Формула Грина

Формула Грина устанавливает связь между двойным интегралом по области и криволинейным интегралом по контуру , ограничивающему эту область. Будем считать, что область является стандартной в направлении каждой координатной оси и снизу ограничена графиком функции (дугой ), сверху — графиком функции (дугой ), которые вместе составляют замкнутый контур .

 

Пусть в области и на ее границе заданы функции и непрерывные вместе со своими частными производными , , тогда

 

,

 

 

где обход контура совершается в положительном на­правлении, т. е. против часовой стрелки (область остается слева). Следовательно,

 

. (1)

 

Аналогично получаем

 

, (2)

 

где обход контура также совершается в положительном направлении.

 

 

Вычитая почленно (1) из (2), получаем формулу Грина

 

.

 

Замечание 1. Если обход контура совершается в отрицательном направлении, т. е. по часовой стрелке (область остается справа), то формула Грина принимает вид

 

.

 

Замечание 2. Формула Грина дает возможность вычислять площадь области с помощью криволинейного интеграла. Действительно, если , , то формула Грина перепишется так:

 

,

 

откуда

, (3)

 

где обход контура совершается против часовой стрелки.

 

Пример.Определить с помощью криволинейного интеграла площадь, ограниченную эллипсом с полуосями и .

 

 

Решение. Запишем параметрические уравнения эллипса

 

.

 

Тогда

 

 

И по формуле (3) получим

 

.