˲ͲÉÍÅ ÏÐÎÃÐÀÌÓÂÀÍÍß. Òðàíñïîðòíà çàäà÷à. Ö²ËÎ×ÈÑËÎÂÅ ÏÐÎÃÐÀÌÓÂÀÍÍß

̳í³ñòåðñòâî îñâ³òè ³ íàóêè, ìîëîä³ òà ñïîðòó Óêðà¿íè

Êðèâîð³çüêèé òåõí³÷íèé óí³âåðñèòåò

Êàôåäðà åêîíîì³êè, îðãàí³çàö³¿ òà óïðàâë³ííÿ ï³äïðèºìñòâàìè

 

ÌÅÒÎÄÈ×Ͳ ÂÊÀDzÂÊÈ

    Êðèâèé гã

Ç̲ÑÒ

1. Çàãàëüí³ ïîëîæåííÿ ............................................................... 4

2. Îñíîâè îïòèìàëüíîãî óïðàâë³ííÿ ....................................... 5

3. ˳í³éíå ïðîãðàìóâàííÿ ........................................................ 6

3.1. Çàãàëüíà ïîñòàíîâêà çàäà÷³ .................................. 6

3.2. Âèäè ìàòåìàòè÷íèõ ìîäåëåé .............................. 8

3.3. Ãðàô³÷íèé ðîçâ’ÿçîê ñèñòåì ò ë³í³éíèõ íåð³âíîñòåé

ç äâîìà çì³ííèìè .................................................. 10

3.4. Ãðàô³÷íèé ìåòîä ................................................... 13

3.5. Ñèìïëåêñíèé ìåòîä ............................................. 15

3.6. Òðàíñïîðòíà çàäà÷à ............................................. 18

4. Ö³ëî÷èñëîâå ïðîãðàìóâàííÿ ............................................... 24

4.1. Çàãàëüíà ïîñòàíîâêà çàäà÷³ .................................. 24

4.2. Ìåòîä Ãîìîð³ ....................................................... 25

4.3. Ãðàô³÷íèé ìåòîä .................................................. 27

5. Íåë³í³éíå ïðîãðàìóâàííÿ .................................................. 27

5.1. Çàãàëüíà ïîñòàíîâêà çàäà÷³ ................................... 27

5.2.Äðîáîâî-ë³í³éíå ïðîãðàìóâàííÿ .......................... 28

5.3. Ìåòîä ìíîæíèê³â Ëàãðàíæà ................................. 33

5.4. Äîñë³äæåííÿ ôóíêö³¿ íà åêñòðåìóì çà çàäàíîþ

îáëàñòþ ïðèïóñòèìèõ ðîçâ’çê³â ............................ 34

6. Ìîäåëü ˺îíòüºâà áàãàòîãàëóçåâî¿ åêîíîì³êè (áàëàíñîâèé

àíàë³ç) ....................................................................................... 34

7. Äèíàì³÷íå ïðîãðàìóâàííÿ ..................................................... 36

7.1. Çàãàëüíà ïîñòàíîâêà çàäà÷³ ................................... 36

7.2. Îïòèìàëüíà ñòðàòåã³ÿ çàì³íè îáëàäíàííÿ .......... 38

7.3. Îïòèìàëüíèé ðîçïîä³ë ðåñóðñ³â .......................... 41

7.4. Îïòèì³çàö³éíà ìîäåëü óïðàâë³ííÿ òîâàðíèìè

çàïàñàìè .................................................................. 42

8. Êîíòðîëüí³ çàâäàííÿ .............................................................. 49

9. Çðàçêè ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷ .................................................... 69

10. Ñïèñîê âèêîðèñòàíèõ äæåðåë .......................................... 95

 

 

ÇÀÃÀËÜͲ ÏÎËÎÆÅÍÍß

1) ìàòåìàòè÷íà ôîðìàë³çàö³ÿ çàäà÷³ ó âèãëÿä³ ïîáóäîâè åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷íî¿ ìîäåë³; 2) âèçíà÷åííÿ òèïó çàäà÷³ (ë³í³éíîãî, íåë³í³éíîãî, äèíàì³÷íîãî ïðîãðàìóâàííÿ… 3) âèçíà÷åííÿ ñïîñîáó ðîçâ’ÿçàííÿ îïòèì³çàö³éíî¿ çàäà÷³;

ÎÑÍÎÂÈ ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÓÏÐÀÂ˲ÍÍß

Çàäà÷³ óïðàâë³ííÿ ³ ïëàíóâàííÿ çàçâè÷àé çâîäÿòüñÿ äî âèáîðó äåÿêî¿ ñèñòåìè ïàðàìåòð³â ³ ñèñòåìè ôóíêö³é. Íåõàé íåîáõ³äíî çíàéòè ìàêñèìóì (ì³í³ìóì)…   (2.1)

˲ͲÉÍÅ ÏÐÎÃÐÀÌÓÂÀÍÍß

Çàãàëüíà ïîñòàíîâêà çàäà÷³

Öÿ ë³í³éíà ôóíêö³ÿ íàçèâàºòüñÿ ö³ëüîâîþ, à îáìåæåííÿ ÿê³ ìàòåìàòè÷íî çàïèñóþòüñÿ ó âèãëÿä³ ð³âíÿíü àáî íåð³âíîñòåé íàçèâàþòüñÿ ñèñòåìîþ îáìåæåíü. … Ìàòåìàòè÷íå âèðàæåííÿ ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿ òà ¿¿ îáìåæåíü íàçèâàºòüñÿ ìàòåìàòè÷íîþ… Ó çàãàëüíîìó âèãëÿä³ ìàòåìàòè÷íà ìîäåëü çàäà÷³ ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ ìîæíà çàïèñàòè

Âèäè ìàòåìàòè÷íèõ ìîäåëåé

ßêùî âñ³ îáìåæåííÿ ñèñòåìè çàäàíî ð³âíÿííÿìè ³ çì³íí³ º íåâ³ä’ºìíèìè, òîä³ òàêó ìîäåëü íàçèâàþòü êàíîí³÷íîþ. ßêùî õî÷à á îäíå îáìåæåííÿ º… Äëÿ ïåðåõîäó â³ä íåêàíîí³÷íî¿ äî êàíîí³÷íî¿ ìîäåë³ íåîáõ³äíî ó êîæíó… Òàêèì ÷èíîì, ùîá ñêëàñòè ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü çàäà÷³ ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ íåîáõ³äíî:

Ãðàô³÷íèé ðîçâ’ÿçîê ñèñòåì ò ë³í³éíèõ íåð³âíîñòåé ç äâîìà çì³ííèìè

  (3.1)  

Ãðàô³÷íèé ìåòîä

Ç ãåîìåòðè÷íî¿ òî÷êè çîðó ó çàäà÷àõ ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ â³äøóêóºòüñÿ òàêà êóòîâà òî÷êà àáî íàá³ð òî÷îê ³ç ïðèïóñòèìî¿ ìíîæèíè ðîçâ’ÿçê³â, íà… Äëÿ çíàõîäæåííÿ åêñòðåìàëüíîãî çíà÷åííÿ ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿ ïðè ãðàô³÷íîìó… Ç êóðñó âèùî¿ ìàòåìàòèêè â³äîìî, ùî äëÿ ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ , ùî º äèôåðåíö³éîâàíîþ ó òî÷ö³ , ãðà䳺íòîì ôóíêö³¿…

Ñèìïëåêñíèé ìåòîä

²äåÿ ñèìïëåêñ-ìåòîäó àáî ìåòîäó ïîñë³äîâíîãî ïîêðàùåííÿ ïëàíó ïîëÿãຠó òîìó, ùî ïî÷èíàþ÷è ç äåÿêîãî ïî÷àòêîâîãî îïîðíîãî ð³øåííÿ çä³éñíþºòüñÿ… Îïîðíèì ðîçâ’ÿçêîì íàçèâàþòü áàçèñíèé íåâ³ä’ºìíèé ðîçâ’ÿçîê. Àëãîðèòì ñèìïëåêñíîãî ìåòîäó

Òðàíñïîðòíà çàäà÷à

Òðàíñïîðòíà çàäà÷à – îäíà ç ðîçïîâñþäæåíèõ çàäà÷ ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ. ¯¿ ìåòà – ðîçðîáêà íàéá³ëüø ðàö³îíàëüíèõ øëÿõ³â ³ ñïîñîá³â òðàíñïîðòóâàííÿ òîâàð³â, óñóíåííÿ íàéá³ëüø â³ääàëåíèõ, çóñòð³÷íèõ, ïîâòîðíèõ ïåðåâåçåíü. Âñå öå ñêîðî÷óº ÷àñ ïðîñóâàííÿ òîâàð³â, çìåíøóº âèòðàòè ï³äïðèºìñòâ, ïîâ’ÿçàíèõ ³ç çä³éñíåííÿì ïðîöåñ³â çàáåçïå÷åííÿ ñèðîâèíîþ, ìàòåð³àëàìè, ïàëèâîì, îáëàäíàííÿì òîùî.

