рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Методическая разработка к проведению лекционных занятий по дисциплине Математические методы решения физических задач Лекции 1. Тригонометрические функции 3

Методическая разработка к проведению лекционных занятий по дисциплине Математические методы решения физических задач Лекции 1. Тригонометрические функции 3 - Лекция, раздел Изобретательство, Фгбоу “Ярославский Государственный Педагогический Университет Им. К....

ФГБОУ “Ярославский государственный педагогический университет

им. К.Д. Ушинского”

 

Кафедра физики и информационных технологий

 

Методическая разработка к проведению лекционных занятий по дисциплине “Математические методы решения физических задач”

 

 

Разработчик: ассистент А.Э. Байдин

 

Рассмотрено на заседании

кафедры ___________ 2012 г.

 

Зав. каф. И.А. Иродова

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Лекции

1. Тригонометрические функции……………………………………………… 3

2. Функции. Дифференциальное исчисление………………………………… 10

3. Криволинейное движение………………………………………………....... 16

4. Интегральное исчисление………………………………………………....... 21

5. Тензоры………………………………………………………………............. 27

6. Разложение функций. Ряды Тейлора, Маклорена и Фурье………………. 35

7. Дифференциальные уравнения…………………………………………….. 41

8. Скалярные и векторные поля (1)..…………………………………………. 47

9. Скалярные и векторные поля (2)..…………………………………………. 55

10. Обработка данных…………………………………………………………... 63

 

 

Лекция №1.

Тригонометрические функции.

Цель: повторить школьный материал, вывести тригонометрические соотношения, показать причины применения комплексных чисел в физике.

Планируемые результаты: СК-1, ОПК-3, ОПК-4, ПК-11, ПК-13.

Содержание:

Организационный этап

– входной контроль: проверка посещаемости.

Введение

– структура темы

1) Определение тригонометрических соотношений с помощью окружности единичного радиуса.

2) Использование комплексных чисел для определения соотношений между тригонометрическими функциями.

3) Комплексные числа в физике.

4) Функции комплексного аргумента. Обратные тригонометрические функции.

– актуальность и значение изучаемого материала

Тригонометрические функции используются во всех разделах физики, комплексные числа упрощают работу с тригонометрическими функциями.

– основная идея лекции

Показать, что физику нужны тригонометрические функции, научить его использовать их.

– связь лекции с предыдущими и последующими занятиями

Лекция связана со всеми физико-математическими дисциплинами.

– основные определения темы

Тригонометрические и обратные тригонометрические функции, комплексные числа.

Основная часть

1) Определение тригонометрических соотношений с помощью окружности единичного радиуса.

Рассмотрим единичную окружность и две системы координат, начала которых совпадают с её центром.

1

2

Умножаем (1) на , (2) на и суммируем правые и левые части

.

Аналогично, умножив (1) на , (2) на и вычтя из (2) (1), получаем

.

Используя свойство четности косинуса и нечётности синуса

,

.

С помощью формул сложения углов находим формулы двойных углов

, ,

,

.

Далее формулы двойных углов позволяют определить выражения универсальной тригонометрической подстановки

,

.

Найдём формулы сложения и вычитания. Для этого используются полученные ранее формулы сложения и вычитания углов

и .

Суммируем данные выражения

. 3

Вводим новые переменные и , тогда и .

Подставляя новые переменные в (3) имеем

.

Дома:вывести самостоятельно

,

,

.

Дома:с помощью формул сложения углов найти

а) формулы приведения , , , ;

б) формулы тройных углов , .

2) Использование комплексных чисел для определения соотношений между тригонометрическими функциями.

Показательную и тригонометрическую функции можно разложить в степенной ряд

,

,

.

Если ввести величину , то , и т.д., поэтому

.

Отношение (4) называется формулой Эйлера.

В силу четности косинуса и нечётности синуса имеем

. 5

Сложив (4) и (5), находим .

Аналогично, вычтя из (4) (5), имеем .

Формулы сложения углов

Формулы сложения и вычитания

Дома: вывести формулы с помощью комплексных чисел

а) , , ;

б) , , .

3) Комплексные числа в физике.

Комплексные числа применяются во многих областях физики и математики.

Для лучшего понимания комплексных чисел я предлагаю вам изучить методы решения кубического уравнения. Физики, как правило, используют комплексные числа для упрощения операций, производимых с тригонометрическими функциями.

Например, нам надо сложить двадцать векторов одинаковой длины отстоящих друг от друга на угол .

Модули векторов обозначим . Первый вектор совпадает с осью 0X. Каждый последующий вектор отстоит на угол , поэтому их можно представить в комплексном пространстве в виде

, , …, .

Результирующий вектор

6

Выражение (6) можно проверить, поделив числитель на знаменатель. Далее произведём ряд преобразований

7

В (7) мы воспользовались уже известной формулой для синуса . Комплексный множитель в (7) определяет угол между результирующим вектором и действительной осью. После проделанных преобразований мы можем записать следующие параметры результирующего вектора , , .

4) Функции комплексного аргумента. Обратные тригонометрические функции.

Комплексным числом называется выражение вида , число называется действительной частью, – мнимой. Действительная часть числа обозначается , мнимая . Комплексное число можно изобразить точкой (или вектором) в прямоугольной системе координат, оси которой имеют одинаковый масштаб (рис). Полярные координаты () определяют модуль и аргумент комплексного числа. Аргумент определён неоднозначно, так как функция имеет бесконечное число значений, поэтому для аргумента можем записать

, .

Декартовые координаты связаны полярными и , откуда получаем тригонометрическую форму комплексного числа

.

Рассмотрим функцию комплексного аргумента , .

Натуральный логарифм комплексной переменной имеет множество значений.

, , .

Умножим правую и левую части уравнения на

.

Вводим новую переменную и решаем квадратное уравнение

.

Логарифмируя правую и левую части, получаем

, откуда

.

Дома вывести самостоятельно: , .

Соотношения между обратными тригонометрическими функциями.

1) и .

К формулам можно прийти логически, рассмотрев единичную окружность.

