3 видно, что отношение при уменьшении Dt стремится к единице. Поэтому преобразуем выражение (1.6) так:
IvI=. (1.7)
Мы пришли к формуле (1.3).
Отметим, что при равномерном движении скорость, изменяясь как угодно по направлению, остается постоянной по модулю.
Положение материальной точки в пространстве задается радиусом-вектором:
r=xex+yey+zez (1.8)
Продифференцируем по времени выражение (1.8) для радиус вектора, учтя, что ех, еy, ez-постоянные векторы. В результате получим для скорости выражение
v== (1.9)
Вместе с тем в соответствии с формулой (1.9) скорость можно представить в виде
v=vxex+vyey+vzez (1.10)
где vx, vy, vz – компоненты скорости, т.е. проекции вектора v на координатные оси.