Ó çàãàëüíîìó âèãëÿä³ çàäà÷ó ìîæíà ïðåäñòàâèòè íàñòóïíèì ÷èíîì: ó ò ïóíêòàõ âèðîáíèöòâà ìàºìî îäíîð³äíèé âàíòàæ â³äïîâ³äíî ó ê³ëüêîñò³ . Öåé âàíòàæ íåîáõ³äíî äîñòàâèòè ó ï ïóíêò³â ïðèçíà÷åííÿ â³äïîâ³äíî ó ê³ëüêîñò³ . Âàðò³ñòü ïåðåâåçåííÿ îäèíèö³ âàíòàæó (òàðèô) ³ç ïóíêòó äî ïóíêòó äîð³âíþº .

Íåîáõ³äíî ñêëàñòè ïëàí ïåðåâåçåíü, ÿêèõ äîçâîëÿº ïåðåâåçòè âåñü âàíòàæ ïðè ì³í³ìàëüíèõ òðàíñïîðòíèõ âèòðàòàõ.

Ó çàëåæíîñò³ â³ä ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ñóìàðíèìè çàïàñàìè âàíòàæó ³ ñóìàðíèìè ïîòðåáàìè ó íèõ, òðàíñïîðòí³ çàäà÷³ ìîæóòü áóòè çàêðèòèìè ³ â³äêðèòèìè.

ßêùî , òîä³ òðàíñïîðòíà çàäà÷à íàçèâàºòüñÿ çàêðèòîþ.

ßêùî , òîä³ òðàíñïîðòíà çàäà÷à íàçèâàºòüñÿ â³äêðèòîþ.

Ïîçíà÷èìî ÷åðåç ê³ëüê³ñòü âàíòàæó, ÿêèé ïåðåâîçÿòü ç ïóíêòó äî ïóíêòó .

 

³äêðèòà òðàíñïîðòíà çàäà÷à

Óìîâó äàíî¿ çàäà÷³ çàïèøåìî ó âèãëÿä³ ðîçïîä³ëü÷î¿ òàáëèö³.

Ìàòåìàòè÷íà ìîäåëü çàêðèòî¿ òðàíñïîðòíî¿ çàäà÷³ ìຠíàñòóïíèé âèä

ïðè îáìåæåííÿõ

 

... ...
... ...
... ...
... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
... ...

 

Îïòèìàëüíèì ðîçâ’ÿçêîì çàäà÷³ º ìàòðèöÿ , ÿêà çàäîâîëüíÿº ñèñòåì³ îáìåæåíü ³ äîçâîëÿº ì³í³ì³çóâàòè ö³ëüîâó ôóíêö³þ.

Òðàíñïîðòíà çàäà÷à, ÿêà º çàäà÷åþ ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ, ìîæå áóòè ðîçâ’ÿçàíà ñèìïëåêñíèì ìåòîäîì, àëå íàÿâí³ñòü âåëèêî¿ ê³ëüêîñò³ çì³ííèõ ³ îáìåæåíü ðîáèòü îá÷èñëåííÿ ãðîì³çäêèìè. Òîìó äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ òðàíñïîðòíèõ çàäà÷ ðîçðîáëåíî ñïåö³àëüíèé ìåòîä, ÿêèé ìຠò³ æ ñàì³ åòàïè, ùî ³ ñèìïëåêñíèé ìåòîä, à ñàìå:

- çíàõîäæåííÿ âèõ³äíîãî îïîðíîãî ðîçâ’ÿçêó;

- ïåðåâ³ðêà öüîãî ðîçâ’ÿçêó íà îïòèìàëüí³ñòü;

- ïåðåõ³ä â³ä îäíîãî îïîðíîãî ðîçâ’ÿçêó äî ³íøîãî.

Çíàõîäæåííÿ âèõ³äíîãî îïîðíîãî ðîçâ’ÿçêó

Ó ðîçïîä³ëü÷³é òàáëèö³ êë³òèíè, ó ÿêèõ ïîì³ñòèìî âàíòàæ³, íàçèâàþòüñÿ çàéíÿòèìè ³ ¿ì â³äïîâ³äàþòü áàçèñí³ çì³íí³ îïîðíîãî ðîçâ’ÿçêó. ²íø³ êë³òèíè íàçèâàþòüñÿ íåçàéíÿòèìè àáî ïóñòèìè ³ ¿ì â³äïîâ³äàþòü â³ëüí³ êë³òèíè. Ó âåðõíüîìó ïðàâîìó êóò³ êîæíî¿ êë³òèíè áóäåìî çàïèñóâàòè òàðèôè. ²ñíóþòü äåê³ëüêà ñïîñîá³â çíàõîäæåííÿ âèõ³äíîãî îïîðíîãî ðîçâ’ÿçêó.

Ðîçãëÿíåìî ìåòîä ì³í³ìàëüíîãî òàðèôó. Çã³äíî ç öèì ìåòîäîì, âàíòàæ³ ðîçïîä³ëÿþòüñÿ ó ïåðøó ÷åðãó â ò³ êë³òèíè, â ÿêèõ çíàõîäèòüñÿ ì³í³ìàëüíèé òàðèô ïåðåâåçåíü . Ó ïîäàëüøîìó ïîñòàâêè ðîçïîä³ëÿþòüñÿ ó íåçàéíÿòèõ êë³òèíàõ ç íàéìåíøèìè òàðèôàìè ç óðàõóâàííÿì çàïàñ³â, ùî çàëèøèëèñÿ ó ïîñòà÷àëüíèê³â, ³ çàäîâîëåííÿ ïîïèòó ñïîæèâà÷³â. Ïðîöåñ ðîçïîä³ëó ïðîäîâæóþòü äî òèõ ï³ð, äîêè âñ³ âàíòàæ³ â³ä ïîñòà÷àëüíèê³â íå áóäóòü âèâåçåíèìè, à ñïîæèâà÷³ íå áóäóòü çàäîâîëåíèìè. Ïðè ðîçïîä³ë³ âàíòàæ³â ìîæå áóòè, ùî ê³ëüê³ñòü çàéíÿòèõ êë³òèí ìåíøå, í³æ . Ó öüîìó âèïàäêó íåäîñòàòíÿ ¿õ ê³ëüê³ñòü çàïîâíþºòüñÿ êë³òèíàìè ç íóëüîâèìè ïîñòàâêàìè, òàê³ êë³òèíè íàçèâàþòüñÿ óìîâíî çàéíÿòèìè.

Íóëüîâ³ ïîñòàâêè ðîçì³ùóþòü ó íåçàéíÿò³ êë³òèíè ç óðàõóâàííÿì íàéìåíøîãî òàðèôó òàêèì ÷èíîì, ùîá ó êîæíîìó ðÿäêó ³ ñòîâïö³ áóëî íå ìåíøå, í³æ ïî îäí³é çàéíÿò³é êë³òèí³.

 

Ïîêðàùåííÿ îòðèìàíîãî îïîðíîãî ïëàíó ìåòîäîì ïîòåíö³àë³â

ϳñëÿ çàâåðøåííÿ ïåðøîãî åòàïó ðîçâ’ÿçêó çàäà÷³ çíàéäåí³ íåâ³äîì³ ìîæíà ðîçáèòè íà äâ³ ãðóïè – áàçèñí³ (çàéíÿò³) ³ â³ëüí³.

