рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Двойной интеграл Двойной интеграл и его приложения

ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Двойной интеграл Двойной интеграл и его приложения - раздел Военное дело, Содержание   Стр....

Содержание

 

стр.

Введение 4

1 Двойные и тройные интегралы 4

1.1 Двойной интеграл 4

1.1.1 Двойной интеграл и его приложения 4

1.1.2 Замена переменных в двойном интеграле 8

1.1.3 Примеры решения задач 10

1.2 Тройной интеграл 12

1.2.1 Тройной интеграл и его приложения 12

1.2.2 Замена переменных в тройном интеграле 15

1.2.3 Примеры решения задач 18

2 Криволинейные и поверхностные интегралы первого рода 19

2.1 Криволинейные интегралы первого рода 19

2.2 Примеры решения задач 21

2.3 Поверхностные интегралы первого рода 23

2.4 Примеры решения задач 24

3 Варианты заданий 26

Список литературы 43


Введение

Методические указания предназначены для студентов младших курсов всех специальностей бакалаврской подготовки в качестве руководства к выполнению типовой расчетной работы по теме «Кратные интегралы и теория поля».

Основная цель работы – привитие студентам практических навыков в решении задач по указанной теме. Проводится необходимый минимум теоретического материала, где рассмотрены методы вычисления кратных, криволинейных и поверхностных интегралов первого рода. Каждый раздел сопровождается решениями типовых задач. В конце методических указаний приводится 30 вариантов индивидуальных заданий по указанной теме.

ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Двойной интеграл

Двойной интеграл и его приложения

Пусть ограниченная функция определена в некоторой замкнутой области плоскости Разобьем область произвольным образом на меньших областей не имеющих общих внутренних точек, в каждой части возьмем произвольную точку , вычислим значение и составим сумму

(1.1)

где ― площадь

Эта сумма называется интегральной суммой функции , соответствующей данному разбиению области на части и данному выбору промежуточных точек .

Диаметром ограниченного множества назовем точную верхнюю грань расстояний между двумя произвольными точками этого множества:

Пусть ― диаметр , .

Если существует предел интегральной суммы (1.1) при не зависящий от способа дробления области на части и выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается

т. е.

а функция называется интегрируемой в области .

Если функция непрерывна в замкнутой области , то она интегрируема в этой области.

Двойные интегралы обладают такими же свойствами, как и определенные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т. д.).

Геометрический смысл двойного интеграла: если в области то двойной интеграл

(1.2)

численно равен объему цилиндрического тела с основанием и образующей, параллельной оси которое ограничено сверху поверхностью (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1

В частности, когда двойной интеграл (1.2) равен площади области т. е.

. (1.3)

Физический смысл двойного интеграла: если область ― плоская пластинка, лежащая в плоскости с поверхностной плотностью распределения вещества, то массу пластинки находят по формуле

(1.4)

статические моменты пластинки относительно осей и находят по формулам:

(1.5)

координаты центра масс пластинки:

(1.6)

моменты инерции пластинки относительно осей координат и начала координат:

(1.7)

Область которая определяется неравенствами где и ― однозначные непрерывные функции на отрезке называется стандартной относительно оси Аналогично определяется стандартная область относительно оси

Область стандартную как относительно оси так и относительно оси называют просто стандартной областью. На рисунке 1.2 показана стандартная относительно оси область

В случае стандартной области всякая прямая, параллельная оси координат и проходящая через внутреннюю точку области пересекает границу области в двух точках (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 Рисунок 1.3

Если ― область интегрирования, стандартная относительно оси двойной интеграл вычисляется по формуле

(1.8)

Правую часть формулы (1.8) называют повторным интегралом, а интеграл

называют внутренним интегралом.

Вычисление повторного интеграла следует начинать с вычисления внутреннего, в котором переменную надо принять при интегрировании за постоянную величину. Результат интегрирования будет некоторой функцией от которая интегрируется затем по отрезку В результате получается некоторое число ― значение интеграла (1.8).

Если область является стандартной относительно оси (рисунок 1.3), двойной интеграл вычисляется по формуле

(1.9)

Процесс расстановки пределов интегрирования для внутреннего и внешнего интегралов называется приведением двойного интеграла к повторному, а переход от формулы (1.8) к формуле (1.9) или наоборот ― изменением порядка интегрирования.

Если область не является стандартной ни относительно оси , ни относительно оси , ее разбивают на конечное число областей стандартных относительно оси (или ), и при вычислении двойного интеграла по области используют свойство аддитивности.

 

 

Замена переменных в двойном интеграле

(1.10) Если между областями и , лежащими в плоскостях и (рисунок 1.4), установлено…

Примеры решения задач

Задача 1.Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной кривыми и .

