Лабораторная работа № 3

 

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ В

МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ

 

1. Цель работы. Приобретение практических навыков разработки и реализации математических моделей, содержащих интегралы от таблично заданных функций.

2. Исходные данные

 

2.1. Значения ускорения обгоняющего автомобиля j в зависимости от его скорости V1, скорость обгоняемого автомобиля V2 и шаг интегрирования V1 принимаются по табл.1 в соответствии с номером варианта.

 

2.2. Габаритная длина обгоняющего автомобиля L1=4 м, обгоняемого ─ L2=15 м.

 

2.3. Принять, что обгоняемый автомобиль движется с постоянной скоростью V2=const и перед началом обгона скорости обгоняемого и обгоняющего автомобилей равны V1н=V2.

 

Таблица 1

Варианты исходных данных

 

Вари- ант	Скорость V1, м/с	Скорость V2, м/с	Шаг ин- тегриро-вания V1, м/с
7.5	12.2	16.9	21.5	26.2
Ускорение J, м/с2
	1.28	1.31	1.22	1.06	0.78	15(14)	0.25
	1.34	1.37	1.28	1.11	0.82	15(14)
	1.41	1.44	1.34	1.17	0.86	16(15)
	1.47	1.50	1.40	1.22	0.90	16(15)
	1.22	1.25	1.16	1.01	0.74	14(13)
	1.15	1.18	1.10	0.95	0.70	13(12)
	1.09	1.11	1.04	0.90	0.66	12(11)
Вари- ант	Скорость V1, м/с	Скорость V2, м/с	Шаг ин- тегриро-вания V1, м/с
11.0	17.7	24.5	31.5	38.0
Ускорение J, м/с2
	0.85	0.78	0.67	0.42	0.118	17(16)	0.5
	0.89	0.82	0.70	0.44	0.124	18(17)
	0.93	0.86	0.74	0.46	0.130	19(18)
	0.98	0.90	0.77	0.48	0.136	20(19)
	0.81	0.74	0.64	0.40	0.112	16(15)
	0.76	0.70	0.60	0.38	0.106	15(14)
	0.72	0.66	0.52	0.36	0.100	14(13)

 

3. Содержание работы

 

3.1. Составить математическую модель, алгоритм и программу для расчета на ЭВМ текущего времени обгона и координаты пути обгоняющего автомобиля в зависимости от его скорости в процессе обгона.

3.2. В соответствии с исходными данными построить график зависимости ускорения от скорости автомобиля.

3.3. Рассчитать на ЭВМ время и путь, необходимые для обгона. В процессе расчета значения ускорения, определяемые по графику, вводить в ЭВМ на каждом шаге интегрирования. На каждом шаге печатать текущие значения скорости и ускорения обгоняющего автомобиля, времени обгона и пути, пройденного обгоняющим и обгоняемым автомобилями.

3.4. Построить графики зависимости пути, проходимого обгоняющим и обгоняемым автомобилями, от времени (графики "путь─время")

 

4. Теоретические основы работы

 

Схема обгона и примерный вид графиков зависимости пути от времени приведены на рис. 1.

Путь S1о, пройденный обгоняющим автомобилем 1 за время обгона, складывается из пути S2о пройденного за время обгона обгоняемым автомобилем 2, расстояний D1 и D2 между автомобилями соответственно до и после обгона, габаритных длин автомобилей L1 и L2:

 

S1o=S2o+D1+D2+L1+L2. (1)

 

Расстояния D1 и D2 определяются по эмпирическим формулам

D1=0.05V1²+4,

D2=0.75D1,

где скорость обгоняющего автомобиля V1 подставляется в м/с.

 

S1(t)

L1

 

 

 

Рис. 1

 

Из формулы ускорения

 

получим выражение для определения приращения времени dt в зависимости от приращения скорости dV1:

Текущее время обгона, как функция скорости обгоняющего автомобиля, определяется путем интегрирования уравнения (2):

Путь S1(t),пройденный обгоняющим автомобилем к моменту времени t от начала обгона, вычисляется в результате нахождения интеграла:

Поскольку зависимость j(V1) задана таблично и текущие значения ускорения на каждом шаге интегрирования определяются по графику, то интегралы (3) и (4) следует определять численным методом. Для этого уравнения (3) и (4) необходимо привести к соответствующему виду. Так как скорость обгоняемого автомобиля постоянна, путь, пройденный им за время t, равен:

S2(t)=V2*t

Расчет заканчивается при выполнении условия окончания обгона, которое может быть получено на основании уравнения (1).

 

 

5. Содержание отчета

 

5.1. Цель работы.

5.2. Исходные данные.

5.3. График зависимости ускорения от скорости автомобиля.

5.4. Схема обгона и расчетные формулы.

5.5. Схема алгоритма расчета.

5.6. Распечатка программы для ЭВМ.

5.7. Распечатка результатов расчета.

5.8. Графики зависимости "путь─время".

5.9. Выводы.