рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Определение двойного интеграла

Определение двойного интеграла - раздел Военное дело, Задачи, приводящие к двойным интегралам   Задача Об Объеме Цилиндроида.Рассмотрим Тело...

 

Задача об объеме цилиндроида.Рассмотрим тело с основанием , лежащим в плоскости , ограниченное поверхностью и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси , а направляющей служит граница области . Это тело называется цилиндроидом (цилиндрическим брусом, или общим цилиндром). Требуется вычислить объем цилиндроида.

 

 

 

Чтобы решить задачу, область разобьем произвольным образом на частей , площади которых также обозначим через соответственно. В каждой из элементарных областей () выберем произвольную точку и значение функции в этой точке умножим на площадь области . Это произведение равно объему цилиндрического тела с площадью основания и высотой . Составим сумму всех таких произведений:

.

 

Эта сумма выражает объем ступенчатого цилиндрического тела, приближенно заменяющего данный цилиндроид,

.

 

Обозначим диаметр элементарной области через , то есть наибольшее расстояние между точками, лежащими на границе области, а наибольший из этих диаметров — через . Очевидно, если , то .Объемом общего цилиндра является предел объема соответствующего ступенчатого тела при :

.

Задача о массе пластинки. Рассмотрим область плоскости , ограниченную замкнутой линией, в которой распределено вещество с плотностью . Такую область называют пластинкой. Вычислим массу пластинки, предположив известной функцию .

 

Область произвольным образом разобьем на области , площади которых обозначим теми же символами. Предположим, что в каждой элементарной области плотность постоянна и равна плотности в некоторой точке этой области, т. е. . Тогда произведение выражает приближенную массу элементарной пластинки , а сумма всех таких произведений — приближенную массу всей пластинки, т. е.

.

 

Точное значение массы всей пластинки получим, перейдя к пределу при , где — наибольший из диаметров области :

.

 

Обе задачи привели к необходимости рассмотрения двумерной интегральной суммы

для функции по области и ее предела при .


Определение. Число называется пределом интегральной суммы при , если для любого числа можно указать такое число , что при выполняется неравенство

независимо от выбора точек в элементарных областях .

Определение.Двойным интегралом от функции по области называется предел ее интегральной суммы при , если он существует и не зависит от способа разбиения области и выбора точек :

.

При этом функция называется подынтегральной функцией, а область — областью интегрирования.

 

Двойной интеграл от функции по области обозначается также следующим образом:

.

Отметим без доказательства, что предел интегральной суммы существует, если функция непрерывна в замкнутой области, имеющей площадь. Если предел интегральной суммы существует, то функция называется интегрируемой в области . Следовательно, все непрерывные функции являются интегрируемыми, среди разрывных функций имеются интегрируемые и неинтегрируемые.

 

Из решения задач, рассмотренных выше, следует геометрический и физический смысл двойного интеграла:

 

1. Геометрический смысл: двойной интеграл от функции rпо области равен объему цилиндроида с основанием , который ограничен сверху поверхностью

.

 

2. Физический смысл двойного интеграла: если неотрицательная функция выражает поверхностную плотность пластинки , то ее масса равна двойному интегралу от данной функции по данной области

 

.


– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Задачи, приводящие к двойным интегралам

Задачи приводящие к двойным.. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных Декартовых..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Определение двойного интеграла

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Свойства двойного интеграла
Двойной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла. Отметим лишь основные из них:   1. Если функции

Декартовых координатах
  Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где область — прямоуг

Системе координат
Осуществим в двойном интеграле , заданном в декартовой системе координат, замену переменных по формулам перехода к полярной системе к

Тройной интеграл
По аналогии с двойным интегралом вводится понятие тройного интеграла. Рассмотрим ограниченную замкнутую пространственную область и определен

Определение криволинейного интеграла второго рода
  Напомним, что если сила постоянна (по величине и по направлению), а путь

Криволинейный интеграл второго рода в координатной форме
  При определении криволинейного интеграла второго рода элементарная работа силы

Формула Грина
Формула Грина устанавливает связь между двойным интегралом по области и криволинейным интегралом по контуру

От пути интегрирования
  Рассмотрим криволинейный интеграл   , взятый по некоторой плоской кривой

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги