Кинетическая энергия вращающегося тела

Когда тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью w, элементарная масса Dm_i, отстоящая от оси вращения на расстояние R_i, обладает скоростью v_i=wR_i.Следовательно, ее кинетическая энергия равна

(DЕ_k)_i=

Сумма энергий (DЕ_k)_i дает кинетическую энергию всего тела:

Е_к===Iw². (8.17)

Это выражение аналогично выражению для кинетической энергии материальной точки (и поступательно движущегося тела): Е_к=mv²/2. Роль массы играет момент инерции, а роль линейной скорости – угловая скорость.

Найдем работу, совершаемую внешней силой при вращении тела. Рассмотрим частный случай, когда сила направлена по касательной к окружности, по которой движется точка приложения силы (рис.8.8). В этом случае сила F и перемещение ds точки ее приложения коллинеарны. Элементарная работа dA=F_sds=F_sRdj. В случае а на рис. 8.8 сила действует в направлении перемещения, поэтому F_s равна модулю силы F и dA=FRdj. В случае б сила и перемещение направлены в противоположные стороны, поэтому F_s=-F и dA=-FRdj. Как следует из рисунка, оба выражения для работы можно представить одной формулой

dA=M_zdj (8.18)

В общем случае, когда внешняя сила направлена произвольно, ее можно разложить на три составляющих. Составляющие F_II и F_^ перпендикулярны к перемещению ds и поэтому работы не совершают. Они также не вносят вклада в М_z. Следовательно, и в этом случае работа определяется формулой (8.18).

Поскольку направление оси z и вектора w совпадают, формулу (8.18) можно представить в виде

dA=M_wdj (8.19)

где M_w - проекция М на направление вектора w.

Формула (8.19) сходна с формулой dA=F_sds. Разделив работу (8.19) на время dt, за которое тело повернулось на угол dj, получим мощность, развиваемую силой F:

P=dA/dt=M_w w. (8.20)