2) , , , . Откуда следует .

Аналогично , и .

3) Очевидно, для возможны аналогичные отношения

и

Заключение

– ответы на вопросы по лекции

Постарайтесь проговорить последовательность операций, которые использовались при выводе формул лекции.

– выводы по лекции

В ходе лекции были получены формулы, которые вам понадобятся при изучении физики.

– задание на самостоятельную работу и методические рекомендации по его выполнению

Задание на практическое занятие 1 и 2 будут даны в электронной форме. Материал, разобранный на данном занятии, будет закрепляться на 2-ом и 3-ем практических занятиях.

Если лекционный материал непонятен, пользуйтесь дополнительной литературой, обращайтесь за помощью к преподавателям кафедры.

Заключительный этап

Литература: – основная 1) Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: ООО “Издательство АСТ”, 2005.

Функции. Дифференциальное исчисление.

Цель: рассмотреть обратные функции и функции, заданные параметрически, дать понятие производной, получить формулы производных элементарных функций.

Планируемые результаты: СК-1, ОПК-3, ОПК-4, ПК-11, ПК-13.

Содержание:

Организационный этап

– входной контроль: проверка посещаемости.

Введение

– структура темы

1) Обратная функция.

2) Параметрическое задание линий и функций.

3) Производная. Таблица производных.

4) Производная степенной функции.

5) Производная показательной и логарифмической функций.

6) Производная тригонометрических функций.

– актуальность и значение изучаемого материала

Понятия обратной функции и функции, заданной параметрически, используются при описании физических процессов. Большинство законов физики даются в дифференциальной форме, многие физические величины вводятся, используя понятие производной.

– связь лекции с предыдущими и последующими занятиями

Лекция связана со всеми физико-математическими дисциплинами и со всеми занятиями данного предмета.

– основные определения темы

Функция, обратная функция, параметр, производная, дифференциал.

Основная часть

1) Обратная функция.

Если из соотношения вытекает соотношение , то функция называется обратной относительно функции .

Примеры. 1. Рассмотрим движение поезда. Функция определяет зависимость пути от времени. Данную зависимость использует машинист: он должен следовать расписанию, в определённый момент времени быть в некотором пункте A. Для пассажира более интересна обратная зависимость – в пункте A он будет в момент времени . 2. При градуировке приборов, например амперметра или вольтметра, используются зависимости или угла поворота стрелки измерительного прибора от протекающего тока или действующего напряжения. При измерении тока или напряжения обратные зависимости или .

Примеры обратных функций.

Здесь вопреки традиции сама функция обозначена , а аргумент .

У функции обратная двузначна (одному значению аргумента отвечают два значения функции), для тригонометрических функций обратные являются бесконечно многозначными. Как правило, обратные функции являются многозначными, исключение составляют монотонно возрастающие или убывающие функции. Для однозначного определения обратной функции необходимо рассматривать промежутки, где исходная монотонна.

Обозначение является обратной .

Дома. Найти обратную функцию: а) ; б) ; в) .

Чтобы упростить решение домашнего задания (пример б) выведем формулы для решения квадратного уравнения.

, , ,

, ,

.

Графики прямой и обратной функций связаны. Пусть мы имеем график функции , чтобы получить обратную функцию нужно ось 0Y сделать горизонтальной, а ось 0X вертикальной, то есть повернуть чертёж на 180° вокруг биссектрисы I и III координатных углов.

Дома. Построить графики взаимообратных функций: , , , , , , , , , , , , , .

2) Параметрическое задание линий и функций.

Рассмотрим две функции аргумента

, .

В этом случае одна из них является функцией другой, например , . Величина называется параметром, а задание функции, используя , параметрическим. Если в качестве функций и рассматриваются координаты некоторой материальной точки , то имеем параметрическое задание линии. В качестве параметра при этом используется время либо функция времени. В физике параметрическая запись применяется при задании траектории и или в полярных координатах и .

3) Производная. Таблица производных.

Источником дифференциального исчисления были два вопроса:

1) о нахождении касательной к произвольной линии

2) о нахождении скорости при произвольном законе движения.

Производной функции в некоторой точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении к нулю:

.

(читается: де-игрек по де-икс)

Производная обратной функции равна единице, делённой на производную исходной функции

.

Производная функции, заданной параметрически

.

4) Производная степенной функции.

Рассмотрим выражение для степени суммы.

,

,

.

Общая формула ,

где , , , .

Определим производную степенной функции, когда показатель степени натуральное число

,

где величина, имеющая высший порядок относительно .

Рассмотрим обратную функцию .

Производная исходной функции .

Пользуемся определением производной обратной функции

.

Переходим к привычной форме записи

.

В общем случае показатель степени является дробным, степенную функцию при этом можно представить как сложную

.

.

Случай, когда показатель степени отрицателен

Найдём производную функции .

.

Рассмотрим общий случай для отрицательного показателя степени, степенную функцию представим как сложную

.

.

Теперь можно сделать вывод, что формула справедлива при любом рациональном .

5) Производная показательной и логарифмической функций.

По определению .

Найдём производную функции .

Обратная функция натурального логарифма .

Производная исходной функции .

Пользуемся определением производной обратной функции .

Переходя к аргументу , имеем .

Если основание степени и .

,

, дифференцируем правую и левую части

,

.

Дома. Используя формулу нахождения производной обратной функции доказать .

6) Производная тригонометрических функций.

.

Обратная функция.

.

, .

.

Дома. Найти формулы для определения производных следующих функций , , , , , .

Заключение

– ответы на вопросы по лекции

Постарайтесь проговорить последовательность операций, которые использовались при выводе формул лекции.

– выводы по лекции

В ходе лекции были получены формулы, которые вам понадобятся при изучении физики.

– задание на самостоятельную работу и методические рекомендации по его выполнению

Задание на практические занятия 4 и 5 даны в электронной форме.

Материал, разобранный на данном занятии, будет закрепляться на 4-ом и 5-ом практических занятиях.