Ïðåäñòàâèìî ö³ëüîâó ôóíêö³þ íàñòóïíèì ÷èíîì

 

,

 

äå - â³ëüí³ çì³íí³; - çíàéäåíèé îïîðíèé ïëàí, à çíà÷åííÿ îòðèìàºìî çà äîïîìîãîþ ìåòîä³â ïîòåíö³àë³â.

Ïîñòàâèìî ó â³äïîâ³äí³ñòü êîæíîìó ç ïóíêò³â â³äïðàâëåííÿ âàíòàæ³â äåÿêó âåëè÷èíó - „ïîòåíö³àë” ïóíêòó . Àíàëîã³÷íî êîæíîìó ïóíêòó ïðèçíà÷åííÿ âåëè÷èíó - „ïîòåíö³àëó” ïóíêòó .

Äëÿ êîæíîãî áàçèñíîãî íåâ³äîìîãî ñêëàäàºìî ð³âíÿííÿ , äå - âàðò³ñòü ïåðåâåçåííÿ ç ïóíêòó äî ïóíêòó . Ðîçâ’ÿçóºìî ñèñòåìó ð³âíÿíü ³ çíàõîäèìî âñ³ ïîòåíö³àëè òà .

Òåïåð äëÿ êîæíî¿ â³ëüíî¿ çì³ííî¿ îá÷èñëþºìî ñóìó - ïîñåðåäí³ âàðòîñò³ òà çàíîñèìî äî òàáëèö³.

Íàñòóïíèì êðîêîì º âèçíà÷åííÿ ð³çíèöü ì³æ ñïðàâæí³ìè âàðòîñòÿìè ïåðåâåçåíü òà ïîñåðåäí³ìè âàðòîñòÿìè, ÿê³ â³äïîâ³äàþòü â³ëüíèì êë³òèíàì.

ßêùî âñ³ âåëè÷èíè íåâ³ä’ºìí³, òî ïî÷àòêîâèé çíàéäåíèé ðîçâ’ÿçîê º îïòèìàëüíèì. ßêùî , òîä³ íåîáõ³äíî ïåðåéòè äî ³íøîãî áàçèñó.

 

Àëüòåðíàòèâíèé îïòèìóì ó òðàíñïîðòíèõ çàäà÷àõ

Îçíàêîþ íàÿâíîñò³ àëüòåðíàòèâíîãî îïòèìóìó ó òðàíñïîðòíèõ çàäà÷àõ º ð³âí³ñòü íóëþ õî÷à á îäí³º¿ ç îö³íîê â³ëüíèõ çì³ííèõ ó îïòèìàëüíîìó ðîçâ’ÿçêó . Çðîáèâøè ïåðåðîçïîä³ë âàíòàæ³â â³äíîñíî êë³òèíè, ùî ìຠ, îäåðæèìî íîâèé îïòèìàëüíèé ðîçâ’ÿçîê , ïðè öüîìó çíà÷åííÿ ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿ (òðàíñïîðòíèõ âèòðàò) íå çì³íèòüñÿ.

ßêùî îäíà ð³çíèöÿ äîð³âíþº íóëþ, òîä³ îïòèìàëüíèé ðîçâ’ÿçîê çíàõîäèòüñÿ çà ôîðìóëîþ

, äå .

 

Âèðîäæåí³ñòü ó òðàíñïîðòíèõ çàäà÷àõ

Ïðè ðîçâ’ÿçàíí³ òðàíñïîðòíî¿ çàäà÷³ ìîæå áóòè, ùî ê³ëüê³ñòü çàéíÿòèõ êë³òèí ìåíøà çà . Ó öüîìó âèïàäêó òðàíñïîðòíà çàäà÷à ìîæå ìàòè âèðîäæåíèé ðîçâ’ÿçîê. Äëÿ ìîæëèâîãî éîãî âèêëþ÷åííÿ, äîö³ëüíî ïîì³íÿòè ì³ñöÿìè ïîñòà÷àëüíèê³â ³ ñïîæèâà÷³â àáî ââåñòè ó â³ëüíó êë³òèíó ç íàéìåíøèì òàðèôîì íóëüîâó ïîñòàâêó. Íóëü âì³ùóþòü ó òàêó êë³òèíó, ùîá ó êîæíîìó ðÿäêó ³ êîæíîìó ñòîâïö³ áóëî íå ìåíøå îäí³º¿ çàéíÿòî¿ êë³òèíè.

 

³äêðèòà òðàíñïîðòíà çàäà÷à

Ïðè â³äêðèò³é òðàíñïîðòí³é çàäà÷³ ñóìà çàïàñ³â íå ñï³âïàäຠç ñóìîþ ïîòðåá, òîáòî .

Ïðè öüîìó:

à). ßêùî , òîä³ îáñÿã çàïàñ³â ïåðåâèùóº îáñÿã ñïîæèâàííÿ, âñ³ ñïîæèâà÷³ áóäóòü çàäîâîëåí³ ïîâí³ñòþ ³ ÷àñòèíà çàïàñ³â çàëèøàºòüñÿ íå âèâåçåíîþ. Äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ òàêî¿ çàäà÷³ ââîäÿòü ô³êòèâíîãî (-ãî) ñïîæèâà÷à, ïîòðåáè ÿêîãî .

Ìîäåëü òàêî¿ çàäà÷³ íàáóâຠâèãëÿäó

ïðè îáìåæåííÿõ

á). ßêùî , òîä³ îáñÿãè ñïîæèâàííÿ ïåðåâèùóþòü îáñÿãè çàïàñ³â ³ ÷àñòèíà ñïîæèâà÷³â çàëèøàºòüñÿ íåçàäîâîëåíîþ. Äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ òàêî¿ çàäà÷³ ââîäÿòü ô³êòèâíîãî (-ãî) ïîñòà÷àëüíèêà, îáñÿãè ïîñòàâîê ÿêîãî .

Ìîäåëü òàêî¿ çàäà÷³ íàáóâຠâèãëÿäó

ïðè îáìåæåííÿõ

Ïðè ââåäåíí³ ô³êòèâíîãî ïîñòà÷àëüíèêà àáî ñïîæèâà÷à, çàäà÷à ñòຠçàêðèòîþ ³ ðîçâ’ÿçóºòüñÿ çà ðàí³øå ðîçãëÿíóòèì àëãîðèòìîì, ïðè÷îìó òàðèôè, ùî â³äïîâ³äàþòü ô³êòèâíîìó ïîñòà÷àëüíèêó àáî ñïîæèâà÷ó á³ëüøå àáî äîð³âíþþòü íàéá³ëüøîìó ç óñ³õ òàðèô³â. Ó ö³ëüîâ³é ôóíêö³¿ ô³êòèâíèé ïîñòà÷àëüíèê àáî ñïîæèâà÷ íå âðàõîâóºòüñÿ.

