Применив обозначения

2b=r/m, =k/m (10.15)

перепишем уравнение (10.14) следующим образом:

(10.16)

Это дифференциальное уравнение описывает затухающие колебания системы.

Колебания, описываемые уравнениями (10.14) и (10.16), являются свободными (или собственными): выведенная из положения равновесия или получившая толчок система совершает колебания, будучи предоставленной самой себе. Отметим, что w₀ представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания в отсутствие сопротивления среды (при r=0). Эту частоту называют собственной частотой системы.

При неслишком большом затухании общее решение дифференциального уравнения (10.38) имеет вид

х=а₀e^-btcos(wt+a) (10.17)

Здесь а₀ и a - начальная амплитуда и начальная фаза колебаний, а величина w, определяется формулой

w= (10.18)

На рис.10.4 дан график функции (10.17). Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки х.

В соответствии с видом функции (10.17) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты w с амплитудой, изменяющейся по закону а(t)=а₀е^-bt. Верхняя из пунктирных кривых на рис. 10.44 дает график функции а(t), причем величина а₀ представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение х₀ зависит, кроме а₀, также от начальной фазы a:

х₀=а₀ cosa.

Скорость затухания колебаний определяется величиной b=r/2m, которую называют коэффициентом затухания. Найдем время t, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Согласно формуле

T=,

период затухающих колебаний равен

T= (10.19)

При незначительном сопротивлении среды (b²<< ) период колебаний практически равен T₀=2p/w₀. С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно

.

Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания:

(10.20)

Для характеристики колебательной системы обычно используется логарифмический декремент затухания l. Выразив b через l и Т, можно закон убывания амплитуды со временем записать в виде

а=а₀.

За время t, за которое амплитуда уменьшается в е раз, система успевает совершить N_e=t/T колебаний. Из условия =е^-1 получается, что . Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина

Q= (10.21)

называемая добротностью колебательной системы. Как видно из ее определения, добротность пропорциональна числу колебаний N_e, совершаемых системой за время t, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.