Если лекционный материал непонятен, пользуйтесь дополнительной литературой, обращайтесь за помощью к преподавателям кафедры.

Заключительный этап

Попросить студентов ответить на вопросы: Что непонятно в лекционном материале? Что наиболее интересно? Что было известно ранее из прочитанного материала? Что они находят наиболее полезным для себя?

Литература:

– основная

1) Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: ООО “Издательство АСТ”, 2005.

– дополнительная

1) Зельдович Я.Б., Яглом И.М. Высшая математика для начинающих физиков и техников. М.: Наука, 1982.

Учебно-материальное обеспечение:

Отсканированные в формате djvu книги основной и дополнительной литературы.

 

Лекция №3.

Криволинейное движение.

Цель: рассмотреть движение в общем виде с позиций кинематики.

Планируемые результаты: СК-1, ОПК-3, ОПК-4, ПК-11, ПК-13.

Содержание:

Организационный этап

– входной контроль: проверка посещаемости.

Введение

– структура темы

1) Случай движения по окружности

2) Применение формулы при криволинейном движении

(общий случай).

– актуальность и значение изучаемого материала

Рассматриваемая тема входит в программу общей физики, но ввиду сложности и малого времени, уделяемого на её изучение, недостаточно хорошо понимается студентами.

– основная идея лекции

Занятие позволяет студенту лучше понять механическое движение.

– связь лекции с предыдущими и последующими занятиями

Лекция связана с практическим занятием №6 и предыдущей лекцией №2.

– основные определения темы

Радиус-вектор, траектория, скорость, ускорение, тангенциальное и нормальное ускорения, касательная к кривой.

Основная часть

1) Случай движения по окружности

Рассмотрим материальную точку, движущуюся по окружности радиуса равноускоренно. Зависимость угла поворота и угловой скорости от времени

, , .

Пусть тело в некоторый момент времени находится в точке M, её положение определяется радиус-вектором .

Проекции радиус вектора на оси декартовой системы координат

, .

Найдём проекции скорости и ускорения

, ;

, .

Введём единичные вектора и (направлен к центру окружности, вдоль касательной). Тогда радиус-вектор, вектор скорости и ускорения можно представить

, где ,

, ,

.

Покажем, что введенные вектора и перпендикулярны.

.

Выделяются две составляющие вектора , называют тангенциальным ускорением, его направление совпадает с направлением скорости, – нормальное ускорение, перпендикулярно скорости и направлено в сторону вогнутости траектории.

Модуль вектора ускорения .

Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории, это также справедливо для проекций траектории и скорости на некоторую плоскость.

Уравнение касательной выводится, используя понятие производной

, ,

.

Дома. Повторить фрагменты лекции по общей физике: “Ускорение при криволинейном движении” и “Связь линейных и угловых величин при вращательном движении”.

2) Применение формулы при криволинейном движении

(общий случай).

При движении по окружности величина равнялась её радиусу, то есть была постоянной. В общем случае произвольной кривой траектории изменяется. Но на бесконечно малых участках траектории можно считать постоянным и применять выше рассмотренную формулу, определяющую . Величину называют радиусом кривизны кривой в некоторой точке.

Найдем формулу, определяющую . В случае круговой траектории

,

где – длина дуги MN, – угол поворота касательной.

В случае криволинейного движения величина определяет средний радиус кривизны кривой на дуге MN. Радиус кривизны в точке M определится как предел

.

Величину называют кривизной в точке M. Она определяет скорость поворота касательной при движении точки по кривой с единичной скоростью, то есть когда .

Формулу для определения радиуса кривизны выведем двумя способами.

1) Определим производную , используя вспомогательную переменную

. 1

. 2

По определению .

Дифференцируем правую и левую части

.

Поскольку , находим производную

. 3

Подставляя (2) и (3) в (1), имеем

.

2) Производная .

, откуда выражаем . 4

Длина дуги . 5

Подставляя (4) и (5) в (1), имеем .

Найдём координаты центра кривизны. Необходимо к координатам точки кривой прибавить проекции радиуса кривизны на соответствующие оси.

, ;

, ;

, .

Радиус кривизны линии, заданной параметрически.

Нам понадобится выражение первой и второй производной функции, заданной параметрически

, .

Подставляя данные выражения в формулы для радиуса и координат центра кривизны, находим

, , .

Выражение для радиуса кривизны в полярных координатах.

Используем выражение для радиуса кривизны кривой, заданной параметрически. В качестве параметра выступает полярный угол.

, ,

, ,

, .

После подстановки в выражение для радиуса кривизны имеем

.

Заключение

– ответы на вопросы по лекции

Постарайтесь проговорить последовательность операций, которые использовались при выводе формул лекции.

– выводы по лекции

В ходе лекции были получены формулы, которые вам понадобятся при изучении физики.

– задание на самостоятельную работу и методические рекомендации по его выполнению

Задание на практическое занятие 6 дано в электронной форме.

Если лекционный материал непонятен, пользуйтесь дополнительной литературой, обращайтесь за помощью к преподавателям кафедры.

Заключительный этап

Попросить студентов ответить на вопросы: Что непонятно в лекционном материале? Что наиболее интересно? Что было известно ранее из прочитанного материала? Что они находят наиболее полезным для себя?

Литература:

– основная

1) Сивухин Д.В. Общий курс физики: Учебное пособие для вузов. В 5 т. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

– дополнительная

1) Зельдович Я.Б., Яглом И.М. Высшая математика для начинающих физиков и техников. М.: Наука, 1982.

Учебно-материальное обеспечение:

Отсканированные в формате djvu книги основной и дополнительной литературы.

 

 

Лекция №4.

Интегральное исчисление.

Цель: научить использовать интегральное исчисление при решении физических задач.

Планируемые результаты: СК-1, ОПК-3, ОПК-4, ПК-11, ПК-13.

Содержание:

Организационный этап

– входной контроль: проверка посещаемости.

Введение

– структура темы

1) Неопределённый и определённый интеграл.

2) Вычисление длины пути (длины дуги).

3) Центр масс.

4) Центр масс искривлённой струны.

5) Центр масс пластинки произвольной формы.

– актуальность и значение изучаемого материала

Интегральное исчисление применяется во всех разделах физики.

– основная идея лекции

Связать интегральное исчисление с задачами, которые решает физика.

– связь лекции с предыдущими и последующими занятиями

Лекция связана со всеми физико-математическими дисциплинами и со всеми занятиями данного предмета.

– основные определения темы

Первообразная, неопределённый и определённый интеграл, центр масс.

Основная часть

1) Неопределённый и определённый интеграл.

Имеется два определения операции интегрирования: 1) операция обратная дифференцированию; 2) есть предел суммы .

Неопределённый интеграл.

Рассмотрим функции и .

Функция , удовлетворяющая условию , называется первообразной для функции .

, .

Равенство не изменится, если под знак дифференциала внести константу

.

Введём операцию обратную дифференцированию, тогда

. 1

Каждая функция имеет множество первообразных, совокупность всех первообразных для данной функции называют её неопределённым интегралом, операцию нахождения совокупности первообразных – интегрированием.

Определённый интеграл.

Рассмотрим выражение . Бесконечно малое приращение функции равно площади бесконечно тонкого прямоугольника под графиком . Очевидно, что конечное приращение при изменении аргумента от до можно представить, как сумму малых приращений

где – число интервалов, на которые разбит отрезок (,), – ширина интервала, , , .

Приближенное равенство будет тем точней, чем меньше и больше . При устремлении получаем

, ,

и выражение для конечного приращения

. 2

В выражении (2) значки заменим на более привычные . Если в (2) вместо рассматривать аргумент и , тогда

. 3

Сравнив выражения (1), (2) и (3) можно обнаружить сходство операций и . В настоящее время последнюю обозначают

.

Выражение – формула Ньютона-Лейбница, используется для вычисления определённого интеграла.

Примеры.

– определяет площадь под кривой;

– определяет проекцию перемещения тела на ось 0X;

– определяет заряд, протекающий через поперечное сечение провода;

– определяет работу гравитационной или кулоновской силы в случае центрально симметричного поля.

2) Вычисление длины пути (длины дуги).

С позиций физики

. 4

Длину пути или длину дуги можно вычислить с позиций геометрии

.

. 5

Формулы (4) и (5) определяют одну и туже величину. Для использования (4) кривая должна быть задана параметрически.

Нам известны следующие отношения

и .

Подставляем их в (5) получаем (4)

.

3) Центр масс.

Рассмотрим задачу. Система состоит из точечной массы и стержня с линейной плотностью . Найти центр масс системы.

Элементу длины стержня отвечает масса . Линейная плотность есть произведение объёмной плотности на площадь сечения .

По закону рычага элемент массы , находящийся на расстоянии справа от точки опоры, уравновешивается элементом массы , находящимся слева

, ,

, поскольку .

Найдём координату центра масс стержня. По определению

,

.

Если начало системы координат находится в центре масс, тогда и .

Покажем, что потенциальная энергия тела в поле силы тяжести равна потенциальной энергии точечной массы, равной массе стержня и сосредоточенной в центре тяжести тела.

,

.

4) Центр масс искривлённой струны.

– линейная плотность.

Масса малого участка нити длиной : .

Пусть и параметрическое уравнение линии.

Разобьем нить на систему точечных масс .

По определению координаты центра масс

и .

Переходя к пределу ,

, .

Запись означает, что интеграл распространён по дуге.

Если линия задана параметрически и , откуда

, .

Если линия AB задана явным уравнением и , поэтому

, .

5) Центр масс пластинки произвольной формы.

В этом случае необходимо вычислить двойные интегралы

,

.

– плотность пластинки, отнесённая к единице площади .

К формулам для вычисления центра масс можно прийти логически. Интеграл определяет линейную плотность, а величина центр масс бесконечно тонкой полосы (изображена на рисунке).

Если пластинка однородна , то из формул для координат центра масс

,

.

Заключение

– ответы на вопросы по лекции

Постарайтесь проговорить последовательность операций, которые использовались при выводе формул лекции.

– выводы по лекции

В ходе лекции были получены формулы, которые вам понадобятся при изучении физики.

– задание на самостоятельную работу и методические рекомендации по его выполнению

Задание на практические занятия 7, 8 и 9 даны в электронной форме.

Если лекционный материал непонятен, пользуйтесь дополнительной литературой, обращайтесь за помощью к преподавателям кафедры.

Заключительный этап

Попросить студентов ответить на вопросы: Что непонятно в лекционном материале? Что наиболее интересно? Что было известно ранее из прочитанного материала? Что они находят наиболее полезным для себя?

Литература:

– основная

1) Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: ООО “Издательство АСТ”, 2005.

2) Сивухин Д.В. Общий курс физики: Учебное пособие для вузов. В 5 т. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

– дополнительная

1) Зельдович Я.Б., Яглом И.М. Высшая математика для начинающих физиков и техников. М.: Наука, 1982.

Учебно-материальное обеспечение:

Отсканированные в формате djvu книги основной и дополнительной литературы.

Лекция №5.

Тензоры.

Цель: объяснить, что такое тензор и зачем он нужен физику.

Планируемые результаты: СК-1, ОПК-3, ОПК-4, ПК-11, ПК-13.

Содержание:

Организационный этап

– входной контроль: проверка посещаемости.

Введение

– структура темы

1) Момент инерции. Теорема Штейнера.

2) Тензор инерции относительно точки.

3) Тензоры в физике.

– актуальность и значение изучаемого материала

В неживой природе имеются физические объекты и явления, которые описываются с помощью тензоров. Необходимо показать учащимся, когда требуется обращаться к тензорному языку.

– основная идея лекции

Показать что использование тензоров очень удобно при решении определённых задач, объяснить особенности данных задач.

– связь лекции с предыдущими и последующими занятиями

Лекция связана с практическими занятиями по данной теме.

– основные определения темы

Момент инерции, тензор инерции, системы координат (криволинейные, ортогональные), метрическая матрица.

Основная часть

1) Момент инерции. Теорема Штейнера.

Найдём кинетическую энергию вращающегося тела.

Скорости различных участков тела различны, но тело можно разбить на малые элементы массами , скорости которых . Кинетическая энергия элемента тела , всего тела

.

– момент инерции.

Переходя к пределу .

Найдём момент инерции относительно двух параллельных осей. Оси перпендикулярны плоскости рисунка и проходят через точки О и А.

,

.

Умножим правую и левую части на и проинтегрируем

.

По определению положение центра масс , это выражение эквивалентно , и .

Также используем определение момента инерции, в итоге имеем

.

Если ось 0 проходит через центр масс тела , получаем теорему Штейнера

.

2) Тензор инерции относительно точки.

Вычислим момент инерции относительно произвольной оси ОА, ось проходит через начало координат.

. 1

Единичный вектор вдоль оси ОА . 2

Проекция вектора на ось ОА . 3

Возведём (3) в квадрат

4

Также мы используем следующие отношения

, 5

. 6

Выражение (6) справедливо, так как вектор единичный.

После подстановки (4) и (5) в (1)

.

Используем выражение (6)

,

. 7

Выражение (7) можно записать иначе

,

где , , , , , – компоненты тензора инерции тела относительно точки О.

Тензор можно представить в виде матрицы (в матричной форме)

, или в более компактной форме .

Матрица является симметричной, так как , , .

Пример 1. Найти тензор инерции тонкого кольца радиуса относительно точки О, находящейся в центре кольца.

Выберем систему координат, начало которой в центре кольца, а плоскость кольца совпадает с плоскостью XY.

Найдём компоненты тензора. В нашем случае для всех элементов кольца, поэтому компоненты тензора инерции

, , , , , .

Проекции точек кольца на оси координат , , масса элемента кольца , – линейная плотность.

Найдём компоненты тензора

,

,

,

.

Тензор инерции относительно точки О

.

Все недиагональные элементы выпали, так как ось симметрии совпадает с одной из координатных осей.

Зная тензор инерции тела относительно точки О, можно найти момент инерции тела относительно любой оси, проходящей через точку О.

Например, если компоненты единичного вектора вдоль оси вращения , , , то

.

Если , , , то .

Это известные формулы для случаев, когда ось вращения проходит через центр кольца: 1) перпендикулярно плоскости кольца; 2) лежит в плоскости кольца.

Если ось вращения лежит в плоскости YZ и наклонена под углом к оси 0Y, тогда , , и момент инерции

.

Пример 2. Найти тензор инерции тела, представляющего четверть кольца, относительно точки проходящей через центр кольца.

Найдём компоненты тензора

,

, ,

Тензор инерции

.

Минимален момент инерции будет, когда компоненты единичного вектора вдоль оси вращения , , .

.

Максимальный вклад недиагональный элемент тензора даёт при , , .

.

Если четверть кольца расположить симметрично относительно одной из координатных осей (X или Y), то все недиагональные элементы тензора будут равны нулю.

Для всякого твёрдого тела, где бы ни было выбрано начало координат, существуют три взаимно перпендикулярные оси, для которых недиагональные элементы тензора инерции обращаются в нуль.

3) Тензоры в физике.

Предположим, мы имеем две векторные физические величины, направленные произвольно.

Если изменять величину будет изменяться величина и направление , то есть между и имеется функциональная зависимость, выражающая некоторый физический закон. Встаёт вопрос: В какой форме записывать данный закон? Это более сложная форма зависимости, чем у законов, изучаемых в школе, например направления векторов совпадают.

Из математики известно, что связь между двумя векторными величинами и определяется системой

,

,

.

Вектор однозначно определяет , если известна матрица

.

Эту матрицу называют тензором второго ранга. Физические законы, описывающие зависимости между двумя непараллельными векторами существуют.

Пример 1. Тензор электропроводности.

Рассмотрим анизотропную среду, удельная электрическая проводимость в трёх направлениях различна , , . Мы создаём электрическое поле и определяем плотность тока. Закон Ома в дифференциальной форме . Мы можем найти проекции плотности тока в трёх направлениях , , . Зная проекции, находим плотность тока . Вектора и имеют различные направления.

Пример 2. Тензор инерции.

Вам известно основное уравнение динамики вращательного движения . Предположим, что тело может произвольно вращаться вокруг некоторой точки (или более общий случай тело не закреплено). Если приложить вращательный момент относительно этой точки, то угловое ускорение не будет совпадать по направлению с . Причина – ассиметричное распределение вещества относительно точки. Формула , когда скаляр, справедлива только, если тело вращается вокруг оси, направление которой не может изменяться.

Тензоры позволяют описывать свойства пространства и свойства среды.

Пример. Метрика пространства. Метрический тензор.

Пусть мы имеем некоторую криволинейную систему координат . Радиус-вектор, проведённый из начала координат в некоторую точку, является функцией криволинейных координат . Касательные к осям криволинейных координат в точках (), () и () параллельны векторам основного базиса , и , они образуют систему координат , оси которой прямолинейны и в общем случае неортогональны. Ортогональные системы координат имеют взаимно перпендикулярные векторы основного базиса в любой точке пространства.

Дифференциал радиус вектора

,

Поэтому расстояние между двумя бесконечно близкими точками

,

где , и т.д.

Данное выражение определяет минимальное расстояние между двумя близкими точками в любом направлении. При определении метрических коэффициентов необходимо помнить, что , и неперпендикулярны, поэтому , , .

Метрические коэффициенты образуют метрическую матрицу .

Если система координат является ортогональной, то , , , поэтому метрическая матрица является диагональной

.

Найдём метрические коэффициенты для декартовой и цилиндрической систем координат, квадрат расстояния между двумя близкими точками при этом

и .

В декартовой , , , при .

В цилиндрической , , , при .

От понятия криволинейных координат, можно прейти к понятию криволинейного пространства, если предположить, что метрическая матрица определяет свойства пространства.

Заключение

– ответы на вопросы по лекции

Постарайтесь проговорить последовательность операций, которые использовались при выводе формул лекции.

– выводы по лекции

В ходе лекции были получены формулы, которые вам понадобятся при изучении физики.

– задание на самостоятельную работу и методические рекомендации по его выполнению

Задание на практические занятия 10 и 11 даны в электронной форме.

Если лекционный материал непонятен, пользуйтесь дополнительной литературой, обращайтесь за помощью к преподавателям кафедры.

Заключительный этап

Литература: – основная 1) Сивухин Д.В. Общий курс физики: Учебное пособие для вузов. В 5 т. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

Разложение функций. Ряды Тейлора, Маклорена и Фурье.

Цель: научить определять значения функций и раскладывать функции в степенные и тригонометрические ряды.

Планируемые результаты: СК-1, ОПК-3, ПК-11.

Содержание:

Организационный этап

– входной контроль: проверка посещаемости, необходимо спросить студентов знают ли они, как ЭВМ определяют значения функций, например , , и тд.

Введение

– структура темы

1) Ряды Тейлора и Маклорена.

2) Разложение функции в ряд Фурье (спектральный анализ функции).

– актуальность и значение изучаемого материала

В процессе изучения явлений природы, приходится сталкиваться со сложными функциональными зависимостями, в отдельных случаях их можно заменить более простыми для изучения рядами, подобными рассматриваемым на лекции, также материал лекции помогает лучше понять особенности функций.

– основная идея лекции

Показать студентам, что функции можно раскладывать в ряд. Обратить их внимание на то, что не все ряды являются сходящимися.

– связь лекции с предыдущими и последующими занятиями

Лекция связана с практическими занятиями по данной теме.

– основные определения темы

Функция, дифференциал, ряд степенной и тригонометрический, ряд сходящийся и расходящийся, ортогональные функции, чётные и нечётные функции.

Основная часть

1) Ряды Тейлора и Маклорена.

Дифференциал функции

. 1

Для конечного приращения функции имеем приближенное равенство

. 2

Обозначим приращение аргумента , тогда выражение (2)

.

Значение функции в точке

. 3

Выражение (3) тем точней, чем меньше , его можно использовать для приближенных вычислений значения функции, например вычислим значения , , , .

  Точное значение По ф-ле (3)
0.507538 0.507557
0.515038 0.515115
0.529919 0.53023
0.544639 0.545345

Применение (3) даёт

.

Формулу (3) можно уточнить, для этого проинтегрируем (1)

, ,

. 4

Применим формулу (3) к производной функции

. 5

Подставим полученное выражение в (4)

. 6

Формула (6) также является приближенной, её можно уточнить. Запишем выражение аналогичное (4) для производной функции

. 7

Применим формулу (3) к второй производной

. 8

Подставим (8) в (7) и интегрируем

. 9

Подстановка (9) в (4) даёт

,

. 10

Формула (10) является приближенной и требует дальнейшего уточнения. Продолжая данный процесс можно получить формулу для разложения функции

. 11

Рассмотрим более строгий вывод выражения (11). Запишем выражение (4) в виде

. 12

Преобразуем дифференциал под знаком интеграла (верхний предел интегрирования, в данном случае является константой) и произведём интегрирование по частям.

,

. 13

Аналогичные операции произведём с интегралом выражения (13)

,

. 14

С учетом последнего равенства для (13) имеем

. 15

Производя интегрирование по частям раз, получим выражение

16

Последнее слагаемое в (16) называют остаточным членом, он определяет погрешность вычислений значения функции. Лагранж для остаточного члена получил , . Выражение (16) называют формулой Тейлора.

Если в (16) принять , то получим формулу (ряд) Маклорена.

. 17

2) Разложение функции в ряд Фурье (спектральный анализ функции).

Пусть дана произвольная функция . Примем, что данную функцию на интервале можно разложить в тригонометрический ряд вида

18

Наша задача найти коэффициенты ряда , , , , , … Для решения данной задачи используется свойство ортогональности тригонометрических функций. Функции и называются ортогональными в промежутке (a,b), если интеграл произведения , взятый от a до b, равен нулю

.

В нашем случае для натуральных и выполняются отношения

, при . 19

, 20

. 21

Выражения (19) и (20) вытекают из формул сложения и вычитания тригонометрических функций

,

,

.

Например

, так как .

Для вычисления интегралов (21) используются формулы понижения степени

, .

Теперь мы можем найти выражения для коэффициентов формулы (2). Умножим правую и левую части (18) на и проинтегрируем от до , тогда в силу ортогональности все члены справа кроме одного обратятся в нули, и мы имеем

. 22

Аналогично, умножая (18) на

. 23

Выражения (22) и (23) дают формулы для коэффициентов (18)

, . 24

Для определения интегрируем (18) от до (все слагаемые справа кроме одного выпадут)

.

Выражение (18) упрощается для чётных () и нечётных () функций. В случае чётной функции все коэффициенты , нечётной и . Доказательство.

Чётная .

Нечётная .

Функция раскладывается в тригонометрический ряд на интервале , используя новую переменную, его можно расширить, после того как разложение будет получено, вернуться к первоначальному аргументу.

Заключение

– ответы на вопросы по лекции

Постарайтесь проговорить последовательность операций, которые использовались при выводе формул лекции.

– выводы по лекции

В ходе лекции были получены формулы необходимые для определения значений функций, изучения их особенностей.

– задание на самостоятельную работу и методические рекомендации по его выполнению

Вывод формулы Тейлора (двумя способами), получение коэффициентов ряда Фурье. Если лекционный материал непонятен, использовать дополнительную литературу, или обратиться за помощью к преподавателям кафедры.

Заключительный этап

Попросить студентов ответить на вопросы: Что непонятно в лекционном материале? Что наиболее интересно? Что было известно ранее из прочитанного материала? Что они находят наиболее полезным для себя?

Литература:

– основная

1) Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: ООО “Издательство АСТ”, 2005.

2) Riley K.F., Hobson M.P., Bence S.J. Mathematical Methods for Physics and Engineering. 3rd ed. Cambridge University Press, 2006.

– дополнительная

1) Зельдович Я.Б., Яглом И.М. Высшая математика для начинающих физиков и техников. М.: Наука, 1982.

Учебно-материальное обеспечение:

Отсканированные в формате djvu книги основной и дополнительной литературы.

 

Лекция №7.

Дифференциальные уравнения.

Цель: научить составлять и решать дифференциальные уравнения.

Планируемые результаты: СК-1, ОПК-3, ОПК-4, ПК-11, ПК-13.

Содержание:

Организационный этап

– входной контроль: проверка посещаемости.

Введение

– структура темы

1) Решение дифференциальных уравнений (случай разделяющихся переменных, введение новой переменной).

2) Решение дифференциальных уравнений гармонических и затухающих колебаний.

3) Метод вариации постоянных.

4) Решение дифференциальных уравнений, используя степенные ряды.

– актуальность и значение изучаемого материала

Для решения многих физических задач необходимо уметь составлять и интегрировать дифференциальные уравнения.

– основная идея лекции

Показать, что многие физические процессы описываются дифференциальными уравнениями

– связь лекции с предыдущими и последующими занятиями

Лекция связана с практическими занятиями по данной теме.

– основные определения темы

Дифференциальные уравнения, обыкновенные, с частными производными, линейные, однородные, неоднородные, порядок дифференциального уравнения.

Основная часть

1) Решение дифференциальных уравнений (случай разделяющихся переменных, введение новой переменной).

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка . В простейшем случае можно сразу разделить переменные, и для решения необходимо

1) Представить .

2) Произвести разделение переменных, т.е. привести интегральное уравнение к виду .

3) Произвести интегрирование. Для нахождения общего решения , откуда, если возможно, выражаем явно . Для нахождения частного подставляем начальные условия , в общее решение и находим значение постоянной . Частное решение также можно найти по формуле .

Если произвести разделение переменных не удаётся, то применяются дополнительные операции. Вводятся новые переменные. Например, найти общее решение дифференциального уравнения .

Вводим новую переменную .

Дифференцируем правую и левую по части и выражаем производную

, .

В итоге наше дифференциальное уравнение приводим к виду

.

Теперь мы можем произвести разделение переменных, проинтегрировать и найти зависимость

, , , , производим потенцирование , .

Получаем ответ .

Проверяем наш результат подстановкой в исходное уравнение

является решением дифференциального уравнения .

2) Решение дифференциальных уравнений гармонических и затухающих колебаний.

При решении дифференциальных уравнений второго порядка в отдельных случаях с помощью замены переменных можно понизить его порядок.

Рассмотрим уравнение задачи 3.

. 2

Преобразуем вторую производную по времени , после подстановки имеем дифференциальное уравнение первого порядка

.

В качестве переменных теперь выступают и , то есть ищется зависимость .

Уравнение задачи 4 3

Его можно решить несколькими способами.

1) Вводим новую переменную

.

После подстановки в дифференциальное уравнение имеем

.

Мы получили уравнение аналогичное (2) при условии . Только в этом случае наблюдаются колебания.

2) Полагают, что уравнение (3) имеет решение вида

.

Подставляем решение в уравнение (3), в итоге получаем характеристическое уравнение .

Нас интересует случай, когда . Введём обозначение , тогда . Характеристическое уравнение имеет два комплексных корня .

В итоге имеем два линейно независимых решения , их линейная комбинация образует общее решение

.

Представим , и используем формулы Эйлера , . После подстановки в общее решение получим

.

Физические задачи накладывают условия на значения констант: и , .

.

3) Метод вариации постоянных.

Применим к линейным уравнениям любого порядка. Линейное уравнение порядка имеет вид

.

Уравнение без правой части называют однородным, с правой частью неоднородным.

Основная идея метода: 1) в общем решении однородного уравнения заменить произвольные постоянные неизвестными функциями; 2) наложить на функции дополнительные условия, упрощающие вычисления.

Мы будем использовать данный метод для решения дифференциального уравнения второго порядка

. 4

Пусть общее решение уравнения без правой части

. 5

Дифференцируем решение, считая постоянные и неизвестными функциями

.

Накладываем дополнительное условие на производные и

. 6

В итоге имеем значение первой производной

. 7

Дифференцируем ещё раз

. 8

Подставляем (5), (7) и (8) в (4), все члены содержащие и взаимно уничтожатся, так как и решения дифференциального уравнения (4). В итоге мы получим ещё одно условие

.

4) Решение дифференциальных уравнений, используя степенные ряды.

Решим уравнение

.

Пусть решением уравнения является ряд вида

.

Найдём первую и вторую производные ряда

,

.

Подставляем ряды в уравнение и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях нулю, в итоге имеем

, , , , …

, , , , …

Подставляем значения коэффициентов в исходный ряд

,

,

.

Заключение

– ответы на вопросы по лекции

Постарайтесь проговорить последовательность операций, которые используются при решении дифференциальных уравнений.

– выводы по лекции

В ходе лекции были рассмотрены методы решения дифференциальных уравнений, которые вам понадобятся при изучении физики.

– задание на самостоятельную работу и методические рекомендации по его выполнению

Задание на практические занятия 14 и 15 даны в электронной форме.

Если лекционный материал непонятен, пользуйтесь дополнительной литературой, обращайтесь за помощью к преподавателям кафедры.

Заключительный этап

Литература: – основная 1) Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: ООО “Издательство АСТ”, 2005.

Скалярные и векторные поля.

Цель: дать понятия скалярного и векторного поля, ввести операции, используемые при работе с ними, повторить школьную программу по теме: “Векторы, операции над векторами”.

Планируемые результаты: СК-1, ОПК-3, ОПК-4, ПК-11, ПК-13.

Содержание:

Организационный этап

– входной контроль: проверка посещаемости.

Введение

– структура темы

1) Скалярные и векторные величины. Операции над векторами.

2) Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент скалярного поля.

3) Вектор-функция. Векторные поля. Векторные линии.

