Определение цели. Найти объемы трелевки с каждой лесосеки на каждый погрузочный пункт, минимизирующие затраты на трелевку в смену (транспортные издержки).
Формулировка проблемы. Общая содержательная формулировка задачи дана в п. 5.4.2.1.
Этапы формулировки проблемы включают в себя:
1) управляемые переменные – сменные объемы трелевки с каждой лесосеки на каждый погрузочный пункт, м3;
2) переменные состояния – технологические и технико – экономические факторы: сменные объемы трелевки с каждой лесосеки, вместимости каждого погрузочного пункта, себестоимость трелевки 1 м3 с каждой лесосеки на каждый погрузочный пункт по соответствующим волокам, количество лесосек и погрузочных пунктов;
3) размерность задачи – определяется количеством управляемых переменных и ограничений с учетом несбалансированности, равняется девяти, временной интервал моделирования – смена;
4) критерий - суммарные затраты на трелевку, руб.
Построение математической модели. Для построения математической модели принимается допущение о том, что производится транспортировка однородной продукции и конструируемая транспортная модель является однопродуктовой. С порядком конструирования и решения многопродуктовых моделей можно познакомиться в [7 и 55].
Построение (конструирование) математической модели производится в следующем порядке:
1) обозначение переменных – объемов трелевки с каждой лесосеки в каждый погрузочный пункт – производится в соответствии с рис. 5.19 (в обозначениях первый индекс i соответствует номеру лесосеки, второй j – номеру погрузочного пункта) и имеет следующий вид: х11, x12, x13, x21, x22, x23; у – функция цели;
2) целевая функция разрабатывается исходя из того, что затраты на любой из маршрутов равны произведению себестоимости трелевки 1 м3 по данному маршруту на объем трелевки (пока неизвестный) лесоматериалов по этому же маршруту, отсюда и с учетом выражения (5.13) функция цели примет следующий вид:
у= =2х11+1,5x12+4х13+Зx21+2х22+1x23;
3) построение ограничений производится на основе содержательной сущности задачи, в которой отражены: а) ограничения на объем трелевки с каждой лесосеки: необходимо стрелевать с каждой лесосеки столько древесины, сколько на них заготавливается в смену; б) ограничения на объем поступления или потребления: необходимо доставить на каждый погрузочный пункт столько древесины, сколько обеспечивает его вместимость, и не менее. В содержании задачи определено, что суммарный объем трелевки в смену Q=Q1+Q2=400 м3, а вместимость погрузочных пунктов V=V1+V2+V3=450 м3. В этом случае имеем несбалансированную транспортную модель, Q<V. Приведение транспортной модели к сбалансированной, чтобы недостаток древесины в 50 м3 для погрузочных пунктов оптимально распределялся между ними, производится введением дополнительной фиктивной лесосеки Q3ф со сменным объемом трелевки в 50 м3. В связи с тем, что реально такой лесосеки нет – трелевка из нее не производится, полагаем, что себестоимость трелевки с этой лесосеки равняется нулю.
Аналогичный прием можно использовать, если объем поставок больше объема потребления – объем трелевки с лесосек больше вместимости погрузочных пунктов. В этом случае вводится фиктивный погрузочный пункт. При введении фиктивной лесосеки Л3ф появляются три дополнительные переменные х31, х32, х33, и ограничения с учетом выражений (5.14)–(5.15) примут следующий вид:
x11+x12+x13=Q1;
x21+x22+x23=Q2;
x31+x32+x33=Q3ф;
x11+x21+x31=V1;
x12+x22+x32=V2;
x13+x23+x33=V3;
Итак, окончательная постановка задачи выглядит следующим образом: минимизировать
у= =2х11+1,5x12+4х13+Зx21+2х22+1x23;
при ограничениях
x11+x12+x13=Q1;
x21+x22+x23=Q2;
x31+x32+x33=Q3;
x11+x21+x31=V1;
x12+x22+x32=V2;
x13+x23+x33=V3; (5.17)
xij 0 для всех значений i и j. Аналогично ставятся другие транспортные задачи.
5.4.3.3. Алгебраическое решение задачи методом потенциалов.
Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов включает в себя следующую последовательность шагов:
1) нахождение начального допустимого решения;
2) выделение из числа небазисных переменных переменной, включаемой в базис; если все небазисные переменные удовлетворяют условию оптимальности симплекс-метода (см. разд. 5.3.8.3), то закончить вычисления, иначе перейти к шагу 3;
3).нахождение исключаемой из базиса переменной, используя условие допустимости симплекс-метода (см. разд. 5.3.8.3) из числа переменных текущего базиса, нахождение нового базисного решения и переход к шагу 2.