Постановка задачи выбора оптимального плана трелевки.

Определение цели. Найти объемы трелевки с каждой лесосеки на каждый погрузочный пункт, минимизирующие затраты на трелевку в смену (транспортные издержки).

Формулировка проблемы. Общая содержательная формулировка задачи дана в п. 5.4.2.1.

Этапы формулировки проблемы включают в себя:

1) управляемые переменные – сменные объемы трелевки с каждой лесосеки на каждый погрузочный пункт, м³;

2) переменные состояния – технологические и технико – экономические факторы: сменные объемы трелевки с каждой лесосеки, вместимости каждого погрузочного пункта, себестоимость трелевки 1 м³ с каждой лесосеки на каждый погрузочный пункт по соответствующим волокам, количество лесосек и погрузочных пунктов;

3) размерность задачи – определяется количеством управляемых переменных и ограничений с учетом несбалансированности, равняется девяти, временной интервал моделирования – смена;

4) критерий - суммарные затраты на трелевку, руб.

Построение математической модели. Для построения математической модели принимается допущение о том, что производится транспортировка однородной продукции и конструируемая транспортная модель является однопродуктовой. С порядком конструирования и решения многопродуктовых моделей можно познакомиться в [7 и 55].

Построение (конструирование) математической модели производится в следующем порядке:

1) обозначение переменных – объемов трелевки с каждой лесосеки в каждый погрузочный пункт – производится в соответствии с рис. 5.19 (в обозначениях первый индекс i соответствует номеру лесосеки, второй j – номеру погрузочного пункта) и имеет следующий вид: х₁₁, x₁₂, x₁₃, x₂₁, x₂₂, x₂₃; у – функция цели;

2) целевая функция разрабатывается исходя из того, что затраты на любой из маршрутов равны произведению себестоимости трелевки 1 м³ по данному маршруту на объем трелевки (пока неизвестный) лесоматериалов по этому же маршруту, отсюда и с учетом выражения (5.13) функция цели примет следующий вид:

у= =2х₁₁+1,5x₁₂+4х₁₃+Зx₂₁+2х₂₂+1x₂₃;

3) построение ограничений производится на основе содержательной сущ­ности задачи, в которой отражены: а) ограничения на объем трелевки с каждой лесосеки: необходимо стрелевать с каждой лесосеки столько древесины, сколько на них заготавливается в смену; б) ограничения на объем поступления или по­требления: необходимо доставить на каждый погрузочный пункт столько древе­сины, сколько обеспечивает его вместимость, и не менее. В содержании задачи определено, что суммарный объем трелевки в смену Q=Q₁+Q₂=400 м³, а вме­стимость погрузочных пунктов V=V₁+V₂+V₃=450 м³. В этом случае имеем несбалансированную транспортную модель, Q<V. Приведение транспортной модели к сбалансированной, чтобы недостаток древесины в 50 м³ для погрузочных пунктов оптимально распределялся между ними, производится введением дополнительной фиктивной лесосеки Q_3ф со сменным объемом трелевки в 50 м³. В связи с тем, что реально такой лесосеки нет – трелевка из нее не производится, полагаем, что себестоимость трелевки с этой лесосеки равняется нулю.

Аналогичный прием можно использовать, если объем поставок больше объема потребления – объем трелевки с лесосек больше вместимости погрузочных пунктов. В этом случае вводится фиктивный погрузочный пункт. При введении фиктивной лесосеки Л_3ф появляются три дополнительные переменные х₃₁, х₃₂, х₃₃, и ограничения с учетом выражений (5.14)–(5.15) примут следующий вид:

x₁₁+x₁₂+x₁₃=Q₁;

x₂₁+x₂₂+x₂₃=Q₂;

x₃₁+x₃₂+x₃₃=Q_3ф;

 

x₁₁+x₂₁+x₃₁=V₁;

x₁₂+x₂₂+x₃₂=V₂;

x₁₃+x₂₃+x₃₃=V₃;

Итак, окончательная постановка задачи выглядит следующим образом: минимизировать

у= =2х₁₁+1,5x₁₂+4х₁₃+Зx₂₁+2х₂₂+1x₂₃;

при ограничениях

x₁₁+x₁₂+x₁₃=Q₁;

x₂₁+x₂₂+x₂₃=Q₂;

x₃₁+x₃₂+x₃₃=Q₃;

 

x₁₁+x₂₁+x₃₁=V₁;

x₁₂+x₂₂+x₃₂=V₂;

x₁₃+x₂₃+x₃₃=V₃; (5.17)

 

x_ij 0 для всех значений i и j. Аналогично ставятся другие транспортные задачи.

5.4.3.3. Алгебраическое решение задачи методом потенциалов.

Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов включает в себя следующую последовательность шагов:

1) нахождение начального допустимого решения;

2) выделение из числа небазисных переменных переменной, включаемой в базис; если все небазисные переменные удовлетворяют условию оптимальности симплекс-метода (см. разд. 5.3.8.3), то закончить вычисления, иначе перейти к шагу 3;

3).нахождение исключаемой из базиса переменной, используя условие допустимости симплекс-метода (см. разд. 5.3.8.3) из числа переменных текущего базиса, нахождение нового базисного решения и переход к шагу 2.