Решение. Область является стандартной относительно оси (рисунок 1.7)

Рисунок 1.7 Сводим двойной интеграл к повторному по формуле (1.8):

Вычисляем внутренний интеграл в повторном, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница:

Теперь вычисляем повторный интеграл:

Задача 2. Найти объем тела ограниченного поверхностями

Решение. Данное тело можно представить в виде где ― область на плоскости ограниченная кривыми и т.е.

Согласно геометрическому смыслу двойного интеграла объем тела

Задача 3. Найти моменты инерции относительно осей координат пластины с плотностью ограниченной кривыми и расположенной в I квадранте.

Решение. Данная пластина изображена на рисунке 1.8.

Рисунок 1.8 По формулам (1.7) имеем Для вычисления этих интегралов удобнее перейти к полярным координатам:

Тогда изменяется от до (рисунок 1.8), а при каждом значении из отрезка переменная изменяется от (значение на кривой уравнение которой в полярных координатах в I квадранте имеет вид ) до ( значение на кривой ). Следовательно, используя формулу (1.12), получим

Аналогично получаем

 

 

Тройной интеграл

Тройной интеграл и его приложения

Пусть в некоторой замкнутой ограниченной области трехмерного пространства задана ограниченная функция Произведем относительно области и функции действия, подобные действиям при составлении суммы (1.1), в результате получим сумму

(1.14)

где ― объемы частей на которые разбита область

― координаты точек произвольно выбранных в этих частях области

Сумма (1.14) называется интегральной суммой функции соответствующей данному разбиению области на части и данному выбору промежуточных точек

Пусть ― диаметр ,

Если интегральная сумма (1.14) при имеет предел, не зависящий от способа дробления области на части и выбора точек в них, то этот предел называется тройным интегралом от функции по области и обозначается

(1.15)

а функция называется интегрируемой в области .

Всякая непрерывная в ограниченной замкнутой области функция интегрируема в ней.

Тройные интегралы обладают такими же свойствами, как определенные и двойные интегралы ― линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т.д.

Если в области функция то тройной интеграл (1.15) равен объему области т. е.

(1.16)

Если считать объемной плотностью распределения вещества в области то интеграл (1.15) численно равен массе всего вещества, заключенного в области (физический смысл тройного интеграла).

С помощью тройного интеграла можно также вычислить:

а) статические моменты тела относительно координатных плоскостей и

(1.17)

где ― плотность распределения вещества;

б) координаты центра масс тела:

(1.18)

где ― масса тела;

в) моменты инерции тела относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат:

(1.19)

При вычислении тройных интегралов особую роль играет понятие стандартной трехмерной области, которое вводится по аналогии со стандартной двумерной областью. Так, например, область ограниченная снизу и сверху непрерывными поверхностями и ― стандартная относительно оси (рисунок 1.9).

Рисунок 1.9

Она обладает следующими свойствами.

1. Всякая прямая, параллельная оси и проведенная через внутреннюю точку области , пересекает границу области ровно в двух точках.

2. Вся область однозначно проецируется на плоскость в двумерную область (рисунок 1.9).

Тройной интеграл по области вычисляется так:

Здесь внутренний интеграл берется по при фиксированных, но произвольных в значениях и В результате получается некоторая функция , которая интегрируется затем по области . Если областьограничена линиями , то, переходя от двойного интеграла к повторному, получаем формулу

(1.20)

Если область не является стандартной, то с помощью плоскостей, параллельных какой-либо из координатных плоскостей, разбивают ее на конечное число стандартных областей.

 

 

Замена переменных в тройном интеграле.

(1.21) которые однозначно разрешимы относительно : . (1.22)

Примеры решения задач

Задача 1. Вычислить интеграл если область ограничена поверхностями и

Решение. Уравнение конической поверхности, ограничивающей область , можно записать в виде , а саму область представить следующим образом где ― круг радиуса 1 с центром в начале координат (рисунок 1.12). Перейдем к цилиндрическим координатам где

Подынтегральная функция в цилиндрических координатах равна

Рисунок 1.12 якобиан перехода к цилиндрическим координатам равен Поэтому

Задача 2. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностью и имеющего в каждой точке плотность

Решение. Поверхность, ограничивающая тело, является эллипсоидом, его каноническое уравнение полуоси

Согласно физическому смыслу тройного интеграла, масса тела, занимающего область , Перейдем к обобщенным сферическим координатам следовательно, уравнение эллипсоида имеет вид Поэтому для области координата изменяется от 0 до 1, угол ― от 0 до , а угол ― от 0 до Следовательно,

 

 

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА

Криволинейные интегралы первого рода

(2.1) где ― длина -й частичной дуги Пусть Если существует предел интегральной суммы (2.1) при не зависящей от способа дробления кривой на части и от…

Примеры решения задач

 

 

Задача 1. Вычислить где ― часть эллипса лежащая в I квадранте.

