Возведение в квадрат дает

(DЕк)i=

Просуммировав (DЕк)i по всем элементарным массам, найдем кинетическую энергию тела:

Ек=

Разобьем полученное выражение на три слагаемых, вынося при этом постоянные множители за знак суммы:

Ек= (9.21)

Сумма элементарных масс даст массу тела: Следовательно, первое слагаемое равно mv02/2.

Квадрат вектора равен квадрату его модуля. Поэтому, как следует из рис. 8.9, [wri]2=w2Ri2, где Ri – расстояние i-й массы от оси вращения. Соответственно третье слагаемое в (8.21) равно

(I0 – момент инерции тела относительно оси вращения О).

Воспользовавшись дистрибутивностью векторного произведения, преобразуем второе слагаемое в (8.21) следующим образом:

где rc – радиус-вектор центра масс, проведенный из точки О.

С учетом всего сказанного можно написать, что

Ек= (8.22)

В первое слагаемое входят только величины, характеризующие поступательное движение, в третье слагаемое – только величины, характеризующие вращательное движение. Второе же слагаемое содержит величины, характеризующие как поступательное, так и вращательное движение.

Если в качестве точки о взять центр масс тела С, то rc будет равно нулю и формула (8.22) упростится следующим образом:

Ек=(1/2)mvc2+(1/2)Icw2. (8.23)

Здесь vc – скорость центра масс, Ic – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Таким образом, если разбить плоское движение тела на поступательное со скоростью центра масс и вращение вокруг оси, проходящей через центр масс, то кинетическая энергия распадается на два независимых слагаемых, одно из которых определяется только величинами, характеризующими поступательное движение, а другое – только величинами, характеризующими вращение.