Содержание
стр.
Введение 4
1 Двойные и тройные интегралы 4
1.1 Двойной интеграл 4
1.1.1 Двойной интеграл и его приложения 4
1.1.2 Замена переменных в двойном интеграле 8
1.1.3 Примеры решения задач 10
1.2 Тройной интеграл 12
1.2.1 Тройной интеграл и его приложения 12
1.2.2 Замена переменных в тройном интеграле 15
1.2.3 Примеры решения задач 18
2 Криволинейные и поверхностные интегралы первого рода 19
2.1 Криволинейные интегралы первого рода 19
2.2 Примеры решения задач 21
2.3 Поверхностные интегралы первого рода 23
2.4 Примеры решения задач 24
3 Варианты заданий 26
Список литературы 43
Введение
Методические указания предназначены для студентов младших курсов всех специальностей бакалаврской подготовки в качестве руководства к выполнению типовой расчетной работы по теме «Кратные интегралы и теория поля».
Основная цель работы – привитие студентам практических навыков в решении задач по указанной теме. Проводится необходимый минимум теоретического материала, где рассмотрены методы вычисления кратных, криволинейных и поверхностных интегралов первого рода. Каждый раздел сопровождается решениями типовых задач. В конце методических указаний приводится 30 вариантов индивидуальных заданий по указанной теме.
ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Двойной интеграл
Двойной интеграл и его приложения
Пусть ограниченная функция определена в некоторой замкнутой области плоскости Разобьем область произвольным образом на меньших областей не имеющих общих внутренних точек, в каждой части возьмем произвольную точку , вычислим значение и составим сумму
(1.1)
где ― площадь
Эта сумма называется интегральной суммой функции , соответствующей данному разбиению области на части и данному выбору промежуточных точек .
Диаметром ограниченного множества назовем точную верхнюю грань расстояний между двумя произвольными точками этого множества:
Пусть ― диаметр , .
Если существует предел интегральной суммы (1.1) при не зависящий от способа дробления области на части и выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается
т. е.
а функция называется интегрируемой в области .
Если функция непрерывна в замкнутой области , то она интегрируема в этой области.
Двойные интегралы обладают такими же свойствами, как и определенные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т. д.).
Геометрический смысл двойного интеграла: если в области то двойной интеграл
(1.2)
численно равен объему цилиндрического тела с основанием и образующей, параллельной оси которое ограничено сверху поверхностью (рисунок 1.1).
Рисунок 1.1
В частности, когда двойной интеграл (1.2) равен площади области т. е.
. (1.3)
Физический смысл двойного интеграла: если область ― плоская пластинка, лежащая в плоскости с поверхностной плотностью распределения вещества, то массу пластинки находят по формуле
(1.4)
статические моменты пластинки относительно осей и находят по формулам:
(1.5)
координаты центра масс пластинки:
(1.6)
моменты инерции пластинки относительно осей координат и начала координат:
(1.7)
Область которая определяется неравенствами где и ― однозначные непрерывные функции на отрезке называется стандартной относительно оси Аналогично определяется стандартная область относительно оси
Область стандартную как относительно оси так и относительно оси называют просто стандартной областью. На рисунке 1.2 показана стандартная относительно оси область
В случае стандартной области всякая прямая, параллельная оси координат и проходящая через внутреннюю точку области пересекает границу области в двух точках (рисунок 1.2).
Рисунок 1.2 Рисунок 1.3
Если ― область интегрирования, стандартная относительно оси двойной интеграл вычисляется по формуле
(1.8)
Правую часть формулы (1.8) называют повторным интегралом, а интеграл
называют внутренним интегралом.
Вычисление повторного интеграла следует начинать с вычисления внутреннего, в котором переменную надо принять при интегрировании за постоянную величину. Результат интегрирования будет некоторой функцией от которая интегрируется затем по отрезку В результате получается некоторое число ― значение интеграла (1.8).
Если область является стандартной относительно оси (рисунок 1.3), двойной интеграл вычисляется по формуле
(1.9)
Процесс расстановки пределов интегрирования для внутреннего и внешнего интегралов называется приведением двойного интеграла к повторному, а переход от формулы (1.8) к формуле (1.9) или наоборот ― изменением порядка интегрирования.
Если область не является стандартной ни относительно оси , ни относительно оси , ее разбивают на конечное число областей стандартных относительно оси (или ), и при вычислении двойного интеграла по области используют свойство аддитивности.
Примеры решения задач
Задача 1.Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной кривыми и .
Решение. Область является стандартной относительно оси (рисунок 1.7)
Рисунок 1.7 | Сводим двойной интеграл к повторному по формуле (1.8): |
Вычисляем внутренний интеграл в повторном, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница:
Теперь вычисляем повторный интеграл:
Задача 2. Найти объем тела ограниченного поверхностями
Решение. Данное тело можно представить в виде где ― область на плоскости ограниченная кривыми и т.е.
Согласно геометрическому смыслу двойного интеграла объем тела
Задача 3. Найти моменты инерции относительно осей координат пластины с плотностью ограниченной кривыми и расположенной в I квадранте.
Решение. Данная пластина изображена на рисунке 1.8.