 

 

Ö²ËÎ×ÈÑËÎÂÅ ÏÐÎÃÐÀÌÓÂÀÍÍß

Çàãàëüíà ïîñòàíîâêà çàäà÷³

ç îáìåæåííÿìè Îïòèìàëüíèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³, ÿêó çíàéäåíî ñèìïëåêñíèì ìåòîäîì, ÷àñòî íå º ö³ëî÷èñëîâèì. Éîãî ìîæíà îêðóãëèòè äî…

Ìåòîä Ãîìîð³

Ìåòîä Ãîìîð³ ïîëÿãຠó íàñòóïíîìó. Ñèìïëåêñíèì ìåòîäîì çíàõîäÿòü îïòèìàëüíèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³. ßêùî ðîçâ’ÿçîê ö³ëî÷èñëîâèé, òîä³ çàäà÷à ðîçâ’ÿçàíà.… Íåõàé îäåðæàíî îïòèìàëüíèé ðîçâ’ÿçîê , ÿêèé íå ý ö³ëî÷èñëîâèì, òîä³ îñòàíí³é…  

Ãðàô³÷íèé ìåòîä

Ïðè íàÿâíîñò³ ó çàäà÷³ ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ äâîõ çì³ííèõ, à â ñèñòåì³ îáìåæåíü – íåð³âíîñòåé, âîíà ìîæå áóòè ðîçâ’ÿçàíà ãðàô³÷íèì ìåòîäîì. Ó ñèñòåì³ êîîðäèíàò çíàõîäÿòü îáëàñòü ïðèïóñòèìèõ ðîçâ’ÿçê³â (ÎÏÐ), áóäóþòü… Ó âèïàäêó, êîëè êîîðäèíàòè ö³º¿ òî÷êè íå º ö³ëî÷èñëîâèìè, ó ÎÏÐ áóäóþòü ö³ëî÷èñëîâó ñ³òêó ³ çíàõîäÿòü â í³é òàê³ ö³ë³…

ÍÅ˲ͲÉÍÅ ÏÐÎÃÐÀÌÓÂÀÍÍß

Çàãàëüíà ïîñòàíîâêà çàäà÷³

 

Äðîáîâî-ë³í³éíå ïðîãðàìóâàííÿ

ïðè îáìåæåííÿõ ,

Ìåòîä ìíîæíèê³â Ëàãðàíæà

ïðè îáìåæåííÿõ .

Äîñë³äæåííÿ ôóíêö³¿ íà åêñòðåìóì çà çàäàíîþ ÎÏÐ

- ó êðèòè÷íèõ òî÷êàõ ÎÏÐ; - ó êðèòè÷íèõ òî÷êàõ íà ãðàíèöÿõ ÎÏÐ; - ó âåðøèíàõ ÎÏÐ

ÄÈÍÀ̲×ÍÅ ÏÐÎÃÐÀÌÓÂÀÍÍß

Çàãàëüíà ïîñòàíîâêà çàäà÷³

Äèíàì³÷íå ïðîãðàìóâàííÿ – îäèí ³ç ðîçä³ë³â îïòèìàëüíîãî ïðîãðàìóâàííÿ, ó ÿêîìó ïðîöåñ ïðèéíÿòòÿ ð³øåííÿ ³ óïðàâë³ííÿ ìîæå áóòè ðîçáèòèé íà îêðåì³… Åêîíîì³÷íèé ïðîöåñ º êåðîâàíèì, ÿêùî ìîæíà âïëèâàòè íà õ³ä éîãî ðîçâèòêó. Ï³ä… Íàïðèêëàä: âèïóñê ïðîäóêö³¿ º êåðîâàíèì ïðîöåñîì, òîìó ùî çà óïðàâë³ííÿ ìîæíà ïðèéíÿòè ñóêóïí³ñòü ð³øåíü (ïî÷àòîê…

Îïòèìàëüíà ñòðàòåã³ÿ çàì³íè îáëàäíàííÿ

Ïðîáëåìà ñâîº÷àñíî¿ çàì³íè çàñòàð³ëîãî îáëàäíàííÿ íîâèì – îäíà ³ç íàãàëüíèõ ïðîáëåì áóäü ÿêî¿ ñôåðè âèðîáíè÷î¿ ä³ÿëüíîñò³. Ç ÷àñîì îáëàäíàííÿ… Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó îïòèìàëüíî¿ ïîë³òèêè ðåìîíòó ³ çàì³íè îáëàäíàííÿ ó… Öåõ ïî ïîòî÷íèì ³ êàï³òàëüíèì ðåìîíòàì íå âèðîáëÿº òîâàðíî¿ ïðîäóêö³¿, òîáòî îö³íèòè åôåêòèâí³ñòü éîãî ä³ÿëüíîñò³…

Îïòèìàëüíèé ðîçïîä³ë ðåñóðñ³â

Íåõàé êåð³âíèöòâî ï³äïðèºìñòâà ðîçãëÿäຠïðîïîçèö³þ ïðî âêëàäàííÿ êîøò³â ó ï ñòðóêòóðíèõ ï³äðîçä³ë³â. Çàïðîïîíîâàíî âêëàñòè Õ êîøò³â ó ö³ íàïðÿìêè… Ïîçíà÷èìî ÷åðåç - ê³ëüê³ñòü êîøò³â, ùî âèä³ëÿþòüñÿ ³-òîìó ñòðóêòóðíîìó… Ñôîðìóëüîâàíó çàäà÷ó ìîæíà çàïèñàòè ó ìàòåìàòè÷í³é ôîðì³ ,

Îïòèì³çàö³éíà ìîäåëü óïðàâë³ííÿ òîâàðíèìè çàïàñàìè

Äëÿ ïîáóäîâè åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷íî¿ ìîäåë³, ââåäåìî íàñòóïí³ çì³íí³: - âèïóñê òîâàðíî¿ ïðîäóêö³¿ ïðîòÿãîì ÷àñó ; - ð³âåíü çàïàñ³â íà ê³íåöü ÷àñó .… Ââàæàºòüñÿ, ùî äëÿ êîæíîãî ïåð³îäó âèòðàòè çàëåæàòü â³ä âèïóñêó ïðîäóêö³¿ ,…

ÊÎÍÒÐÎËÜͲ ÇÀÂÄÀÍÍß

Çàäà÷à 2. Ðîçâ’ÿçàòè çàäà÷ó çà äîïîìîãîþ ñèìïëåêñíîãî ìåòîäó 1. 2. 3. 4. 5.   …   Çàäà÷à 3.Çíàéòè îïòèìàëüíèé ïëàí ïåðåâåçåíü âàíòàæó (- íîìåð âàð³àíòà)

ÇÐÀÇÊÈ ÐÎÇÂ’ßÇÀÍÍß ÇÀÄÀ×

Çàäà÷à 1.

ϳäïðèºìñòâî âèðîáëÿº äâà âèäè ïðîäóêö³¿. Äëÿ âèãîòîâëåííÿ ïåðøîãî âèäó ïðîäóêö³¿ âèêîðèñòîâóþòü äâà âèäè ðåñóðñ³â: ñèðîâèíà ³ åëåêòðîåíåðã³ÿ, âèòðàòè ÿêèõ íà îäèíèöþ ïðîäóêö³¿ ³ ì³ñÿ÷í³ çàïàñè íàâåäåíî ó òàáëèö³.

 

Âèõ³äíèé ðåñóðñ Âèòðàòè âèõ³äíîãî ðåñóðñó íà îäèíèöþ ïðîäóêö³¿, ãðí. Çàïàñè, ãðí.
² âèä ²² âèä
Ñèðîâèíà 0,8 0,5
Åëåêòðîåíåðã³ÿ 0,4 0,8

 

Âèâ÷åííÿ ðèíêó çáóòó ïîêàçàëî, ùî ì³ñÿ÷íèé ïîïèò íà ² âèä ïðîäóêö³¿ ïåðåâèùóº ïîïèò íà ²² âèä íå á³ëüøå í³æ íà 100 êã. Îêð³ì òîãî, âñòàíîâëåíî, ùî ïîïèò íà ² âèä ïðîäóêö³¿ íå ïåðåâèùóº 350 êã çà ì³ñÿöü. Ðîçäð³áíà ö³íà îäèíèö³ ïðîäóêö³¿ ² âèäó - 16 ãðí., à ²² – 14 ãðí.

ßêó ê³ëüê³ñòü êîæíîãî âèäó ïðîäóêö³¿ ïîâèííî ùîì³ñÿöÿ âèðîáëÿòè ï³äïðèºìñòâî, ùîá âèðó÷êà â³ä ðåàë³çàö³¿ ïðîäóêö³¿ áóëà ìàêñèìàëüíîþ?

Ðîçâ’ÿæåìî çàäà÷ó çà äîïîìîãîþ ãðàô³÷íîãî ìåòîäó

Ïîçíà÷èìî: ÷åðåç - ì³ñÿ÷íèé îáñÿã âèïóñêó ïðîäóêö³¿ ² âèäó, êã; ÷åðåç - ì³ñÿ÷íèé îáñÿã âèïóñêó ïðîäóêö³¿ ²² âèäó, êã.

Ñêëàäåìî åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü çàäà÷³.

