рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Тройной интеграл

Тройной интеграл - раздел Военное дело, Задачи, приводящие к двойным интегралам По Аналогии С Двойным Интегралом Вводится Понятие Тройного Интеграла. Рассмот...

По аналогии с двойным интегралом вводится понятие тройного интеграла. Рассмотрим ограниченную замкнутую пространственную область и определенную в ней непрерывную функцию . Область разобьем на элементарных пространственных областей . Предполагается, что область и элементарные области имеют объемы, которые будем обозначать соответственно теми же символами. В каждой элементарной области () выберем произвольную точку , значение функции в этой точке умножим на объем элементарной области и составим сумму всех таких произведений:

,

которая называется интегральной суммой данной функции по данному объему.

Обозначим через диаметр области . Пусть — наибольший из этих диаметров. И перейдем в последнем равенстве к пределу при.

 

Если предел интегральной суммы существует, то он и называется тройным интегралом от функции по пространственной области .

 

Итак, по определению

. (1)

Тройной интеграл от функции по пространственной области также обозначается следующим образом:

.

Отметим без доказательства, что если функция непрерывна в рассматриваемой замкнутой области , то предел в правой части формулы (1) существует и не зависит от способа разбиения области на элементарные и выбора точки в элементарной области .

 

Предположим, что в области распределено вещество, объемная плотность которого задана непрерывной функцией , тогда произведение выражает приближенную массу элементарной области , интегральная сумма — приближенную массу всей области , а тройной интеграл — точное значение этой массы, т. е.

.

Данная формула выражает механический смысл тройного интеграла: тройной интеграл представляет массу, заполняющую область интегрирования .

Если в формуле , то мы получаем формулу для вычисления объема с помощью тройного интеграла:

 

или

Тройной интеграл обладает свойствами, аналогичны­ми свойствам двойного интеграла.

 

Перейдем к вопросу о вычислении тройного интеграла в прямоугольных декартовых координатах. Предположим, что область является стандартной в направлении оси , т. е. удовлетворяющей следующим условиям:

1) всякая прямая, параллельная этой оси и имеющая с данной областью общие точки, пересекает границу области только в двух точках;

2) проекция области на плоскость представляет собой стандартную область в направлении оси или оси .

 

Пусть стандартная область ограничена сверху поверхностью , снизу — поверхностью , тогда можно показать, что

.

Если область является стандартной в направлении оси и определяется неравенствами , , то

.

 

Следовательно, в этом случае

.

Замечание. Если область является стандартной в направлении оси и определяется неравенствами , , то

.

Замечание. Если область является стандартной в направлении каждой координатной оси и ее проекции на координатные плоскости являются стандартными в направлении каждой соответствующей оси, то пределы интегрирования в трехкратном интеграле можно расставить шестью различными способами.

 

Пример.Вычислить тройной интеграл по области , ограниченной поверхностями , , ,,,.

Решение.Изобразим область .

 

 

Эта область является стандартной в направлении оси , а проекция области на плоскость представляет собой стандартную область в направлении оси . Следовательно,

.

Пример.Найти объем тела, ограниченного поверхностями , .

Решение. Уравнения поверхностей, ограничивающих тело имеют наиболее простой вид в цилиндрических координатах, связь которых с декартовыми осуществляется по формулам:

, , .

Первая поверхность являющаяся параболоидом вращения примет вид:

.

 

Уравнение плоскости в цилиндрических координатах останется без изменений.

 

Изобразим тело, объем которого необходимо найти, на рисунке.

 

Решая совместно уравнения и , получаем, что область проектируется в плоскость в круг .

Следовательно,

.


– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Задачи, приводящие к двойным интегралам

Задачи приводящие к двойным.. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных Декартовых..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Тройной интеграл

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Определение двойного интеграла
  Задача об объеме цилиндроида.Рассмотрим тело с основанием , лежащим в плоскости

Свойства двойного интеграла
Двойной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла. Отметим лишь основные из них:   1. Если функции

Декартовых координатах
  Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где область — прямоуг

Системе координат
Осуществим в двойном интеграле , заданном в декартовой системе координат, замену переменных по формулам перехода к полярной системе к

Определение криволинейного интеграла второго рода
  Напомним, что если сила постоянна (по величине и по направлению), а путь

Криволинейный интеграл второго рода в координатной форме
  При определении криволинейного интеграла второго рода элементарная работа силы

Формула Грина
Формула Грина устанавливает связь между двойным интегралом по области и криволинейным интегралом по контуру

От пути интегрирования
  Рассмотрим криволинейный интеграл   , взятый по некоторой плоской кривой

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги