Вероятность ошибок на выходах РУ1 и РУ2.

 

Рассмотренный ранее сигнал , будет равен

 

Пусть значения переданных информационных символов равны

;

Тогда напряжения на входах РУ1 в момент окончания символьного интервала длительностью будут соответственно равны в (77) и (80)

; ;

Получим соответствующие напряжения на входах РУ1:

;

;

При дальнейших преобразованиях интегралов получим интегралы

и ,

;

Определим напряжения на соответствующих входах РУ1

на 1-м входе; на 2-м входе;

где .

Принимая во внимание, что на интервале интегрирования импульс равен 1В, получим

.

Так как ­ гауссовская флуктуационная помеха типа белого шума,

- гауссовская случайная величина. Случайная величина является причиной ошибок, иногда происходящих в работе РУ1. Чем больше будет дисперсия случайной величины , тем чаще будут происходить ошибки.

При ,при правильных решениях РУ1 наибольшие напряжения будут формироваться, соответственно, на 1 - м, 2 ­ м входах РУ1.

Если значение символа , то наибольшее напряжение при правильном решении будет на 1-м входе РУ1

> ;

Преобразуем к виду ;

После преобразований получим

; где ­ энергия сигнала .

. Учитывая на интервале интегрирования и , определим . получим .

Окончательно, имеем

 

 

Если одновременно будут выполняться все три неравенства, то РУ1 вынесет правильное решение о том, что значение информационного символа .

Если хотя бы одно из неравенств выполняться не будет, то демодулятор примет ошибочное решение. Штриховкой обозначены те области на оси , на которых выполняются соответствующие неравенства из системы .

 

 

Отсюда следует, что вероятность выполнения неравенства равна вероятности правильного решения , которое принимает РУ1 при передаче значения ИС равного . Вероятность невыполнения неравенства равна вероятности ошибочного решения . Чтобы найти численные значения и , необходимо определить плотность вероятности , которая характеризует случайную величину .

 

 

Интегралу соответствует линейный оператор, воздействующий на гауссовский случайный процесс в составе подынтегральной функции. Известно, что воздействие любого линейного оператора на гауссовский процесс сохраняет гауссовское свойство, т. е. ­ гауссовская случайная величина. Поскольку ­ гауссовская плотность вероятности, то ее характеризуют два параметра – математическое ожидание и дисперсия . Определим эти параметры:

. (96) Так как математическое ожидание белого шума , то , т. е. ­ центрированная случайная величина, поэтому ее дисперсия определяется по формуле .Подставляя в вместо правую часть, получим

,

где ­ корреляционная функция белого шума , т. е. ;

­ заданная односторонняя спектральная плотность мощности белого шума; ­ дельта функция.

Таким образом,

.

Используя фильтрующее свойство функции, а также , получим ; .

Одномерную плотность вероятности

 

 

 

Вероятность правильного решения

=

есть вероятность выполнения неравенства

 

Вероятность ошибочного решения, принимаемого РУ1 будет

 

= = ,

Вводя новую переменную интегрирования по формуле

, получим , при , а при . В результате можно написать:

 

Применяя известную формулу в математике

,

где ­ табулированная функция. Окончательно получим

= .