Çà êðèòåð³é îö³íêè ïðèéìåìî âèðó÷êó â³ä ðåàë³çàö³¿ ïðîäóêö³¿ (Â), ÿêà âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ

,

äå - ö³íà îäèíèö³ ³-ãî âèäó ïðîäóêö³¿, ãðí.; - îáñÿãè âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿, êã.

Ö³ëüîâà ôóíêö³ÿ áóäå ìàòè âèãëÿä

ïðè îáìåæåííÿõ

Çíàéäåìî îáëàñòü ïðèïóñòèìèõ ðîçâ’ÿçê³â.

1. ,

2.,

3. ,

4.

5. - ² ÷âåðòü.

Îáëàñòþ ïðèïóñòèìèõ ðîçâ’ÿçê³â º ï’ÿòèêóòíèê .

Äëÿ çíàõîäæåííÿ åêñòðåìàëüíèõ çíà÷åíü ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿ ïðè ãðàô³÷íîìó ðîçâ’ÿçêó çíàéäåìî âåêòîð , ÿêèé º ãðà䳺íòîì ôóíêö³¿

 

.

Ïðîâîäèìî ë³í³þ ð³âíÿ , ÿêà º ïåðïåíäèêóëÿðíîþ äî âåêòîðà . Îñê³ëüêè ö³ëüîâà ôóíêö³ÿ äîñë³äæóºòüñÿ íà ìàêñèìóì, òî ïåðåì³ùóºòüñÿ ë³í³ÿ ð³âíÿ çà íàïðÿìêîì âåêòîðà . Òî÷êîþ âèõîäó ç îáëàñò³ ïðèïóñòèìèõ çíà÷åíü º òî÷êà , êîîðäèíàòè ÿêî¿ âèçíà÷àþòüñÿ ÿê ïåðåòèí ïðÿìèõ òà . Ðîçâ’ÿçêîì ñèñòåìè º çíà÷åííÿ êã ³ êã.

Òàêèì ÷èíîì, íàéá³ëüøå çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ àáî ìàêñèìàëüíà âèðó÷êà â³ä ðåàë³çàö³¿ ïðîäóêö³¿ ñêëàäå

 

Çàäà÷à ¹2

ϳäïðèºìñòâî âèðîáëÿº òðè âèäè ïðîäóêö³¿. Äëÿ âèãîòîâëåííÿ êîæíîãî âèäó ïðîäóêö³¿ âèêîðèñòîâóþòü äâà âèäè ðåñóðñ³â: ñèðîâèíà ³ åëåêòðîåíåðã³ÿ, âèòðàòè ÿêèõ íà îäèíèöþ ïðîäóêö³¿ ³ ì³ñÿ÷í³ çàïàñè íàâåäåíî ó òàáëèö³.

 

Âèõ³äíèé ðåñóðñ Âèòðàòè âèõ³äíîãî ðåñóðñó íà îäèíèöþ ïðîäóêö³¿, òèñ. ãðí. Çàïàñè, òèñ. ãðí.
  ² âèä ²² âèä ²²² âèä
Ñèðîâèíà
Åëåêòðîåíåðã³ÿ

Ðîçäð³áíà ö³íà îäèíèö³ ïðîäóêö³¿ ² âèäó - 3 òèñ. ãðí., ²² âèäó – 4 òèñ. ãðí., ²²² âèäó – 2 òèñ. ãðí.

ßêó ê³ëüê³ñòü êîæíîãî âèäó ïðîäóêö³¿ ïîâèííî ùîì³ñÿöÿ âèðîáëÿòè ï³äïðèºìñòâî, ùîá âèðó÷êà â³ä ðåàë³çàö³¿ ïðîäóêö³¿ áóâ ìàêñèìàëüíèì?

Ðîçâ’ÿæåìî çàäà÷ó çà äîïîìîãîþ ñèìïëåêñíîãî ìåòîäó

 

ïðè îáìåæåííÿõ

Ïåðåâåäåìî åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü äî êàíîí³÷íîãî âèãëÿäó

Ñêëàäåìî ñèìïëåêñíó òàáëèöþ ïåðøîãî êðîêó

 

ÁÇ
2
-3 -4 -2

Çàïîâíèìî ³íäåêñíèé ðÿäîê äëÿ çì³ííèõ çà ôîðìóëàìè

³ äëÿ â³ëüíîãî ÷ëåíà

.

Îñê³ëüêè, ìàºìî â³ä’ºìí³ îö³íêè ïðè óìîâ³, ùî ö³ëüîâà ôóíêö³ÿ , òî çíàéäåíèé ðîçâ’ÿçîê íå º îïòèìàëüíèì. Ñêëàäåìî ñèìïëåêñíó òàáëèöþ äðóãîãî êðîêó.

Çà êëþ÷îâèé ñòîâïåöü îáèðàºìî ÷åòâåðòèé ñòîâïåöü, ÿêèé â³äïîâ³äຠíàéìåíøîìó çíà÷åííþ ³íäåêñíî¿ îö³íêè -4, à çà ³íäåêñíèé åëåìåíò 2, òîìó ùî íàéìåíøå çíà÷åííÿ â³äíîøåííÿ â³ëüíîãî ÷ëåíà äî â³äïîâ³äíîãî åëåìåíòà êëþ÷îâîãî ñòîâïöÿ .

 

ÁÇ
-1

Îñê³ëüêè, ìàºìî â³ä’ºìíó îö³íêó ïðè óìîâ³, ùî ö³ëüîâà ôóíêö³ÿ , òî çíàéäåíèé ðîçâ’ÿçîê íå º îïòèìàëüíèì. Ñêëàäåìî ñèìïëåêñíó òàáëèöþ òðåòüîãî êðîêó.

Çà êëþ÷îâèé ñòîâïåöü îáèðàºìî òðåò³é ñòîâïåöü, ÿêèé â³äïîâ³äຠâ³ä’ºìíîìó çíà÷åííþ ³íäåêñíî¿ îö³íêè -1, à çà ³íäåêñíèé åëåìåíò , òîìó ùî íàéìåíøå çíà÷åííÿ â³äíîøåííÿ â³ëüíîãî ÷ëåíà äî â³äïîâ³äíîãî åëåìåíòà êëþ÷îâîãî ñòîâïöÿ .

 

ÁÇ

 

 

Îñê³ëüêè, âñ³ îö³íêè ïðè óìîâ³, ùî ö³ëüîâà ôóíêö³ÿ , òî çíàéäåíèé ðîçâ’ÿçîê º îïòèìàëüíèì.

Òàêèì ÷èíîì, ï³äïðèºìñòâó íåîáõ³äíî âèðîáëÿòè ïðîäóêö³þ ² ³ ²² âèäó, à âèïóñê ïðîäóêö³¿ ²²² âèäó ïðèïèíèòè.

 

Çàäà÷à ¹3

Íà ñêëàäàõ çîñåðåäæåí³ çàïàñè ïðîäóêö³¿ ó ê³ëüêîñò³ 90, 400, 110 òîí â³äïîâ³äíî. Ñïîæèâà÷³ ïîâèíí³ îäåðæàòè öþ ïðîäóêö³þ ó ê³ëüêîñò³ 140, 300, 160 òîí â³äïîâ³äíî. Çíàéòè òàêèé âàð³àíò çàêð³ïëåííÿ ïîñòà÷àëüíèê³â äî ñïîæèâà÷³â, ïðè ÿêîìó ñóìà âèòðàò íà ïåðåâåçåííÿ áóëà á ì³í³ìàëüíîþ.

Âèòðàòè íà ïåðåâåçåííÿ îäí³º¿ òîíè ïðîäóêö³¿ çàäàíî ìàòðèöåþ .

Ïåðåâ³ðèìî, ÷è º äàíà çàäà÷à çàêðèòîþ.

òîí;

òîí.

.

Îòæå, äàíà òðàíñïîðòíà çàäà÷à º çàêðèòîþ.

Çíàéäåìî âèõ³äíèé îïîðíèé ðîçâ’ÿçîê ìåòîäîì ì³í³ìàëüíîãî òàðèôó.