Решение. Параметрическое задание эллипса имеет вид Поскольку рассматривается часть эллипса, лежащая в I квадранте, то Поэтому, т.к. то применяя формулу (2.3), получим

Задача 2. Вычислить где ― кривая, заданная уравнением

Решение. Перейдем к полярным координатам: Уравнение кривой примет вид Для вычисления интеграла применим формулу (2.5). Так как то

Задача 3. Найти массу материальной кривой , заданной уравнением где , если ее плотность

Решение. По формуле для массы Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (2.4). Так как то

 

 

Поверхностные интегралы первого рода

(2.7) где ― площадь Пусть Если интегральная сумма (2.7) имеет предел при не зависящий от способа дробления поверхности на части и от…

Примеры решения задач

Задача 1.Вычислить где - часть поверхности вырезанная поверхностью

Решение. Поверхность является частью параболоида , отсеченной конусом (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 Поверхность однозначно проецируется на плоскость в область ― круг радиуса с центром в начале координат. Уравнение окружности , которая является границей получается, если из уравнений и исключить

Разрешая уравнение поверхности относительно получаем Следовательно, Поэтому, воспользовавшись формулой (2.11), получаем

Задача 2.Найти массу поверхности сферы радиусом если ее поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию от этой точки до вертикального диаметра.

Решение. Взяв за начало координат центр сферы и направив ось по вертикали, получим, что расстояние от точки сферы до оси равно значит, плотность .

Согласно формуле (2.10)

где сфера, центр которой находится в начале координат.

Для вычисления интеграла применим формулу (2.13), поэтому запишем параметрическое представление сферы

По формулам (2.14) вычислим

Следовательно,

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Первые пять задач каждого варианта необходимо решить при следующих условиях:

1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

2. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной данными линиями.

3. Найти площадь части поверхности вырезаемой поверхностью .

4. Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями.

5. Найти массу тела плотности ограниченного данными поверхностями.


Вариант № 1

 

1. .

2.

3. ,

4.

5.

6. Найти длину кардиоиды

7. Вычислить площадь части поверхности параболоида ограниченной плоскостью

 

 

Вариант № 2

 

1.

2.

3.

4.

5.

6. Вычислить координаты центра тяжести однородной дуги астроиды расположенной в I квадранте.

7. Найти массу сферы если поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию от этой точки до оси .

 

– Конец работы –

Используемые теги: Двойные, Тройные, Интегралы, двойной, интеграл, двойной, интеграл, ложения0.069

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Двойной интеграл Двойной интеграл и его приложения

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
ЛЕКЦИЯ... ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА... ПЛАН...

Двойной интеграл в полярных координатах
В качестве точки Mij Sij для простоты выберем вершину ячейки Sij с полярными координатами rj и i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны xij rj… Пусть область интегрирования S определяется неравенствами Где r1, r1 -… Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y0, yx, x1 рис 4. В полярных координатах…

Двойное налогообложение и международные акты об избежании двойного налогообложения
Заключение. Введение. Как известно, целью любой предпринимательской деятельности является получение прибыли дохода , направляемые в последствии, в… Т2. Кишинёв Штиинца 1993г. где п.1 ст.1 указывает, что предпринимательство-… Таким образом, как мы видим, в основе такой деятельности лежит удовлетворение личных интересов правило . Однако,…

Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла
В конце XVII в когда развитие науки шло быстрыми темпами, появились понятия дифференцирование, а вслед за ним и интегрирование. Нахождение значения… Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и… В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли.

Вычисление двойных интегралов методом ячеек
Для повышения точности можно использовать обычныеметоды сгущения узлов сетки. При этом по каждой переменной шаги уменьшают водинаковое число раз, т. е.… Например, пусть область задана в виде криволинейногочетыр хугольника Данную область можно привести к прямоугольному…

Геометрические приложения определенного интеграла
Длина плоской кривой Длина кривой заданной параметрически Рассмотрим параметрически заданную...

Ряды и двойные интегралы
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980, 6. Г Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.:…

Двойное налогообложение и международные акты об избежании двойного налогообложения
Такой вывод о цели предпринимательской деятельности мы делаем, прежде всего, из нашего законодательства, а именно из Закона РМ О… Таким образом, как мы видим, в основе такой деятельности лежит удовлетворение… В подтверждение сказанному мы приводим в пример ст47 Конституции РМ 2 , где говориться, что государство обязано…

Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов.
На сайте allrefs.net читайте: Первообразная, разбиение их множества на классы и определение интеграла. Таблица интегралов....

Разработка программы расчета определенного интеграла по формуле Буля по схеме двойного пересчета с заданной точностью
Стремительное развитие науки и техники, в том числе и вычислительной, требует знания е от каждого, считающего себя образованным, человека. Из-за вс возрастающей сложности многих объектов требуется улучшенная… Для решения этой задачи применяется математическое моделирование, которое осуществляется опять же с помощью…

0.042
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам