В математике выражение вида

s=, (1.16)

составленное для значений х, заключенных в пределах от а до b, называют определенным интегралом от функции f(x), взятым по переменной х между нижним пределом х=а и верхним пределом х=b, и обозначают символом

. (1.17)

Сравнение выражений (1.15) и (1.16) показывает, что путь, пройденный частицей за промежуток времени от t₁ до t₂, равен определенному интегралу от функции v(t), показывающей, как изменяется модуль скорости с течением времени:

s=. (1.18)

Определенный интеграл имеет простой геометрический смысл. На рис.1.4 видно, что произведение v_i Dt_i приближенно равно площади полоски с основанием Dt_i. Сумма таких произведений, т.е. выражение (1.15), приближенно равно площади фигуры, ограниченной кривой v(t). При дроблении полосок на более узкие (что соответствует процессу, при котором все Dt_i®0) сумма площадей полосок переходит в площадь фигуры, ограниченной снизу осью t, с боков – прямыми t=t₁ и t=t₂, а сверху – графиком функции v(t). Эта

площадь численно равна определенному интегралу (1.18).

С учетом выражения (1.18) среднее значение модуля скорости можно представить в виде

<v>= (1.19)

(время движения t=t₂-t₁). Геометрический смысл <v> ясен из рис.1.5.

Аналогично вычисляются средние значения любых скалярных или векторных функций. Например, среднее значение функции у(х) на промежутке от х₁ до х₂ определяется выражением

<y>=. (1.20)

Среднее значение скорости за время от t₁ до t₂ равно

<v>= (1.21)

(заметим, что векторную функцию нельзя изобразить в виде графика, поэтому рис.1.4 и 1.5 к данному интегралу неприменимы.) Согласно формуле (1.5) v(t)dt=dr есть перемещение частицы за время dt. Следовательно, можно написать, что

<v>=

t1

(1.22)

где r₁₂ – перемещение частицы за промежуток времени t₂-t₁.