ʳëüê³ñòü çàéíÿòèõ êë³òèí äîð³âíþº . Óìîâà íåâèðîäæåíîñò³ âèêîíàíà, òîìó îäåðæóºìî îïîðíèé ðîçâ’ÿçîê, ÿêèé çàïèøåìî ó âèãëÿä³ ìàòðèö³

 
 

.

Âàðò³ñòü ïåðåâåçåíü ïðè âèõ³äíîìó îïîðíîìó ðîçâ’ÿçêó ñêëàäຠ(ãðí.).

Ïåðåâ³ðèìî îäåðæàíèé ðîçâ’ÿçîê íà îïòèìàëüí³ñòü, äëÿ öüîãî çíàéäåìî ïîòåíö³àëè çàéíÿòèõ êë³òèí.

Äëÿ â³ëüíèõ êë³òèí çíàéäåìî ïîñåðåäí³ âàðòîñò³

Çàíåñåìî ðåçóëüòàòè îá÷èñëåíü äî òàáëèö³. Çíàéäåìî ð³çíèö³ ì³æ òàðèôàìè òà ïîñåðåäí³ìè âàðòîñòÿìè

Îñê³ëüêè ñåðåä º â³ä’ºìíå çíà÷åííÿ, òî çíàéäåíèé ðîçâ’ÿçîê íå º îïòèìàëüíèì ³ éîãî íåîáõ³äíî ïîêðàùèòè. Ïåðåéäåìî äî íîâîãî áàçèñó çà äîïîìîãîþ öèêëó ïåðåðàõóíêó. Äëÿ öüîãî ïðåäñòàâèìî ôóíêö³þ ó âèãëÿä³

Ìàºìî îäèí â³ä’ºìíèé êîåô³ö³ºíò , òîìó ïðè éîãî çá³ëüøåíí³ ôóíêö³ÿ áóäå çìåíøóâàòèñÿ. Ïîêëàäåìî Ïåðåñóâàºìî âàíòàæ ïî òàáëèö³ .

Îäåðæóºìî íîâèé ïëàí, ÿêèé ïðåäñòàâëåíèé ó òàáëèö³.

.

Ïåðåâ³ðèìî íîâèé ïëàí íà îïòèìàëüí³ñòü. Äëÿ öüîãî ïîâòîðèìî ïîâíèé öèêë ðîçðàõóíê³â.

 

   
2 90 -Ð 5 2 7 +Ð
4
3 50 +Ð 6 60 -Ð

 

 
 
 

Ïðåäñòàâèìî ôóíêö³þ ó âèãëÿä³

Ïåðåéäåìî äî íîâîãî áàçèñó

   
2 30 -Ð 5 -2 2 60 +Ð
4 5 +Ð 100 -Ð
6 -1 8 3

 

   
 

 

Îñê³ëüêè ñåðåä íåìຠâ³ä’ºìíèõ çíà÷åíü, òî çíàéäåíèé ðîçâ’ÿçîê º îïòèìàëüíèì.

Çàäà÷à ¹4

Äëÿ ïîêðàùåííÿ ô³íàíñîâîãî ñòàíó ï³äïðèºìñòâî ïðèéíÿëî ð³øåííÿ ïðî çá³ëüøåííÿ âèïóñêó êîíêóðåíòíîçäàòíî¿ ïðîäóêö³¿, äëÿ ÷îãî áóëî âèð³øåíî âñòàíîâèòè ó îäíîìó ³ç öåõ³â äîäàòêîâîãî îáëàäíàííÿ, ÿêå çàéìຠì2 ïëîù³. Íà ïðèäáàííÿ äîäàòêîâîãî îáëàäíàííÿ ï³äïðèºìñòâî âèä³ëèëî 10 òèñ. ãðí., ïðè öüîìó âîíî ìîæå ïðèäáàòè îáëàäíàííÿ äâîõ âèä³â. Ïðèäáàííÿ îäíîãî êîìïëåêòó îáëàäíàííÿ 1-ãî âèäó êîøòóº 1 òèñ. ãðí., 2-ãî âèäó – 3 òèñ. ãðí. Ïðèäáàííÿ îäíîãî êîìïëåêòó îáëàäíàííÿ 1-ãî âèäó äîçâîëÿº çá³ëüøèòè âèïóñê ïðîäóêö³¿ çà çì³íó íà 2 øò., à îäíîãî êîìïëåêòó 2-ãî âèäó – íà 4 øò. Âðàõîâóþ÷è, ùî äëÿ âñòàíîâëåííÿ îäíîãî êîìïëåêòó 1-ãî âèäó íåîáõ³äíî 1 ì2 ïëîù³, à äëÿ îáëàäíàííÿ 2-ãî âèäó – 1 ì2 ïëîù³. Âèçíà÷èòè òàêèé íàá³ð äîäàòêîâîãî îáëàäíàííÿ, ÿêèé äຠìîæëèâ³ñòü ìàêñèìàëüíî çá³ëüøèòè âèïóñê ïðîäóêö³¿.

Ïðèïóñòèìà, ùî ï³äïðèºìñòâî ïðèäáàëî êîìïëåêò³â äîäàòêîâîãî îáëàäíàííÿ 1-ãî âèäó ³ êîìïëåêò³â îáëàäíàííÿ 2-ãî âèäó.

Ö³ëüîâà ôóíêö³ÿ ìຠâèãëÿä

³ç îáìåæåííÿìè

Ðîçâ’ÿæåìî çàäà÷ó ìåòîäîì Ãîìîð³

Ñïî÷àòêó ðîçâ’ÿæåìî ñèìïëåêñíèì ìåòîäîì, äëÿ öüîãî ïåðåéäåìî äî êàíîí³÷íî¿ ôîðìè ñèñòåìè îáìåæåíü

ÁÇ
3
-2 -4

ÁÇ

ÁÇ

Çíàéäåìî äðîáîâ³ ÷àñòèíè ÷èñåë

Ïîð³âíÿºìî

Âðàõîâóþ÷è äðîáîâ³ ÷àñòèíè ÷èñåë ³

ñêëàäåìî äîäàòêîâ³ îáìåæåííÿ ö³ëî÷èñëîâ³ äëÿ ïåðøîãî ðÿäêà àáî ³ ââåäåìî äîäàòêîâèé ðÿäîê òàáëèö³

 

ÁÇ
    -1

 

ÁÇ
-1

 

Ãðàô³÷íèé ìåòîä

Îáëàñòþ ïðèïóñòèìèõ ðîçâ’ÿçê³â º ÷îòèðüîõêóòíèê ÎÀÂÑ, à .

Îïòèìàëüíèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷à ìຠó òî÷ö³ Â

.

 

Îäåðæàíå îïòèìàëüíå çíà÷åííÿ íå º ö³ëî÷èñëîâèì. Çàì³íèìî áàãàòîêóòíèê ÎÀÂÑ íà ÎÊÅÌNF. ˳í³ÿ ð³âíÿ ïåðåì³ùóºòüñÿ ó òî÷êó äå ³ º ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿

Òàêèì ÷èíîì, ï³äïðèºìñòâó íåîáõ³äíî ïðèäáàòè 1 êîìïëåêò îáëàäíàííÿ ïåðøîãî âèäó ³ 3 êîìïëåêòè îáëàäíàííÿ äðóãîãî âèäó, ùî çàáåçïå÷èòü éîìó ïðè íàÿâíèõ îáìåæåííÿõ íà âèðîáíè÷³ ïëîù³ ³ ãðîøîâ³ êîøòè ìàêñèìàëüíå çá³ëüøåííÿ âèïóñêó ïðîäóêö³¿, ÿêå äîð³âíþº 14 òèñ. ãðí. çà çì³íó.

 

Çàäà÷à 5

Äîñë³äèòè ôóíêö³þ íà åêñòðåìóì

 

  1. Ïîáóäóºìî îáëàñòü îáìåæåíü

1.

2.

3.

