Реферат Курсовая Конспект
Системе координат - раздел Военное дело, Задачи, приводящие к двойным интегралам Осуществим В Двойном Интеграле ...
|
Осуществим в двойном интеграле , заданном в декартовой системе координат, замену переменных по формулам перехода к полярной системе координат: , . В этом случае подынтегральная функция будет зависеть от полярных координат и : . Пусть область такова, что любой луч, выходящий из начала координат и проходящий через внутреннюю точку области, пересекает границуне более, чем в двух точках . Линии, ограничивающие область, имеют уравнения , , где , . Такую область, применительно к полярной системе координат, будем называть правильной (см. рис.).
Поскольку предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения фигуры на элементарные, подобное разбиение можно осуществить с помощью лучей , проходящих через начало координат, и концентрических окружностей с центрами в начале координат. При пересечении двух окружностей радиусов ,и лучей, проведенных под углами и , образуется элементарная криволинейная фигура . Ее, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, можно рассматривать как прямоугольник со сторонами , и , площадь которого .
Следовательно, двойной интеграл в полярных координатах имеет вид
.
Итак, если область является правильной применительно к полярным координатам, то вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двукратного интеграла по переменным и . Для расстановки пределов интегрирования из полюса проводят ограничивающие лучи и , записывают уравнения линий входа в область (AMВ) — и выхода из нее (АКВ) — . Тогда , .
Как правило, внешний интеграл вычисляется по переменной , а внутренний — по . На основании изложенного имеет место следующая формула вычисления двойного интеграла в полярных координатах:
,
при этом лучи и , и кривые , ограничивают фигуру , по которой осуществляется вычисление двойного интеграла.
Пример.Вычислить двойной интегралпо области , ограниченной линиями: , , ,.
Решение. Изобразим на рисунке заданную область интегрирования.
Если рассматривать данную область как стандартную относительно оси , то область интегрирования необходимо разбить на две области, а повторный интеграл представить как сумму двух интегралов, так как снизу функция выражена двумя аналитическими выражениями (и ), то область интегрирования необходимо разбить на две области, а повторный интеграл представить как сумму двух интегралов. Аналогичная ситуация возникнет и для оси . При этом, как и в первом случае, так и во втором мы придем к необходимости нахождения достаточно сложных интегралов. Так как линиями, частично ограничивающими область , являются окружности, имеет смысл перейти к полярной системе координат.
Перейдем к полярным координатам по формулам:
, .
Тогда уравнение в полярных координатах запишется в виде:
.
Уравнение получит вид:
.
Ограничение в полярных координатах будет иметь вид:
.
Аналогично .
Подынтегральная функция примет вид: .
Область является правильной применительно к полярным координатам, следовательно, можем использовать формулу:
.
Получаем:
.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Задачи приводящие к двойным... Вычисление двойного интеграла в прямоугольных Декартовых...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Системе координат
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов