С учетом dm=rdV, получим формулу

I= (8.10)

где r - плотность тела в точке, в которой взят объем dV, R – расстояние этого объема от оси, относительно которой вычисляется момент.

Если тело однородно, плотность r во всех его точках одинакова и ее можно вынести за знак интеграла:

 
 

I=r (8.11)

Вычисление интеграла (8.11), а тем более интеграла (8.10) представляет собой сложную задачу. Дело значительно упрощается в случае однородных осесимметричных тел. В качестве примера найдем момент инерции однородного цилиндра относительно его геометрической оси ОО (рис. 8.5). Разобьем цилиндр на слои радиуса R и толщины dR. Масса такого слоя равна dm=rdV=r×2pRhdR (dV – объем слоя). Все точки слоя отстоят от оси ОО на одинаковое расстояние R. Поэтому вклад слоя в момент инерции равен

dI=rR2dV=rR2×2pRh dR=2prhR3dR.

Проинтегрировав это выражение по R в пределах от 0 до r (r – радиус цилиндра), получим искомый момент инерции:

I=2prh2prhrhpr2×r2=mr2 (8.12)

(m=rhpr2 – масса цилиндра). Отметим, что полученное выражение не зависит от высоты цилиндра h. Следовательно, формула (8.12) определяет и момент инерции тонкого диска относительно перпендикулярной к нему проходящей через его центр оси.

Рассмотрим произвольное тело и две параллельные друг другу оси, одна из которых (ось С) проходит через центр масс тела, а другая (ось О) отстоит от первой на расстоянии а (рис. 8.6). Выберем оси координат x, y и xI, yI так, как показано на рисунке.

Момент инерции I относительно оси О определяется выражением

I=

Разобьем это выражение на три суммы:

I=

Первая сумма представляет собой момент инерции Ic относительно оси, проходящей через центр масс. Сумма дает массу тела m. Наконец, =xcm, где xс – координата центра масс, которая при сделанном выборе начала координат равна нулю. Таким образом, мы приходим к соотношению

I=Ic+ma2. (8.13)

Это соотношение выражает теорему Штейнера, которая гласит, что момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями. Теорема Штейнера сводит вычисление момента инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Вычислим момент инерции тонкого однородного стержня массы m и длины l относительно перпендикулярной к нему оси ОО, проходящей через его конец (рис.8.7). Заметим, что стержень можно считать тонким. Если максимальный поперечный размер его много меньше длины l. В соответствии с формулой (8.9)

I= (8.14)

С помощью теоремы Штейнера можно найти момент инерции Ic стержня относительно перпендикулярной к нему оси, проходящей через его центр. Согласно (8.13)

I=Ic+m(

Откуда

Ic=ml2. (8.15)

Наконец приведем без вывода значение момента инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр:

I=mr2 (8.16)

(m – масса, а r – радиус шара).