 

Îáëàñòþ îáìåæåíü º ìíîæèíà òî÷îê ïëîùèíè ÕÎÓ, ùî íàëåæàòü ÷îòèðüîõêóòíèêó ÀÂÑDE ç âåðøèíàìè:

À (0; ); Â(); Ñ(1,25; 7,5); D(5; 0); E(2; 0)

 

  1. Çíàéäåìî çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ ó êðèòè÷íèõ òî÷êàõ îáëàñò³

- êðèòè÷íà òî÷êà, ùî íå íàëåæèòü îáëàñò³ ðîçâ’ÿçê³â.

  1. Çíàéäåìî çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ ó êðèòè÷íèõ òî÷êàõ íà ãðàíèöÿõ îáëàñò³.

1) ;

- êðèòè÷íà òî÷êà, ùî íàëåæèòü îáëàñò³ ðîçâ’ÿçê³â.

 

2) ; .

Êðèòè÷íà òî÷êà íàëåæèòü îáëàñò³ ðîçâ’ÿçê³â, òîìó

3) ; Êðèòè÷íà òî÷êà íå íàëåæèòü îáëàñò³ ðîçâ’ÿçê³â.

4. Çíàéäåìî çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ ó âåðøèíàõ îáëàñò³ ðîçâ’ÿçê³â

À (); Â(); Ñ(1,25; 7,5); D(5; 0); E(2; 0)

Çíà÷èòü:

 

Çàäà÷à 6

 

óðíè÷î-çáàãà÷óâàëüíèé êîìá³íàò âèðîáëÿº òîâàðíó ïðîäóêö³þ – êîíöåíòðàò, ÿêèé ðåàë³çóº íà âíóòð³øí³é ³ çîâí³øí³é ðèíêè çáóòó. Ïðè ïðîäàæó òîí êîíöåíòðàòó íà âíóòð³øí³é ðèíîê âèòðàòè íà ðåàë³çàö³þ ñêëàäàþòü ãðí., à ïðè ïðîäàæó òîí êîíöåíòðàòó íà çîâí³øí³é ðèíîê - ãðí.

Âèçíà÷èòè, ÿêó ê³ëüê³ñòü êîíöåíòðàòó (òîí) íåîáõ³äíî ïðîäàâàòè íà âíóòð³øí³é ³ çîâí³øí³é ðèíêè, ùîá âèòðàòè íà ðåàë³çàö³þ áóëè ì³í³ìàëüíèìè, ÿêùî çà ð³ê ðåàë³çóºòüñÿ 10000 òèñ. òîí êîíöåíòðàòó.

 

Ðîçâ’ÿæåìî çàäà÷ó çà äîïîìîãîþ ìåòîäó ìíîæíèê³â Ëàãðàíæà

Ñêëàäåìî åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü çàäà÷³. Ö³ëüîâà ôóíêö³ÿ åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷íî¿ ìîäåë³ ìຠâèãëÿä

 

,

 

äå - âèòðàòè íà ðåàë³çàö³þ êîíöåíòðàòó, ãðí.

ïðè îáìåæåííÿõ

 

Ñêëàäåìî ôóíêö³þ Ëàãðàíæà

 

.

 

Çà íåîáõ³äíîþ óìîâîþ ³ñíóâàííÿ åêñòðåìóìó ôóíêö³¿, çíàéäåìî ÷àñòèíí³ ïîõ³äí³ ôóíêö³¿ çà çì³ííèìè , ïðèð³âíÿºìî ¿õ äî íóëÿ òà îäåðæèìî ñèñòåìó ð³âíÿíü

ϳñëÿ åëåìåíòàðíèõ ïåðåòâîðåíü îäåðæóºìî

Çâ³äêè òèñ. òîí; òèñ. òîí.

Ïåðåâ³ðèìî îäåðæàí³ çíà÷åííÿ íà îïòèìàëüí³ñòü. Âèêîðèñòàºìî äîñòàòíþ óìîâó åêñòðåìóìó ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ.

 

Îäåðæóºìî, Çâ³äñè, , òîìó ó òî÷ö³ (5000; 5000) ³ñíóº åêñòðåìóì ôóíêö³¿. Ïðè îäåðæóºìî, ùî ó äîñë³äæóâàí³é òî÷ö³ ³ñíóº ì³í³ìóì ôóíêö³¿, çíà÷èòü, ì³í³ìàëüí³ âèòðàòè íà ðåàë³çàö³þ êîíöåíòðàòó äîð³âíþþòü

 

ãðí.

 

Çàäà÷à 7

Äëÿ âèðîáíèöòâà äâîõ âèä³â ïðîäóêö³¿ âèðîá³â À ³  ï³äïðèºìñòâî âèêîðèñòîâóº òðè òèïè òåõíîëîã³÷íîãî îáëàäíàííÿ. Êîæåí ³ç âèðîá³â ïîâèíåí ïðîéòè îáðîáêó íà êîæíîìó ç òèï³â îáëàäíàííÿ. ×àñ îáðîáêè êîæíîãî ç âèðîá³â, âèòðàòè, ùî ïîâ’ÿçàí³ ç âèðîáíèöòâîì îäíîãî âèðîáó, çàäàíî ó òàáëèö³

  Òèï îáëàäíàííÿ Âèòðàòè ÷àñó íà îáðîáêó îäíîãî âèðîáó, ÷àñ.
À Â
²
²²
²²²
Âèòðàòè íà âèðîáíèöòâî îäíîãî âèðîáó, òèñ. ãðí.

Îáëàäíàííÿ ² ³ ²²² òèï³â ï³äïðèºìñòâî ìîæå âèêîðèñòîâóâàòè íå á³ëüøå 26 ³ 39 ãîäèí â³äïîâ³äíî, îáëàäíàííÿ ²² òèïó äîö³ëüíî âèêîðèñòîâóâàòè íå ìåíøå 4 ãîä.

Âèçíà÷èòè, ñê³ëüêè âèðîá³â êîæíîãî âèäó òðåáà âèðîáèòè ï³äïðèºìñòâó, ùîá ñåðåäíÿ ñîá³âàðò³ñòü îäíîãî âèðîáó áóëà ì³í³ìàëüíîþ.

 

Ïîçíà÷èìî - ê³ëüê³ñòü âèðîá³â âèäó À; - ê³ëüê³ñòü âèðîá³â âèäó Â. Çàãàëüí³ âèòðàòè íà ¿õ âèðîáíèöòâî ñêëàäàþòü òèñ. ãðí., à ñåðåäíÿ ñîá³âàðò³ñòü îäíîãî âèðîáó äîð³âíþº , òîìó ìàòåìàòè÷íà ìîäåëü çàäà÷³ ìຠâèãëÿä

ïðè îáìåæåííÿõ

Ïîáóäóºìî îáëàñòü ïðèïóñòèìèõ ðîçâ’ÿçê³â – òðèêóòíèê ÀÂÑ.

²ç ö³ëüîâî¿ ôóíêö³¿ âèðàçèìî

Çíà÷èòü êóòîâèé êîåô³ö³ºíò ïðÿìî¿ çðîñòàº, òîáòî ïðÿìà îáåðòàºòüñÿ ïðîòè ãîäèííèêîâî¿ ñòð³ëêè ³ ó òî÷ö³ Ñ º ì³í³ìóì, à ó òî÷ö³ À – ìàêñèìóì.

Çíàéäåìî êîîðäèíàòè òî÷êè Ñ

.

Òîìó ï³äïðèºìñòâî ïîâèííî âèïóñêàòè 3 âèðîáè âèäó À ³ 1 âèð³á âèäó Â, ïðè öüîìó ñåðåäíÿ ñîá³âàðò³ñòü áóäå ñêëàäàòè 2,25 ãðí.

Çàäà÷à ¹8

Íàâåäåíà òàáëèöÿ ì³æãàëóçåâèõ çâ’ÿçê³â äëÿ 3 ãàëóçåé ïðîìèñëîâîñò³. Íåîáõ³äíî âèçíà÷èòè îáñÿãè âèïóñêó ïðîäóêö³¿ êîæíî¿ ãàëóç³, ÿêùî ê³íöåâèé ïðîäóêò áóäå çì³íþâàòèñÿ ³ äîð³âíþâàòè â³äïîâ³äíî 40, 30 ³ 50 ìëí. ãðí.

