Нормальный закон распределения результатов измерений

Многие ряды распределения, встречающиеся в статистических наблюдениях, можно охарактеризовать формулами разных математических функций. Функции или законы распределения случайных величин бывают: биноминальное, геометрическое, равномерное, нормальное и др. Самым важным в статистике является нормальное распределение.

Нормальное распределение – это совокупность объектов, в которой крайние значения некоторого признака – наименьшее и наибольшее – появляются редко; чем ближе значение признака к среднему значению, тем чаще оно встречается. Например, распределение студентов по их весу приближается к нормальному.

Нормальный закон (закон Гаусса) распределения результатов измерений непрерывных величин наиболее часто встречается и в спортивной практике.

Нормальное распределение описывается формулой, впервые предложенной английским математиком Муавром в 1733 году:

(5.1)

где p и e – математические константы (p = 3,141; e = 2,718); и s – соответственно, среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение результатов измерений; x_i – результаты измерений; f(x) – так называемая функция плотности распределения.

Плотность распределения – это количество признака в единице интервала.

Формула (5.1) позволяет получить в виде графика кривую нормального распределения (рисунок 5.1), которая симметрична относительно центра группирования (как правило, это значение среднего арифметического ).

 

Рисунок 5.1 – Кривая нормального распределения

Эта кривая может быть получена из полигона распределения при бесконечно большом числе наблюдений и интервалов (см. рисунок 2.1 II этапа игры).

Чтобы избежать неудобств, связанных с расчётами для каждого конкретного случая по достаточно сложной формуле (5.1), используют так называемое нормированное (или стандартное) нормальное распределение, для которого составлены подробные таблицы.

Нормированное нормальное распределение имеет параметры = 0 и σ = 1. Это распределение получается, если пронормировать нормально распределённую величину x по формуле:

.

Плотность распределения вероятностей нормированного нормального распределения записывается в виде:

.

На кривой нормированного нормального распределения (рисунок 5.2) указаны в процентах доли площадей, соответствующих отмеченным значениям нормированного отклонения u, по отношению к общей площади под кривой, равной 1 (100 %). Эти площади определяют вероятности попадания случайной величины в соответствующие интервалы.

 

Рисунок 5.2 – Кривая нормированного распределения

 

4. Основные свойства кривой нормального распределения(рисунок 5.1)

1. Кривая симметрична относительно среднего арифметического (моды, медианы).

2. При x = .

3. При .

4. Площадь, заключенная между кривой f(x) и осью x, равна единице.

5. Кривая имеет две точки перегиба при .

 

5. Влияние и σ на вид кривой нормального распределения

1. Изменение среднего арифметического значения не меняет форму кривой, а приводит лишь к сдвигу кривой вдоль оси X: при s = const.

 

 

Рисунок 5.3 – Влияние на вид кривой нормального распределения

2. С увеличением s максимальная ордината кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, при уменьшении s кривая становится более островершинной. При любых значениях и s площадь, ограниченная кривой и осью X, одинакова и равна единице.

В результате спортивной тренировки средняя арифметическая должна улучшаться (в зависимости от вида спорта или увеличиваться, или уменьшаться), а стандартное отклонение s должно уменьшаться. С увеличением стабильности и устойчивости спортивных результатов, составляющих нормально распределенные выборки, кривая распределения становится более островершинной.

 

 

 

Рисунок 5.4 – Влияние s на вид кривой нормального распределения

6. Вероятности попадания в области , , . Правило трёх сигм

 

 

 

Рисунок 5.5 – Вероятность попадания результатов, составляющих нормально распределенную выборку, на заданный участок кривой:

68,27 % всех результатов попадает на участок отдо ;

95,45 % всех результатов попадает на участок отдо ;

99,73 % всех результатов попадает на участок отдо

Правило трех сигм заключается в том, что практически все результаты, составляющие нормально распределенную выборку, находятся в пределах .

Это правило можно использовать при решении следующих важных задач:

1. Оценки нормальности распределения выборочных данных. Если результаты находятся примерно в пределах и в области среднего арифметического результаты встречаются чаще, а вправо и влево от него – реже, то можно предположить, что результаты распределены нормально.

2. Выявление ошибочно полученных результатов. Если отдельные результаты отклоняются от среднего арифметического значения на величины, значительно превосходящие 3s, нужно проверить правильность полученных величин. Часто такие «выскакивающие» результаты могут появиться в результате неисправности прибора, ошибки в измерении и расчетах.

3. Оценка величины s. Если размах варьирования R = X_max – X_min, разделить на 6, то мы получим грубо приближенное значение s.

Задавшись процентом попаданий P%, можно найти область
X ± u×s, где u – число сигм, согласно таблице 5.1:

Таблица 5.1 – Процентные точки нормированного нормального распределения

P%				99,9
u	1,64	1,96	2,58	3,29