Рисунок 1.8 | По формулам (1.7) имеем Для вычисления этих интегралов удобнее перейти к полярным координатам: |
Тогда изменяется от до (рисунок 1.8), а при каждом значении из отрезка переменная изменяется от (значение на кривой уравнение которой в полярных координатах в I квадранте имеет вид ) до ( значение на кривой ). Следовательно, используя формулу (1.12), получим
Аналогично получаем
Тройной интеграл
Тройной интеграл и его приложения
Пусть в некоторой замкнутой ограниченной области трехмерного пространства задана ограниченная функция Произведем относительно области и функции действия, подобные действиям при составлении суммы (1.1), в результате получим сумму
(1.14)
где ― объемы частей на которые разбита область
― координаты точек произвольно выбранных в этих частях области
Сумма (1.14) называется интегральной суммой функции соответствующей данному разбиению области на части и данному выбору промежуточных точек
Пусть ― диаметр ,
Если интегральная сумма (1.14) при имеет предел, не зависящий от способа дробления области на части и выбора точек в них, то этот предел называется тройным интегралом от функции по области и обозначается
(1.15)
а функция называется интегрируемой в области .
Всякая непрерывная в ограниченной замкнутой области функция интегрируема в ней.
Тройные интегралы обладают такими же свойствами, как определенные и двойные интегралы ― линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т.д.
Если в области функция то тройной интеграл (1.15) равен объему области т. е.
(1.16)
Если считать объемной плотностью распределения вещества в области то интеграл (1.15) численно равен массе всего вещества, заключенного в области (физический смысл тройного интеграла).
С помощью тройного интеграла можно также вычислить:
а) статические моменты тела относительно координатных плоскостей и
(1.17)
где ― плотность распределения вещества;
б) координаты центра масс тела:
(1.18)
где ― масса тела;
в) моменты инерции тела относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат:
(1.19)
При вычислении тройных интегралов особую роль играет понятие стандартной трехмерной области, которое вводится по аналогии со стандартной двумерной областью. Так, например, область ограниченная снизу и сверху непрерывными поверхностями и ― стандартная относительно оси (рисунок 1.9).
Рисунок 1.9
Она обладает следующими свойствами.
1. Всякая прямая, параллельная оси и проведенная через внутреннюю точку области , пересекает границу области ровно в двух точках.
2. Вся область однозначно проецируется на плоскость в двумерную область (рисунок 1.9).
Тройной интеграл по области вычисляется так:
Здесь внутренний интеграл берется по при фиксированных, но произвольных в значениях и В результате получается некоторая функция , которая интегрируется затем по области . Если областьограничена линиями , то, переходя от двойного интеграла к повторному, получаем формулу
(1.20)
Если область не является стандартной, то с помощью плоскостей, параллельных какой-либо из координатных плоскостей, разбивают ее на конечное число стандартных областей.
Примеры решения задач
Задача 1. Вычислить интеграл если область ограничена поверхностями и
Решение. Уравнение конической поверхности, ограничивающей область , можно записать в виде , а саму область представить следующим образом где ― круг радиуса 1 с центром в начале координат (рисунок 1.12). Перейдем к цилиндрическим координатам где
Подынтегральная функция в цилиндрических координатах равна
Рисунок 1.12 | якобиан перехода к цилиндрическим координатам равен Поэтому |
Задача 2. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностью и имеющего в каждой точке плотность
Решение. Поверхность, ограничивающая тело, является эллипсоидом, его каноническое уравнение полуоси
Согласно физическому смыслу тройного интеграла, масса тела, занимающего область , Перейдем к обобщенным сферическим координатам следовательно, уравнение эллипсоида имеет вид Поэтому для области координата изменяется от 0 до 1, угол ― от 0 до , а угол ― от 0 до Следовательно,
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА
Примеры решения задач
Задача 1. Вычислить где ― часть эллипса лежащая в I квадранте.
Решение. Параметрическое задание эллипса имеет вид Поскольку рассматривается часть эллипса, лежащая в I квадранте, то Поэтому, т.к. то применяя формулу (2.3), получим
Задача 2. Вычислить где ― кривая, заданная уравнением
Решение. Перейдем к полярным координатам: Уравнение кривой примет вид Для вычисления интеграла применим формулу (2.5). Так как то
Задача 3. Найти массу материальной кривой , заданной уравнением где , если ее плотность
Решение. По формуле для массы Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (2.4). Так как то
Примеры решения задач
Задача 1.Вычислить где - часть поверхности вырезанная поверхностью
Решение. Поверхность является частью параболоида , отсеченной конусом (рисунок 2.2).
Рисунок 2.2 | Поверхность однозначно проецируется на плоскость в область ― круг радиуса с центром в начале координат. Уравнение окружности , которая является границей получается, если из уравнений и исключить |
Разрешая уравнение поверхности относительно получаем Следовательно, Поэтому, воспользовавшись формулой (2.11), получаем
Задача 2.Найти массу поверхности сферы радиусом если ее поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию от этой точки до вертикального диаметра.
Решение. Взяв за начало координат центр сферы и направив ось по вертикали, получим, что расстояние от точки сферы до оси равно значит, плотность .
Согласно формуле (2.10)
где сфера, центр которой находится в начале координат.
Для вычисления интеграла применим формулу (2.13), поэтому запишем параметрическое представление сферы
По формулам (2.14) вычислим
Следовательно,
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Первые пять задач каждого варианта необходимо решить при следующих условиях:
1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.
2. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной данными линиями.
3. Найти площадь части поверхности вырезаемой поверхностью .
4. Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями.
5. Найти массу тела плотности ограниченного данными поверхностями.
Вариант № 1
1. .
2.
3. ,
4.
5.
6. Найти длину кардиоиды
7. Вычислить площадь части поверхности параболоида ограниченной плоскостью
Вариант № 2
1.
2.
3.
4.
5.
6. Вычислить координаты центра тяжести однородной дуги астроиды расположенной в I квадранте.
7. Найти массу сферы если поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию от этой точки до оси .