Определение двойного интеграла
Задача об объеме цилиндроида.Рассмотрим тело с основанием 
, лежащим в плоскости 
, ограниченное поверхностью 
и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси 
, а направляющей служит граница области . Это тело называется цилиндроидом (цилиндрическим брусом, или общим цилиндром). Требуется вычислить объем цилиндроида.
Чтобы решить задачу, область разобьем произвольным образом на 
частей 
, площади которых также обозначим через соответственно. В каждой из элементарных областей 
(
) выберем произвольную точку 
и значение функции в этой точке 
умножим на площадь области . Это произведение равно объему цилиндрического тела с площадью основания и высотой 
. Составим сумму всех таких произведений:
.
Эта сумма выражает объем 
ступенчатого цилиндрического тела, приближенно заменяющего данный цилиндроид,
.
Обозначим диаметр элементарной области через 
, то есть наибольшее расстояние между точками, лежащими на границе области, а наибольший из этих диаметров — через 
. Очевидно, если 
, то 
.Объемом общего цилиндра является предел объема соответствующего ступенчатого тела при 
:
.
Задача о массе пластинки. Рассмотрим область плоскости , ограниченную замкнутой линией, в которой распределено вещество с плотностью 
. Такую область называют пластинкой. Вычислим массу пластинки, предположив известной функцию 
.
Область произвольным образом разобьем на области 
, площади которых обозначим теми же символами. Предположим, что в каждой элементарной области плотность постоянна и равна плотности в некоторой точке 
этой области, т. е. 
. Тогда произведение выражает приближенную массу элементарной пластинки , а сумма всех таких произведений — приближенную массу 
всей пластинки, т. е.
.
Точное значение массы всей пластинки получим, перейдя к пределу при , где — наибольший из диаметров области :
.
Обе задачи привели к необходимости рассмотрения двумерной интегральной суммы
для функции 
по области и ее предела при 
.
Определение. Число 
называется пределом интегральной суммы 
при , если для любого числа 
можно указать такое число 
, что при 
выполняется неравенство
независимо от выбора точек в элементарных областях .
Определение.Двойным интегралом от функции по области называется предел ее интегральной суммы при , если он существует и не зависит от способа разбиения области и выбора точек :
.
При этом функция называется подынтегральной функцией, а область — областью интегрирования.
Двойной интеграл от функции по области обозначается также следующим образом:
.
Отметим без доказательства, что предел интегральной суммы существует, если функция непрерывна в замкнутой области, имеющей площадь. Если предел интегральной суммы существует, то функция называется интегрируемой в области . Следовательно, все непрерывные функции являются интегрируемыми, среди разрывных функций имеются интегрируемые и неинтегрируемые.
Из решения задач, рассмотренных выше, следует геометрический и физический смысл двойного интеграла:
1. Геометрический смысл: двойной интеграл от функции r
по области равен объему цилиндроида с основанием , который ограничен сверху поверхностью
.
2. Физический смысл двойного интеграла: если неотрицательная функция выражает поверхностную плотность пластинки , то ее масса равна двойному интегралу от данной функции по данной области
.