ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Двойной интеграл Двойной интеграл и его приложения

Содержание

 

стр.

Введение 4

1 Двойные и тройные интегралы 4

1.1 Двойной интеграл 4

1.1.1 Двойной интеграл и его приложения 4

1.1.2 Замена переменных в двойном интеграле 8

1.1.3 Примеры решения задач 10

1.2 Тройной интеграл 12

1.2.1 Тройной интеграл и его приложения 12

1.2.2 Замена переменных в тройном интеграле 15

1.2.3 Примеры решения задач 18

2 Криволинейные и поверхностные интегралы первого рода 19

2.1 Криволинейные интегралы первого рода 19

2.2 Примеры решения задач 21

2.3 Поверхностные интегралы первого рода 23

2.4 Примеры решения задач 24

3 Варианты заданий 26

Список литературы 43

Введение

Методические указания предназначены для студентов младших курсов всех специальностей бакалаврской подготовки в качестве руководства к выполнению типовой расчетной работы по теме «Кратные интегралы и теория поля».

Основная цель работы – привитие студентам практических навыков в решении задач по указанной теме. Проводится необходимый минимум теоретического материала, где рассмотрены методы вычисления кратных, криволинейных и поверхностных интегралов первого рода. Каждый раздел сопровождается решениями типовых задач. В конце методических указаний приводится 30 вариантов индивидуальных заданий по указанной теме.

ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Двойной интеграл

Двойной интеграл и его приложения

Пусть ограниченная функция определена в некоторой замкнутой области плоскости Разобьем область произвольным образом на меньших областей не имеющих общих внутренних точек, в каждой части возьмем произвольную точку , вычислим значение и составим сумму

(1.1)

где ― площадь

Эта сумма называется интегральной суммой функции , соответствующей данному разбиению области на части и данному выбору промежуточных точек .

Диаметром ограниченного множества назовем точную верхнюю грань расстояний между двумя произвольными точками этого множества:

Пусть ― диаметр , .

Если существует предел интегральной суммы (1.1) при не зависящий от способа дробления области на части и выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается

т. е.

а функция называется интегрируемой в области .

Если функция непрерывна в замкнутой области , то она интегрируема в этой области.

Двойные интегралы обладают такими же свойствами, как и определенные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т. д.).

Геометрический смысл двойного интеграла: если в области то двойной интеграл

(1.2)

численно равен объему цилиндрического тела с основанием и образующей, параллельной оси которое ограничено сверху поверхностью (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1

В частности, когда двойной интеграл (1.2) равен площади области т. е.

. (1.3)

Физический смысл двойного интеграла: если область ― плоская пластинка, лежащая в плоскости с поверхностной плотностью распределения вещества, то массу пластинки находят по формуле

(1.4)

статические моменты пластинки относительно осей и находят по формулам:

(1.5)

координаты центра масс пластинки:

(1.6)

моменты инерции пластинки относительно осей координат и начала координат:

(1.7)

Область которая определяется неравенствами где и ― однозначные непрерывные функции на отрезке называется стандартной относительно оси Аналогично определяется стандартная область относительно оси

Область стандартную как относительно оси так и относительно оси называют просто стандартной областью. На рисунке 1.2 показана стандартная относительно оси область

В случае стандартной области всякая прямая, параллельная оси координат и проходящая через внутреннюю точку области пересекает границу области в двух точках (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 Рисунок 1.3

Если ― область интегрирования, стандартная относительно оси двойной интеграл вычисляется по формуле

(1.8)

Правую часть формулы (1.8) называют повторным интегралом, а интеграл

называют внутренним интегралом.

Вычисление повторного интеграла следует начинать с вычисления внутреннего, в котором переменную надо принять при интегрировании за постоянную величину. Результат интегрирования будет некоторой функцией от которая интегрируется затем по отрезку В результате получается некоторое число ― значение интеграла (1.8).

