МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СМО С ПОТЕРЯМИ

Рассмотрим коммутационную систему, в которой поступающим заявкам (вызовам) доступны V обслуживающих приборов. Каждая вновь поступившая заявка подается на свободный обслуживающий прибор (ОП). Однако, если вызов поступает в момент, когда все приборы заняты, то он теряется, то есть получает отказ в обслуживании. Возможны две наиболее типичных си­туации.

1. Рассмотрим ситуацию, когда поток заявок простейший и характе­ризуется постоянной интенсивностью l=const. Длительность обслуживания за­явки подчинена показательному закону распределения с интенсивностью обслуживания m=1/Тобсл.

 

Граф интенсивностей переходов для системы с V обслуживающими при­борами при простейшем потоке заявок показан на рис. 8.1.

Для рассматриваемого случая

 

l_к = l, к< v

0, к ³ v ;m_к = кm; к = 1,…,v.

 

Вероятность пребывания системы в состоянии Хк

Р_к = ; к £ v,

или

Р_к = Р_ок £ v

0, к > v

Р_о = .

 

Таким образом, вероятность того, что в системе занято к обслужи­вающих приборов или, что то же самое, в системе находится на обслужи­вании к заявок, равна

Р_к = ,

где - среднее число заявок, приходящееся на среднее время обслуживания одной заявки.

Вероятность отказа в обслуживании очередной заявки Ротк = Рv. Веро­ятность Рv характеризует долю времени, когда все V приборов заняты:

Р_отк = Р_v =

Это выражение позволяет определить потери в обслуживании заявок и называется в телефонии формулой потерь Эрланга (впервые получена Эр­лангом в 1917 году).

Формула Эрланга играет большую роль в телефонии и табулирована для различных значений V,, Р. Составлены таблицы, получившие назва­ние по фамилии их автора таблиц Пальма. Использование таблиц и постро­енных с их помощью номограмм позволяет, не прибегая к расчетам и вы­числениям вероятностей по формулам, найти один из неизвестных парамет­ров V, или Р по двум известным.

 

Среднее число занятых обслуживающих приборов определяется как

m_k=M,

так как

P_o

P_обсл P_отк

 

При неограниченном числе обслуживающих приборов

m_k = ;

P_o ; m_k =

 

2. Рассмотрим другую ситуацию, когда поток заявок поступает от конечного числа S источников и является примитивным. Тогда

l_k = l_a (S-k), 0 £ к £ S;

0 - в остальных случаях.

Граф интенсивностей переходов для системы с V<S обслуживающими приборами и примитивном потоке заявок приведен на рис. 8.2.

В данном случае интенсивность входного потока учитывает число обслуживающих приборов и равна l_i = (S-i)l_a, где i £ V-1.

Если заняты все V приборов, заявка получит отказ в обслуживании.

Вероятность занятия к приборов определяется выражением

P_k =

= P_o

= P_o ,

где - число вызовов от одного абонента, приходящееся на среднее время обслуживания заявки или приведенная интенсивность вызо­вов одного абонента.

 

 

Вероятность непоступления ни одного вызова (незанятия хотя бы од­ного ОП) рассчитывается по формуле

 

P_o=

 

Выражение, полученное подстановкой значения Ро в формулу для на­хождения Рк, вида

P_к = (к=0...V)

называют формулой Энгсета, которая, наравне с формулой потерь Эрланга, является одной из основных в теории телетрафика.

Вероятность отказа в обслуживании очередной заявки находится из выражения:

P_отк = .

Среднее число занятых обслуживанием приборов равно

m_k =

j = k-1; k = 1® j = 0;

= k = v ® j = v-1 = P_o

При теоретически бесконечном числе ОП и конечном числе S источни­ков вызовов (нагрузки) граф интенсивностей переходов представлен рис. 8.3.

Для вероятностей Рк этой системы

P_k = , (0 £ к £ S),

где вероятность Р₀ определяется выражением

 

P_o = .

 

 

Согласно выражению бинома Ньютона можно записать:

P_o =

P_k =

 

Тогда среднее число занятых обслуживающих приборов равно

 

m_k =

=

=

=