Ãàëóçü ïðîìèñëîâîñò³ Îáñÿã ïðîäóêö³¿, ìëí. ãðí. ̳æãàëóçåâ³ ïîòîêè â ãàëóçÿõ, ìëí. ãðí.
¹1 ¹2 ¹3

Äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ çàñòîñóºìî çàäà÷ó ïðî ñêëàäàííÿ ì³æãàëóçåâîãî áàëàíñó Ëåîíòüºâà

Ñêëàäåìî ìàòðèöþ òåõíîëî㳿 âèðîáíèöòâà, âèêîðèñòîâóþ÷è ôîðìóëó

.

Çíàéäåìî ìàòðèöþ , îáåðíåíó äî ìàòðèö³ (), âèçíà÷íèê ÿêî¿

 

.

 

Çíàéäåìî àëãåáðà¿÷í³ äîïîâíåííÿ äî åëåìåíò³â ìàòðèö³ ():

Òîä³ ìàòðèöÿ êîåô³ö³ºíò³â ñóì³ñíîãî ñïîæèâàííÿ ìຠâèãëÿä

 

 

Îáñÿãè ïðîäóêö³¿, ÿê³ íåîáõ³äíî âèðîáëÿòè êîæí³é ãàëóç³ áóäóòü äîð³âíþâàòè

 

 

Òàêèì ÷èíîì, âèïóñê ïðîäóêö³¿ â ïåðø³é ãàëóç³ íåîáõ³äíî çìåíøèòè äî 140,65 ìëí. ãðí., ó äðóã³é – äî 219,39 ìëí. ãðí., à ó òðåò³é – äî 251,36 ìëí. ãðí.

Çàäà÷à 9

̳í³ñòåðñòâî ðîçãëÿäຠïðîïîçèö³þ ùîäî íàðîùåííÿ âèðîáíè÷èõ ïîòóæíîñòåé äëÿ çá³ëüøåííÿ âèïóñêó îäíîð³äíî¿ ïðîäóêö³¿ íà ÷îòèðüîõ ï³äïðèºìñòâàõ, ùî íàëåæàòü äàí³é ãàëóç³.

Äëÿ ðîçøèðåííÿ âèðîáíèöòâà ì³í³ñòåðñòâî âèä³ëÿº êîøòè ó îáñÿç³ 120 ìëí. ãðí. ç äèñêðåòí³ñòþ 20 ìëí. ãðí. Ïðèð³ñò âèïóñêó ïðîäóêö³¿ íà ï³äïðèºìñòâàõ çàëåæèòü â³ä ñóìè âèä³ëåíèõ êîøò³â, çíà÷åííÿ ÿêîãî ïðåäñòàâëåí³ ó òàáëèö³.

 

Êîøòè, ìëí. ãðí. Ïðèð³ñò âèïóñêó ïðîäóêö³¿, ìëí. ãðí.
ϳäïðèºìñòâî ¹1 ϳäïðèºìñòâî ¹2 ϳäïðèºìñòâî ¹3 ϳäïðèºìñòâî ¹4

 

Çíàéòè ðîçïîä³ë êîøò³â ì³æ ï³äïðèºìñòâàìè, ùî çàáåçïå÷óº ìàêñèìàëüíèé ïðèð³ñò âèïóñêó ïðîäóêö³¿, ïðè÷îìó íà îäíå ï³äïðèºìñòâî ìîæå âèä³ëÿòèñÿ íå á³ëüøå îäí³º¿ ³íâåñòèö³¿.

 

Ðîçâ’ÿæåìî çàäà÷ó çà äîïîìîãîþ ìåòîäó äèíàì³÷íîãî ïðîãðàìóâàííÿ

Ðîç³á’ºìî ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ íà ÷îòèðè åòàïè çà ê³ëüê³ñòþ ï³äïðèºìñòâ, íà ÿê³ ïåðåäáà÷àºòüñÿ çä³éñíèòè ³íâåñòèö³¿.

Ðåêóðåíòíå ñï³ââ³äíîøåííÿ áóäå ìàòè âèãëÿä:

- äëÿ ï³äïðèºìñòâà ¹1

 

 

- äëÿ âñ³õ ³íøèõ ï³äïðèºìñòâ

 

.

 

Ðîçâ’ÿçîê áóäåìî âèêîíóâàòè ó â³äïîâ³äíîñò³ äî ðåêóðåíòíèõ ñï³ââ³äíîøåíü ó ÷îòèðè åòàïè.

1 åòàï.

²íâåñòèö³¿ íàäàºìî ò³ëüêè ïåðøîìó ï³äïðèºìñòâó. Òîä³:

 

2 åòàï.

 

²íâåñòèö³¿ âèä³ëÿºìî ïåðøîìó ³ äðóãîìó ï³äïðèºìñòâàì. Ðåêóðåíòíå ñï³ââ³äíîøåííÿ äëÿ äðóãîãî åòàïó ìຠâèãëÿä

 

Òîä³ ïðè

 

3 åòàï.

Ô³íàíñóºìî äðóãèé åòàï ³ òðåòº ï³äïðèºìñòâî. Ðîçðàõóíêè âèêîíóºìî çà ôîðìóëîþ

 

Òîä³:

ïðè

 

4 åòàï.

²íâåñòèö³¿ ðîçì³ðîì 120 ìëí. ãðí. ðîçïîä³ëÿºìî ì³æ òðåò³ì åòàïîì ³ ÷åòâåðòèì ï³äïðèºìñòâîì

 

Îäåðæàíî óìîâè óïðàâë³ííÿ â³ä ïåðøîãî äî ÷åòâåðòîãî åòàïó. Ïîâåðíåìîñÿ â³ä ÷åòâåðòîãî äî ïåðøîãî åòàïó. Ìàêñèìàëüíèé ïðèð³ñò âèïóñêó ïðîäóêö³¿ ó 64 ìëí. ãðí. îäåðæàíî íà ÷åòâåðòîìó åòàï³ ÿê , òîáòî 23 ìëí. ãðí. â³äïîâ³äàþòü âèä³ëåííþ 40 ìëí. ãðí. ÷åòâåðòîìó ï³äïðèºìñòâó (äèâ. òàáë.). ³äïîâ³äíî äî òðåòüîãî åòàïó 41 ìëí. ãðí. îäåðæàíî ÿê , òîáòî 21 ìëí. ãðí. â³äïîâ³äຠâèä³ëåííþ 40 ìëí. ãðí. òðåòüîìó ï³äïðèºìñòâó. ³äïîâ³äíî äî äðóãîãî åòàïó, 20 ìëí. ãðí. îäåðæàíî ïðè âèä³ëåíí³ 40 ìëí. ãðí. äðóãîìó ï³äïðèºìñòâó.

Òàêèì ÷èíîì, ³íâåñòèö³¿ îáñÿãîì 120 ìëí. ãðí. äîö³ëüíî âèä³ëÿòè äðóãîìó, òðåòüîìó ³ ÷åòâåðòîìó ï³äïðèºìñòâàì ïî 40 ìëí. ãðí., ïðè öüîìó ìàêñèìàëüíèé ïðèð³ñò ïðîäóêö³¿ ñêëàäå 64 ìëí. ãðí.

 

Ñïèñîê âèêîðèñòàíèõ äæåðåë

1. ³òë³íñüêèé Â.Â. Ìîäåëþâàííÿ åêîíîì³êè: Íàâ÷. ïîñ³áíèê. – 2-ãå âèä., áåç çì³í. – Ê.: ÊÍÅÓ, 2007. – 408 ñ. 2. Êðàññ Ì.Ñ., ×óïðûíîâ Á.Ï. Îñíîâû ìàòåìàòèêè è åå ïðèëîæåíèÿ â ýêîíîìè÷åñêîì… 3. Ãðèøèí À.Ô., Êî÷åðîâà Å.Â. Ñòàòèñòè÷åñêèå ìîäåëè: ïîñòðîåíèå, îöåíêà, àíàëèç: Ó÷åá. ïîñîáèå. - Ì.: Ôèíàíñû è…