Реферат Курсовая Конспект
Тройной интеграл - раздел Военное дело, Задачи, приводящие к двойным интегралам По Аналогии С Двойным Интегралом Вводится Понятие Тройного Интеграла. Рассмот...
|
По аналогии с двойным интегралом вводится понятие тройного интеграла. Рассмотрим ограниченную замкнутую пространственную область и определенную в ней непрерывную функцию . Область разобьем на элементарных пространственных областей . Предполагается, что область и элементарные области имеют объемы, которые будем обозначать соответственно теми же символами. В каждой элементарной области () выберем произвольную точку , значение функции в этой точке умножим на объем элементарной области и составим сумму всех таких произведений:
,
которая называется интегральной суммой данной функции по данному объему.
Обозначим через диаметр области . Пусть — наибольший из этих диаметров. И перейдем в последнем равенстве к пределу при.
Если предел интегральной суммы существует, то он и называется тройным интегралом от функции по пространственной области .
Итак, по определению
. (1)
Тройной интеграл от функции по пространственной области также обозначается следующим образом:
.
Отметим без доказательства, что если функция непрерывна в рассматриваемой замкнутой области , то предел в правой части формулы (1) существует и не зависит от способа разбиения области на элементарные и выбора точки в элементарной области .
Предположим, что в области распределено вещество, объемная плотность которого задана непрерывной функцией , тогда произведение выражает приближенную массу элементарной области , интегральная сумма — приближенную массу всей области , а тройной интеграл — точное значение этой массы, т. е.
.
Данная формула выражает механический смысл тройного интеграла: тройной интеграл представляет массу, заполняющую область интегрирования .
Если в формуле , то мы получаем формулу для вычисления объема с помощью тройного интеграла:
или
Тройной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам двойного интеграла.
Перейдем к вопросу о вычислении тройного интеграла в прямоугольных декартовых координатах. Предположим, что область является стандартной в направлении оси , т. е. удовлетворяющей следующим условиям:
1) всякая прямая, параллельная этой оси и имеющая с данной областью общие точки, пересекает границу области только в двух точках;
2) проекция области на плоскость представляет собой стандартную область в направлении оси или оси .
Пусть стандартная область ограничена сверху поверхностью , снизу — поверхностью , тогда можно показать, что
.
Если область является стандартной в направлении оси и определяется неравенствами , , то
.
Следовательно, в этом случае
.
Замечание. Если область является стандартной в направлении оси и определяется неравенствами , , то
.
Замечание. Если область является стандартной в направлении каждой координатной оси и ее проекции на координатные плоскости являются стандартными в направлении каждой соответствующей оси, то пределы интегрирования в трехкратном интеграле можно расставить шестью различными способами.
Пример.Вычислить тройной интеграл по области , ограниченной поверхностями , , ,,,.
Решение.Изобразим область .
Эта область является стандартной в направлении оси , а проекция области на плоскость представляет собой стандартную область в направлении оси . Следовательно,
.
Пример.Найти объем тела, ограниченного поверхностями , .
Решение. Уравнения поверхностей, ограничивающих тело имеют наиболее простой вид в цилиндрических координатах, связь которых с декартовыми осуществляется по формулам:
, , .
Первая поверхность являющаяся параболоидом вращения примет вид:
.
Уравнение плоскости в цилиндрических координатах останется без изменений.
Изобразим тело, объем которого необходимо найти, на рисунке.
Решая совместно уравнения и , получаем, что область проектируется в плоскость в круг .
Следовательно,
.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Задачи приводящие к двойным... Вычисление двойного интеграла в прямоугольных Декартовых...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Тройной интеграл
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов