Малые колебания

Рассмотрим механическую систему, положение которой может быть задано с помощью одной величины, которую мы обозначим х. В таких случаях говорят, что система имеет одну степень свободы. Величиной х, определяющей положение системы, может быть угол, отсчитываемый от некоторой плоскости, или расстояние, отсчитываемое вдоль заданной кривой (в частности прямой) линии, и т.п. Потенциальная энергия системы будет функцией одной переменной х: U=U(x). Допустим, что система обладает положением устойчивого равновесия. В этом положении функция U(x) имеет минимум. Условимся координату х и потенциальную энергию U отсчитывать от положения равновесия. Тогда U(0)=0.

Разложим функцию U(x) в ряд по степеням х, причем ограничимся рассмотрением малых колебаний, так что высшими степенями х можно будет пренебречь. По формуле Маклорена

U(x)=U(0)+UI(0)х+1/2 UII(0)х2

(ввиду малости х остальными членами пренебрегаем). Поскольку U(x) при х=0 имеет минимум, UI(0) равна нулю, а UII(0) положительна. Кроме того, по условию U(0)=0. Введем обозначения: UII(0)=к (к>0). Тогда

U(х)=1/2кх2. (10.1)

Выражение (10.1) идентично с выражением для потенциальной энергии деформированной пружины. Найдем силу, действующую на систему:

Fx=- (10.2)

Выражение (10.2) тождественно выражению для упругой силы деформированной пружины. Поэтому силы вида (10.2), независимо от их природы, называют квазиупругими. Сила, описываемая формулой (10.2), всегда направлена к положению равновесия. Модуль силы пропорционален величине отклонения системы от равновесного положения.

Гармонические колебания

Рассмотрим систему, состоящую из шарика массы m, подвешенного на пружине, массой которой можно пренебречь по сравнению с m (рис. 10.1). В положении равновесия сила mg уравновешивается упругой силой кDl0:

mg=kDl0 (10.3)

(Dl0 – удлинение пружины). Будем характеризовать смещение шарика из положения равновесия координатой х, причем ось х направим по вертикали вниз, а нуль оси совместим с положением равновесия шарика. Если сместить шарик в положение, характеризуемое координатой х, то удлинение пружины станет равным Dl0+х и проекция результирующей силы на ось х примет значение F=mg-k(Dl0+х). Учтя условие (10.3), получим, что

F=-kx. (10.4)

Таким образом, в рассмотренном примере результирующая сила тяжести и упругой силы имеет характер квазиупругой силы.

Сообщим шарику смещение х=а, после чего предоставим систему самой себе. Под действием квазиупругой силы шарик будет двигаться к положению равновесия со все возрастающей скоростью v=. При этом потенциальная энергия системы будет убывать (рис.10.2), но зато появится все возрастающая кинетическая энергия Ек=1/2 m(массой пружины пренебрегаем). Придя в положение равновесия, шарик продолжает двигаться по инерции. Это движение будет замедленным и прекратится тогда, когда кинетическая энергия полностью превратится в потенциальную, т.е. когда смещение шарика станет равным –а. Затем такой же процесс будет протекать при движении шарика в обратном направлении. Если трение в системе отсутствует, энергия системы должна сохраняться и шарик будет двигаться в пределах от х=а до х=-а неограниченно долго.

Уравнение второго закона Ньютона для шарика имеет вид

m=-kx. (10.5)