От пути интегрирования

 

Рассмотрим криволинейный интеграл

 

,

взятый по некоторой плоской кривой , соединяющей точки и .

 

Будем предполагать, что функции и имеют непрерывные частные производные в рассматриваемой области . Выясним, при каких условиях написанный криволинейный интеграл не зависит от формы кривой , а зависит только от положения начальной и конечной точек и .

 

Рассмотрим две произвольные кривые и , лежащие в рассматриваемой области и соединяющие точки и . Пусть

 

, (1)

т. е.

.

 

Тогда на основании свойств 1 и 2 криволинейных интегралов имеем:

 

,

 

т. е. криволинейный интеграл по замкнутому контуру

 

(2)

В последней формуле криволинейный интеграл взят по замкнутому контуру , составленному из кривых и . Этот контур можно, очевидно, считать произвольным.

 

Таким образом, из условия, что для любых двух точек и криволинейный интеграл не зависит от формы соединяющей их кривой, а зависит только от положения этих точек, следует, что криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

 

Справедливо и обратное заключение: если криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то этот криволинейный интеграл не зависит от формы кривой, соединяющей две любые точки, а зависит только от положения этих точек. Действительно, из равенства (2) следует равенство (1).

 

Естественно возникает вопрос: каким условиям должны удовлетворять функции и для того, чтобы криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру был равен нулю. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:

 

Теорема. Пусть во всех точках некоторой области функции и вместе со своими частными производными , непрерывны. Тогда, для того чтобы криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру , лежащему в этой области, был равен нулю, т. е. чтобы , необходимо и достаточно выполнение равенства

(3)

во всех точках области .

 

Доказательство. Рассмотрим произвольный замкнутый контур в области D и запишем для него формулу Грина:

.

 

Если выполняется условие (3), то двойной интеграл, стоящий слева, тождественно равен нулю и, следовательно,

 

Таким образом, достаточность условия (3) доказана.

 

Докажем теперь необходимость этого условия, т.е. докажем, что если равенство (2) выполняется для любой замкнутой кривой в области , то в каждой точке этой области выполняется и условие (3).

 

Допустим, напротив, что равенство (2) выполняется, т. е.

,

 

а условие (3) не выполняется, т. е.

 

хотя бы в одной точке. Пусть, например, в некоторой точке

выполняется неравенство

.

 

Так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то она будет положительна и больше некоторого числа во всех точках некоторой достаточно малой области , содержащей точку . Возьмем двойной интеграл по этой области от разности . Он будет иметь положительное значение. Действительно,

 

.

 

Но по формуле Грина левая часть последнего неравенства равна криволинейному интегралу по границе области , который, по предположению, равен нулю. Следовательно, последнее неравенство противоречит условию (2), и значит, предположение, что отлично от нуля хотя бы в одной точке, неверно. Отсюда вытекает, что во всех точках данной области , а следовательно

.

Теорема доказана.