Если область является стандартной относительно оси (рисунок 1.3), двойной интеграл вычисляется по формуле

(1.9)

Процесс расстановки пределов интегрирования для внутреннего и внешнего интегралов называется приведением двойного интеграла к повторному, а переход от формулы (1.8) к формуле (1.9) или наоборот ― изменением порядка интегрирования.

Если область не является стандартной ни относительно оси , ни относительно оси , ее разбивают на конечное число областей стандартных относительно оси (или ), и при вычислении двойного интеграла по области используют свойство аддитивности.

 

 

Замена переменных в двойном интеграле

(1.10) Если между областями и , лежащими в плоскостях и (рисунок 1.4), установлено…

Примеры решения задач

Задача 1.Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной кривыми и .

Решение. Область является стандартной относительно оси (рисунок 1.7)

Рисунок 1.7

Сводим двойной интеграл к повторному по формуле (1.8):

Вычисляем внутренний интеграл в повторном, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница:

Теперь вычисляем повторный интеграл:

Задача 2. Найти объем тела ограниченного поверхностями

Решение. Данное тело можно представить в виде где ― область на плоскости ограниченная кривыми и т.е.

Согласно геометрическому смыслу двойного интеграла объем тела

Задача 3. Найти моменты инерции относительно осей координат пластины с плотностью ограниченной кривыми и расположенной в I квадранте.

Решение. Данная пластина изображена на рисунке 1.8.

Рисунок 1.8

По формулам (1.7) имеем Для вычисления этих интегралов удобнее перейти к полярным координатам:

Тогда изменяется от до (рисунок 1.8), а при каждом значении из отрезка переменная изменяется от (значение на кривой уравнение которой в полярных координатах в I квадранте имеет вид ) до ( значение на кривой ). Следовательно, используя формулу (1.12), получим

Аналогично получаем

 

 

Тройной интеграл

Тройной интеграл и его приложения

Пусть в некоторой замкнутой ограниченной области трехмерного пространства задана ограниченная функция Произведем относительно области и функции действия, подобные действиям при составлении суммы (1.1), в результате получим сумму

(1.14)

где ― объемы частей на которые разбита область

― координаты точек произвольно выбранных в этих частях области

Сумма (1.14) называется интегральной суммой функции соответствующей данному разбиению области на части и данному выбору промежуточных точек

Пусть ― диаметр ,

Если интегральная сумма (1.14) при имеет предел, не зависящий от способа дробления области на части и выбора точек в них, то этот предел называется тройным интегралом от функции по области и обозначается

(1.15)

а функция называется интегрируемой в области .

Всякая непрерывная в ограниченной замкнутой области функция интегрируема в ней.

Тройные интегралы обладают такими же свойствами, как определенные и двойные интегралы ― линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т.д.

Если в области функция то тройной интеграл (1.15) равен объему области т. е.

(1.16)

Если считать объемной плотностью распределения вещества в области то интеграл (1.15) численно равен массе всего вещества, заключенного в области (физический смысл тройного интеграла).

С помощью тройного интеграла можно также вычислить:

а) статические моменты тела относительно координатных плоскостей и

(1.17)

где ― плотность распределения вещества;

б) координаты центра масс тела:

(1.18)

где ― масса тела;

в) моменты инерции тела относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат:

(1.19)

При вычислении тройных интегралов особую роль играет понятие стандартной трехмерной области, которое вводится по аналогии со стандартной двумерной областью. Так, например, область ограниченная снизу и сверху непрерывными поверхностями и ― стандартная относительно оси (рисунок 1.9).

Рисунок 1.9

Она обладает следующими свойствами.

1. Всякая прямая, параллельная оси и проведенная через внутреннюю точку области , пересекает границу области ровно в двух точках.

2. Вся область однозначно проецируется на плоскость в двумерную область (рисунок 1.9).

