Реферат Курсовая Конспект
Криволинейный интеграл второго рода в координатной форме - раздел Военное дело, Задачи, приводящие к двойным интегралам При Определении Криволинейного Интеграла Второго Рода Элемент...
|
При определении криволинейного интеграла второго рода элементарная работа силы на участке находилась как скалярное произведение вектора и вектора, приближенно равного по длине и направлению участку . Вместо вектора , в качестве вектора, близкого к можно взять вектор , начало и конец которого совпадают с началом и концом участка .
Найдем скалярное произведение векторов и в координатной форме как сумму произведений соответствующих координат:
Переходя к пределу при , где ― длина наибольшей из элементарных дуг , получаем точное значение работы
.
Следовательно, криволинейный интеграл второго рода в скалярной координатной форме имеет вид:
или, в более краткой форме
.
Вычисление криволинейных интегралов второго рода
Пусть линия задана параметрически
: .
Тогда по определению дифференциала
Отметим начало дуги точкой , конец — точкой . В этом случае говорят, что задано направление перемещения по кривой от точки к точке и тем самым указано направление ориентирующего вектора .
Покажем, что вычисление криволинейного интеграла второго рода по линии заданной параметрически, сводится к вычислению однократного определенного интеграла по параметру :
А в случае плоской кривой, когда , последняя формула примет вид:
Замечание. Для плоской кривой, заданной уравнением , криволинейный интеграл второго рода в координатной скалярной форме сводится к определенному интегралу по переменной
(Выбрана ориентация , при которой , соответствуют началу и окончанию пути интегрирования.)
Если кривая задана уравнением , , то при соответствующей ориентации интегрирование по переменной будет осуществляться от до :
.
Пример.Вычислить , где — отрезок прямой с началом в точкеи концом в точке .
Решение.Изобразим на рисунке линию интегрирования.
Воспользуемся формулами параметрических уравнений прямой с направляющим вектором , проходящей через начальную точку с координатами :
Запишем параметрические уравнения прямой, которой принадлежит отрезок , приняв за направляющий вектор прямой вектор .
.
Начальной точкой отрезка является точка . Следовательно, параметрические уравнения этой прямой:
Из полученных уравнений находим, что точке соответствует значение параметра , а точке значение .
По определению дифференциала
Подставляя в интеграл значения и , а также учитывая значения параметра и , соответствующие началу и концу дуги , получим:
.
Пример.Вычислить , где — отрезок прямой с началом в точкеи концом в точке .
Решение.Изобразим на рисунке линию интегрирования.
|
Воспользуемся формулами параметрических уравнений прямой с направляющим вектором , проходящей через начальную точку с координатами :
Запишем параметрические уравнения прямой, которой принадлежит отрезок , приняв за направляющий вектор прямой вектор , т. е. .
Начальной точкой отрезка является точка . Следовательно, параметрические уравнения этой прямой:
Из полученных уравнений находим, что точке соответствует значение параметра , а точке значение .
По определению дифференциала
Учитывая, что и , подставляем в интеграл только значения и , а также значения параметра и , соответствующие началу и концу дуги
.
Пример.Вычислить , где —плоская кривая, являющаяся частью параболы от точки до точки .
Решение.Изобразим на рисунке линию интегрирования .
Воспользуемся формулой:
В данном случае соответствуют началу и окончанию пути интегрирования, , следовательно:
.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Задачи приводящие к двойным... Вычисление двойного интеграла в прямоугольных Декартовых...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Криволинейный интеграл второго рода в координатной форме
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов