Рассмотренный ранее сигнал , будет равен
Пусть значения переданных информационных символов равны
;
Тогда напряжения на входах РУ1 в момент окончания символьного интервала длительностью будут соответственно равны в (77) и (80)
; ;
Получим соответствующие напряжения на входах РУ1:
;
;
При дальнейших преобразованиях интегралов получим интегралы
и ,
;
Определим напряжения на соответствующих входах РУ1
на 1-м входе; на 2-м входе;
где .
Принимая во внимание, что на интервале интегрирования импульс равен 1В, получим
.
Так как гауссовская флуктуационная помеха типа белого шума,
- гауссовская случайная величина. Случайная величина является причиной ошибок, иногда происходящих в работе РУ1. Чем больше будет дисперсия случайной величины , тем чаще будут происходить ошибки.
При ,при правильных решениях РУ1 наибольшие напряжения будут формироваться, соответственно, на 1 - м, 2 м входах РУ1.
Если значение символа , то наибольшее напряжение при правильном решении будет на 1-м входе РУ1
> ;
Преобразуем к виду ;
После преобразований получим
; где энергия сигнала .
. Учитывая на интервале интегрирования и , определим . получим .
Окончательно, имеем
Если одновременно будут выполняться все три неравенства, то РУ1 вынесет правильное решение о том, что значение информационного символа .
Если хотя бы одно из неравенств выполняться не будет, то демодулятор примет ошибочное решение. Штриховкой обозначены те области на оси , на которых выполняются соответствующие неравенства из системы .
Отсюда следует, что вероятность выполнения неравенства равна вероятности правильного решения , которое принимает РУ1 при передаче значения ИС равного . Вероятность невыполнения неравенства равна вероятности ошибочного решения . Чтобы найти численные значения и , необходимо определить плотность вероятности , которая характеризует случайную величину .
Интегралу соответствует линейный оператор, воздействующий на гауссовский случайный процесс в составе подынтегральной функции. Известно, что воздействие любого линейного оператора на гауссовский процесс сохраняет гауссовское свойство, т. е. гауссовская случайная величина. Поскольку гауссовская плотность вероятности, то ее характеризуют два параметра – математическое ожидание и дисперсия . Определим эти параметры:
. (96) Так как математическое ожидание белого шума , то , т. е. центрированная случайная величина, поэтому ее дисперсия определяется по формуле .Подставляя в вместо правую часть, получим
,
где корреляционная функция белого шума , т. е. ;
заданная односторонняя спектральная плотность мощности белого шума; дельта функция.
Таким образом,
.
Используя фильтрующее свойство функции, а также , получим ; .
Одномерную плотность вероятности
Вероятность правильного решения
=
есть вероятность выполнения неравенства
Вероятность ошибочного решения, принимаемого РУ1 будет
= = ,
Вводя новую переменную интегрирования по формуле
, получим , при , а при . В результате можно написать:
Применяя известную формулу в математике
,
где табулированная функция. Окончательно получим
= .