Формула Грина устанавливает связь между двойным интегралом по области и криволинейным интегралом по контуру , ограничивающему эту область. Будем считать, что область является стандартной в направлении каждой координатной оси и снизу ограничена графиком функции (дугой ), сверху — графиком функции (дугой ), которые вместе составляют замкнутый контур .
Пусть в области и на ее границе заданы функции и непрерывные вместе со своими частными производными , , тогда
,
где обход контура совершается в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки (область остается слева). Следовательно,
. (1)
Аналогично получаем
, (2)
где обход контура также совершается в положительном направлении.
Вычитая почленно (1) из (2), получаем формулу Грина
.
Замечание 1. Если обход контура совершается в отрицательном направлении, т. е. по часовой стрелке (область остается справа), то формула Грина принимает вид
.
Замечание 2. Формула Грина дает возможность вычислять площадь области с помощью криволинейного интеграла. Действительно, если , , то формула Грина перепишется так:
,
откуда
, (3)
где обход контура совершается против часовой стрелки.
Пример.Определить с помощью криволинейного интеграла площадь, ограниченную эллипсом с полуосями и .
Решение. Запишем параметрические уравнения эллипса
.
Тогда
И по формуле (3) получим
.