4.1. Распределения давления в вакуумных системах.
Для стационарного режима характерно постоянство во времени потоков и давлений во всех сечениях вакуумной системы. Газовый поток не остается постоянным по длине вакуумной системы, а увеличивается от одного элемента к другому за счет натекания и газовыделения.
Для расчета распределения давления по длине вакуумной системы запишем дифференциальное уравнение баланса сил в трубопроводе:
, (4.1)
где С – коэффициент пропорциональности.
Рис. 4.1. Простейшая вакуумная система
Будем считать, что трубопровод по всей длине имеет постоянную форму поперечного сечения с периметром П, а газовыделение с поверхности равно q. Тогда дифференциальное уравнение баланса массы можно записать в виде
, (4.2)
при граничных условиях Q=Q0, x=l (Рис.4.1.).
Газовый поток в различных сечениях трубопровода может быть найден в результате интегрирования:
. (4.3)
Исключая Q из уравнений (4.1) и (4.2), получим дифференциальное уравнение стационарной откачки:
. (4.4)
Разделяя переменные и интегрируя в пределах от Р1 до Р0 и от 0 до x, получаем
. (4.5)
Распределение давления по координате x
. (4.6)
Давление р2 при x=l можно записать как
(4.7)
Если Q0>qПl/2, то влиянием собственного газовыделения трубопровода на распределение давления можно пренебречь. Обозначая ,с учетом сделанного допущения можно преобразовать к виду
. (4.8)
Распределение давления в этом случае становится линейным, а газовый поток постоянен во всех сечениях вакуумной системы
. (4.9)
Из (4.8) и (4.9) следует
. (4.10)
Данное уравнение – основное уравнение вакуумной техники, оно связывает основные параметры вакуумной системы, эффективную быстроту откачки SЭФ, быстроту действия насоса SН и проводимость вакуумного трубопровода U.
Анализ уравнения (4.10) показывает, что если проводимость трубопровода значительно больше, то эффективная быстрота откачки объекта зависит только от насоса и наоборот, если U<<SН, эффективная быстрота откачки объекта приблизительно равна проводимости трубопровода и мало зависит от быстроты действия насоса. При проектных расчетах вакуумных систем эффективную быстроту откачки объекта определяют исходя из газового потока и давления, а искомой является быстрота действия насоса SН.
Вводя в основное уравнение коэффициент использования насоса , получим полезные соотношения:
; .
При вязкостном режиме течения газа по трубопроводу проводимость трубопровода прямо пропорциональна давлению газа т. е. .
Используя такие же преобразования, как и при выводе уравнения (4.6), можно найти давление в произвольном сечении
.
При х=1 давление на конце трубопровода, соединенного с откачиваемым объектом
. (4.11)
Зависимость давления от длины трубопровода при вязкостном режиме течения в случае параболическая.
Давление р0 можно найти из условия , где Uо — проводимость входного отверстия при соответствующем режиме течения.
Давление р1 определяется характеристиками насоса. Если принять теоретическую зависимость быстроты откачки насоса SН от давления в виде функции
, (4.12)
где Sm — номинальная быстрота действия насоса; рпр — предельное давление насоса, то рабочее давление насоса
. (4.13)
Решая это уравнение относительно р1, получим
. (4.14)