(DЕк)i=
Просуммировав (DЕк)i по всем элементарным массам, найдем кинетическую энергию тела:
Ек=
Разобьем полученное выражение на три слагаемых, вынося при этом постоянные множители за знак суммы:
Ек= (9.21)
Сумма элементарных масс даст массу тела: Следовательно, первое слагаемое равно mv02/2.
Квадрат вектора равен квадрату его модуля. Поэтому, как следует из рис. 8.9, [wri]2=w2Ri2, где Ri – расстояние i-й массы от оси вращения. Соответственно третье слагаемое в (8.21) равно
(I0 – момент инерции тела относительно оси вращения О).
Воспользовавшись дистрибутивностью векторного произведения, преобразуем второе слагаемое в (8.21) следующим образом:
где rc – радиус-вектор центра масс, проведенный из точки О.
С учетом всего сказанного можно написать, что
Ек= (8.22)
В первое слагаемое входят только величины, характеризующие поступательное движение, в третье слагаемое – только величины, характеризующие вращательное движение. Второе же слагаемое содержит величины, характеризующие как поступательное, так и вращательное движение.
Если в качестве точки о взять центр масс тела С, то rc будет равно нулю и формула (8.22) упростится следующим образом:
Ек=(1/2)mvc2+(1/2)Icw2. (8.23)
Здесь vc – скорость центра масс, Ic – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.
Таким образом, если разбить плоское движение тела на поступательное со скоростью центра масс и вращение вокруг оси, проходящей через центр масс, то кинетическая энергия распадается на два независимых слагаемых, одно из которых определяется только величинами, характеризующими поступательное движение, а другое – только величинами, характеризующими вращение.