Тройной интеграл по области вычисляется так:

Здесь внутренний интеграл берется по при фиксированных, но произвольных в значениях и В результате получается некоторая функция , которая интегрируется затем по области . Если областьограничена линиями , то, переходя от двойного интеграла к повторному, получаем формулу

(1.20)

Если область не является стандартной, то с помощью плоскостей, параллельных какой-либо из координатных плоскостей, разбивают ее на конечное число стандартных областей.

 

 

Замена переменных в тройном интеграле.

(1.21) которые однозначно разрешимы относительно : . (1.22)

Примеры решения задач

Задача 1. Вычислить интеграл если область ограничена поверхностями и

Решение. Уравнение конической поверхности, ограничивающей область , можно записать в виде , а саму область представить следующим образом где ― круг радиуса 1 с центром в начале координат (рисунок 1.12). Перейдем к цилиндрическим координатам где

Подынтегральная функция в цилиндрических координатах равна

Рисунок 1.12

якобиан перехода к цилиндрическим координатам равен Поэтому

Задача 2. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностью и имеющего в каждой точке плотность

Решение. Поверхность, ограничивающая тело, является эллипсоидом, его каноническое уравнение полуоси

Согласно физическому смыслу тройного интеграла, масса тела, занимающего область , Перейдем к обобщенным сферическим координатам следовательно, уравнение эллипсоида имеет вид Поэтому для области координата изменяется от 0 до 1, угол ― от 0 до , а угол ― от 0 до Следовательно,

 

 

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА

Криволинейные интегралы первого рода

(2.1) где ― длина -й частичной дуги Пусть Если существует предел интегральной суммы (2.1) при не зависящей от способа дробления кривой на части и от…

Примеры решения задач

 

 

Задача 1. Вычислить где ― часть эллипса лежащая в I квадранте.

Решение. Параметрическое задание эллипса имеет вид Поскольку рассматривается часть эллипса, лежащая в I квадранте, то Поэтому, т.к. то применяя формулу (2.3), получим

Задача 2. Вычислить где ― кривая, заданная уравнением

Решение. Перейдем к полярным координатам: Уравнение кривой примет вид Для вычисления интеграла применим формулу (2.5). Так как то

Задача 3. Найти массу материальной кривой , заданной уравнением где , если ее плотность

Решение. По формуле для массы Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (2.4). Так как то

 

 

Поверхностные интегралы первого рода

(2.7) где ― площадь Пусть Если интегральная сумма (2.7) имеет предел при не зависящий от способа дробления поверхности на части и от…

Примеры решения задач

Задача 1.Вычислить где - часть поверхности вырезанная поверхностью

Решение. Поверхность является частью параболоида , отсеченной конусом (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2

Поверхность однозначно проецируется на плоскость в область ― круг радиуса с центром в начале координат. Уравнение окружности , которая является границей получается, если из уравнений и исключить

Разрешая уравнение поверхности относительно получаем Следовательно, Поэтому, воспользовавшись формулой (2.11), получаем

Задача 2.Найти массу поверхности сферы радиусом если ее поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию от этой точки до вертикального диаметра.

Решение. Взяв за начало координат центр сферы и направив ось по вертикали, получим, что расстояние от точки сферы до оси равно значит, плотность .

Согласно формуле (2.10)

где сфера, центр которой находится в начале координат.

Для вычисления интеграла применим формулу (2.13), поэтому запишем параметрическое представление сферы

По формулам (2.14) вычислим

Следовательно,

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Первые пять задач каждого варианта необходимо решить при следующих условиях:

1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

2. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной данными линиями.

3. Найти площадь части поверхности вырезаемой поверхностью .

4. Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями.

5. Найти массу тела плотности ограниченного данными поверхностями.

Вариант № 1

 

1. .

2.

3. ,

4.

5.

6. Найти длину кардиоиды

7. Вычислить площадь части поверхности параболоида ограниченной плоскостью

 

 

Вариант № 2

 

1.

2.

3.

4.

5.

6. Вычислить координаты центра тяжести однородной дуги астроиды расположенной в I квадранте.

7. Найти массу сферы если поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию от этой точки до оси .