Аппроксимация функций с нефинитным спектром

Прежде всего, рассмотрим задачу приближения произвольных функций с конечной полной энергией (т.е. интегрируемых в квадрате на всей оси) при помощи ФФС и конечной полной энергией.

Пусть φ(t) - произвольная функция, интегрируемая в квадрате на всей оси -∞ < t < ∞, и пусть. Рассмотрим выражение

(2.14)

которое имеет смысл полной энергии разности этих функций и равно квадрату среднеквадратической погрешности при аппроксимацией функции φ(t) функцией f(t).

Поставим перед собой задачу: среди всех функций f(t) пространства найти ту, которая обращает в минимум величину , т.е. осуществляет наилучшие приближенные функции φ(t) в среднеквадратическом смысле.

Для решения задачи заметим, что разность φ(t) - f(t) также интегрируема в квадрате на всей оси. Поэтому, используя равенство Парсеваля имеем

(2.15)

где F_φ(iω) - спектральная плотность функции φ(t).

Представим себе теперь, что мы хотим применить метод, основанный на теореме отсчетов, для аппроксимации функции с нефинитным спектром. Если выбрать шаг между моментами отсчета равным Δt = π/Ω и составить ряд Котельникова для функции φ(t), спектр которой не финитен, то получим новую функцию

(2.16)

где φ_k = φ(kΔt).

Для того чтобы ряд (2.16) сходился равномерно в каждой ограничен­ной области, а функция принадлежала пространству , нужно наложить определенные ограничения на поведение чисел φ_k, т.е. сузить класс рассматриваемых функций φ(t). Будем для простоты предполагать функцию F_φ(iω) непрерывной на всей оси и убывающей при |ω| → ∞ быстрее, чем при некоторых σ > 0, β > 1. Эти условия обеспечивают интегрируемость в первой степени и в квадрате спектральной плотности F_φ(iω) на всей оси, и, следовательно, обеспечивают непрерывность функции и ее квадратичную интегрируемость.

Функция имеет финитный спектр в интервале (-Ω, Ω). Оценка разности по абсолютной величине:

(2.17)

где

(2.18)

Таким образом, при анализе и синтезе моделей на основе рядов Котельникова необходимо учитывать результирующую погрешность приближения (аппроксимации), обусловленную ошибками двух типов. Ошибки первого типа обусловлены усечением в частотной области (т.е. осуществляется переход к функциям с финитным спектром из класса ), а ошибки второго типа - усечением в пространственной (временной) области (т.е. осуществляется ограничение числа отсчетов аппроксимируемой функции).