Кинетическая энергия вращающегося тела

Когда тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью w, элементарная масса Dm_i, отстоящая от оси вращения на расстояние R_i, обладает скоростью v_i=wR_i.Следовательно, ее кинетическая энергия равна

(DЕ_k)_i=

Сумма энергий (DЕ_k)_i дает кинетическую энергию всего тела:

Е_к=

Приняв во внимание формулу (8.16) , придем к выражению

Е_к=Iw². (9.1)

Это выражение аналогично выражению для кинетической энергии материальной точки (и поступательно движущегося тела): Е_к=mv²/2. Роль массы играет момент инерции, а роль линейной скорости – угловая скорость.

Найдем работу, совершаемую внешней силой при вращении тела. Рассмотрим частный случай, когда сила направлена по касательной к окружности, по которой движется точка приложения силы (рис.9.1). В этом случае сила F и перемещение ds точки ее приложения коллинеарны. Элементарная работа dA=F_sds=F_sRdj. В случае а на рис. 9.1 сила действует в направлении перемещения, поэтому F_s равна модулю силы F и dA=FRdj. В случае б сила и перемещение направлены в противоположные стороны, поэтому F_s=-F и dA=-FRdj. Как следует из рисунка, оба выражения для работы можно представить одной формулой

dA=M_zdj (9.2)

В общем случае, когда внешняя сила направлена произвольно, ее можно разложить на три составляющих. Составляющие F_II и F_^ перпендикулярны к перемещению ds и поэтому работы не совершают. Они также не вносят вклада в М_z. Следовательно, и в этом случае работа определяется формулой (9.2).

Поскольку направление оси z и вектора w совпадают, формулу (9.2) можно представить в виде

dA=M_wdj (9.3)

где M_w - проекция М на направление вектора w.

Формула (9.3) сходна с формулой dA=F_sds. Сходство становится особенно наглядным, если написать последнюю формулу в виде dA=F_vds, где F_v – проекция силы F на направление скорости v точки приложения силы ( направления векторов v и ds совпадают).

Разделив работу (9.3) на время dt, за которое тело повернулось на угол dj, получим мощность, развиваемую силой F:

P=dA/dt=M_w w. (9.4)

Знак мощности зависит от взаимного направления векторов М и w. Если эти векторы направлены в противоположные стороны, M_w< 0 и мощность отрицательна.

Формула (9.4) сходна с формулой Р=Fv=F_vv.

Таблица 9.1

Поступательное движение	Вращение
v– линейная скорость а=- линейное ускорение m –масса p=mv – импульс F- сила dp/dt=F – уравнение движения ma=F – уравнение движения Ек=mv2/2 – кинетическая энергия dA=Fsds=Fvds – работа P=Fvv -мощность	w - угловая скорость e=- угловое ускорение I – момент инерции Lz=Iw - момент импульса М – момент силы dL/dt=M – уравнение движения Iez=Mz – уравнение движения Ек=Iw2/2 – кинетическая энергия dA=Mwdj - работа Р= Mww - мощность

В таблице 9.1 сопоставлены формулы механики поступательного движения и вращения вокруг неподвижной оси. Из этого сопоставления следует, что во всех случаях роль линейной скорости играет угловая скорость, роль линейного ускорения – угловое ускорение, роль массы – момент инерции, роль импульса – момент импульса, силы – момент силы.