Работа внутренних сил равна убыли взаимной потенциальной энергии частиц:
А12,внутр=
Где определяется формулой (6.7).
Работу неконсервативных сил обозначим посредством .
Согласно формуле (3.17) суммарная работа всех сил затрачивается на приращение кинетической энергии системы Ек, которая равна сумме кинетических энергий частиц:
Ек=. (6.9)
Следовательно,
()+()+=Ек2-Ек1.
Сгруппируем члены этого соотношения следующим образом:
.
Сумма кинетической и потенциальной энергий представляет собой полную механическую энергию системы Е:
Е=Ек+ (6.10)
Таким образом, мы установили, что работа неконсервативных сил равна приращению полной энергии системы:
Е2-Е1= (6.11)
Из (6.11) следует, что в случае, когда неконсервативные силы отсутствуют, полная механическая энергия системы остается постоянной:
Е=Ек+=const. (6.12)
Мы пришли к закону сохранения механической энергии, который гласит, что полная механическая энергия системы материальных точек, находящихся под действием только консервативных сил, остается постоянной.
Если система замкнута и силы взаимодействия между частицами консервативны, то полная энергия содержит лишь два слагаемых: Е=Ек+(- взаимная потенциальная энергия частиц). В этом случае закон сохранения механической энергии заключается в утверждении, что полная механическая энергия замкнутой системы материальных точек, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной.
В основе закона сохранения энергии лежит однородность времени, т.е. равнозначность всех моментов времени, заключающееся в том, что замена момента времени t1 моментом времени t2 без изменения значений координат и скоростей тел не изменяет механических свойств системы. Поведение системы, начиная с времени t2 будет таким же, каким оно было бы, начиная с момента t1.
При наличии неконсервативных сил полная механическая энергия системы не сохраняется. Неконсервативными, в частности, являются силы трения и силы сопротивления среды. Работа этих сил, как правило, отрицательна. Поэтому при наличии сил трения и сил сопротивления среды полная механическая энергия системы уменьшается, переходя во внутреннюю энергию тел, что приводит к их нагреванию. Такой процесс называется диссипацией энергии (латинское слово «диссипация» означает «рассеяние»). Силы, приводящие к диссипации энергии, называются диссипативными. Отметим, что неконсервативные силы не обязательно являются диссипативными.
Закон сохранения энергии имеет всеобщий характер. Он применим ко всем без исключения процессам, происходящим в природе. Полное количество энергии в изолированной системе тел и полей всегда остается постоянным; энергия лишь может переходить из одной формы в другую. Этот факт является проявлением неуничтожимости материи и ее движения.
Соударения тел
При соударении тела в большей либо меньшей мере деформируются. При этом кинетическая энергия тел частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии приводит к нагреванию тел.
Рассмотрим два предельных вида соударения – абсолютно неупругий и абсолютно упругий удар. Абсолютно неупругим называется удар, при котором потенциальная энергия упругой деформации не возникает; кинетическая энергия тел частично или полностью превращается во внутреннюю энергию; после удара тела движутся с одинаковой скоростью (т.е. как одно тело) либо покоятся. При таком ударе выполняется только закон сохранения импульса, закон же сохранения механической энергии не соблюдается – механическая энергия частично или полностью переходит во внутреннюю.
Абсолютно упругим называется такой удар, при котором полная механическая энергия тел сохраняется. Сначала кинетическая энергия частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую и тела разлетаются со скоростями, определяемыми двумя условиями – сохранением суммарной энергии и суммарного импульса тел.
Обозначим массы шаров m1 и m2, скорости шаров до удара v1 и v2, скорости после удара u1 и u2.
Начнем с абсолютно неупругого удара. Закон сохранения импульса требует, чтобы суммарный импульс шаров после удара был таким же, как до удара. Поэтому
m1v1+m2v2=(m1m2)u
где u – одинаковая скорость шаров после удара. Отсюда
u= (6.13)
Для числовых расчетов нужно спроектировать все векторы на ось х (рис. 6.2).
Теперь рассмотрим абсолютно упругий удар. Напишем уравнение сохранения импульса и энергии:
m1v1+m2v2=m1u1+m2u2,
.
Преобразуем эти уравнения следующим образом:
m1(v1-v2)=m2(u2-v2) (6.14)
[m1(v1-u1)](v1+u1)=[m2(u2-v2)](u2+v2) (6.15)
Все векторы, входящие в уравнения (6.14) и (6.15), коллинеарны. Для коллинеарных векторов из А=В и АС=ВD следует, что С=D. Поэтому можно написать, что
v1+u1=u2+v2 (6.16)
Умножив (3.56) на m2 и вычтя результат из (6.14), а затем умножив (6.16) на m1 и сложив результат с (6.14), найдем скорости шаров после удара:
u1= u2= (6.17)
Заметим, что выражение для u2 отличается от выражения для u1 только перестановкой индексов 1 и 2. Это естественно, поскольку шары в процессе соударения совершенно равноправны и безразлично, какой из них считать первым, а какой вторым.
Чтобы осуществить расчеты, нужно спроектировать все векторы на ось х. Сделаем это, например, для случая а на рис. 6.2. В этом случае проекция вектора v1 равна модулю вектора, взятому со знаком плюс: v1х=v1, а проекция вектора v2 – модулю, взятому со знаком минус: v2x=-v2. Поэтому
u1= u2= (6.18)
Пусть m1=1 кг, m2=2 кг, v1=1 м/с. v2=3 м/с. Подстановка этих чисел в формулы (6.18) дает значения: u1х=-(13/3) м/с, u2х=-(1/3) м/с. Обе проекции оказались отрицательными. Это означает, что после соударения оба шара движутся влево. Следовательно, первый шар изменил направление движения на обратное, второй же шар после удара движется в первоначальном направлении, изменился лишь модуль его скорости (с 3 до (1/3) м/с).
Особый интерес представляет случай, когда массы шаров одинаковы: m1=m2. При этом условии из (6.18) получается, что
u1=v2, u2=v1.
Следовательно, шары равной массы при центральном ударе обмениваются скоростями. В частности, если один из шаров до соударения покоился, то после удара он движется с такой же скоростью, какую имел первоначально другой шар, который после удара оказывается неподвижным. При центральном абсолютно упругом ударе шар полностью передает свою скорость неподвижному шару той же массы.