– актуальность и значение изучаемого материала

Векторные величины используются во всех разделах физики, скалярные и векторные поля являются предметом электродинамики.

– основная идея лекции

Изложить математический аппарат, используемый в электродинамике, чтобы студентам в дальнейшем было легче усвоить данную дисциплину.

– связь лекции с предыдущими и последующими занятиями

Лекция связана с практическими занятиями по данной теме.

– основные определения темы

Скаляр, вектор, скалярное и векторное поле, производная по направлению, градиент, векторные линии.

 

Основная часть

1) Скалярные и векторные величины. Операции над векторами.

Скалярная величина или скаляр – это величина, не обладающая направлением.

Векторная величина или вектор – это величина, обладающая направлением. Для изображения векторов применяют направленные отрезки. Величину вектора (длину отрезка) называют модулем вектора. В физике векторные величины (как и скалярные) обладают размерностью.

В физике при описании процессов используют системы отсчёта, понятие вектора тоже необходимо связать с системами координат.

Проекции вектора на оси координат образуют прямоугольные координаты вектора. Чтобы задать вектор достаточно знать его координаты или модуль и направление. Направление задаётся единичным вектором. Например, для радиус-вектора

или ,

где , , – координаты вектора, , , – единичные векторы (орты) прямоугольной системы координат, , , – углы между вектором и осями координат, , , – координаты единичного вектора, определяющего направление, .

Операции над векторами.

Сложение и вычитание.

 

Используя теорему косинусов, можно найти величину результирующего вектора .

Данную формулу легко можно получить.

. Возводим правую и левую части в квадрат, в итоге имеем

.

При сложении векторов их координаты складываются

, , .

Вычитание сводится к операции сложения.

Например, перемещение тела определяется как разность двух радиус-векторов , поэтому при вычитании векторов их координаты вычитаются .

Выражение для можно преобразовать к виду , что позволяет построить результирующий вектор.

Скалярное произведение векторов и есть скалярная величина, определяемая выражением

.

Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию другого, взятую на направление первого.

Результат скалярного произведения можно найти, зная координаты векторов

, , .

Пример из физики – выражение для элементарной работы

.

Перед элементарной работой не был поставлен знак полного дифференциала, хотя она является бесконечно малой величиной, так как выражения или не являются полными дифференциалами какой-либо функции. В качестве примера рассмотрим функцию двух переменных , её полный дифференциал , мы можем сказать, что выражение является полным дифференциалом функции . Переходя к работе: нет такой функции, полный дифференциал которой определялся бы выражениями или . Поэтому перед элементарной работой поставлен знак .

Работа, совершаемая на конечном участке пути, равна сумме элементарных работ

.

Векторное произведение векторов и есть векторная величина , модуль которой определяется выражением , а направление по правилу буравчика. Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат и , для определения направления необходимо поворачивать буравчик от к .

 

 

Модуль вектора определяет площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

С помощью координат векторов (, ) результат их векторного произведения определяется выражением

.

Векторное произведение в физике

1. Связь линейной и угловой скорости .

2. Момент импульса материальной точки относительно точки O .

3. Момент силы относительно точки O .

4. Сила Ампера и сила Лоренца , .

2) Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент скалярного поля.

Скалярные поля.

Скалярное поле – область пространства, каждая точка которой характеризуется некоторым значением физической величины.

Примеры скалярных полей – поле электрического потенциала, поле температур вокруг нагретого тела, поле давлений и др.

Для описания скалярного поля необходимо знать скалярную функцию, которая определяет значения физической величины в каждой точке

.

Производная по направлению.

Возьмём две точки и . Обозначим расстояние между ними . Изменение скалярного поля в направлении

.

Величина определяет среднюю скорость изменения скалярного поля по данному направлению. При переходе к пределу найдём производную функции в точке по направлению

.

Направление определим вектором .

Величина является функцией трёх аргументов, используем формулу для производной сложной функции

,

где , и – направляющие косинусы вектора. Данная формула будет более понятна – данные величины характеризуют направление вектора.

Для определения значения производной в точке по направлению будем использовать выражение

.

Обозначение показывает, что частные производные берутся в точке .

Градиент скалярного поля.

Введем векторный дифференциальный оператор .

Произведение оператора на скалярную функцию даёт операцию градиент

.

Связь между градиентом и производной по направлению

.

Из выражения следует, что модуль градиента равен максимальному значению производной по направлению в данной точке.

3) Вектор-функция. Векторные поля. Векторные линии.

Вектор-функция.

Вектор-функция – зависимость вектора от некоторого параметра

.

Из зависимости следует, что координаты вектора также являются функциями : , , . Вектор можно представить

.

Если функции непрерывны, то конец вектора описывает в пространстве кривую, её называют годографом вектор-функции . Если в качестве вектора рассматривать радиус-вектор, то годографом будет траектория.

Производная вектор-функции по скалярному аргументу определяется отношением

.

Интегрирование вектор-функции производится посредством разложения на проекции

.

Пример из физики, если известна вектор-функция , то её интегрирование даст вектор перемещения тела.

Векторные поля.

В случае векторного поля каждая точка пространства характеризуется некоторым вектором, поле при этом задаётся вектор-функцией

.

Примеры в физике – поле скоростей жидкости или газа, электрическое и магнитное поля с силовыми характеристиками (напряженность) и (магнитная индукция).

Векторные линии.

В физике при рассмотрении электрических и магнитных полей их называют силовыми линиями. Векторные линии – это линии, касательные к которым в любой точке определяют направление вектора. Дифференциальные уравнения векторных линий имеют вид

.

К данным уравнениям можно прийти логически. Пусть задано векторное поле . Предположим, что кривая, касательные к которой в любой её точке совпадают с направлением векторного поля, известна. Зададим её в параметрической форме с помощью радиус-вектора

.

Бесконечно малое приращение радиус-вектора при этом производится вдоль кривой

.

Очевидно, что направление совпадает с направлением вектора в любой точке кривой. Поэтому должны выполняться равенства

, , .

Откуда получаем искомое выражение

или .

Заключение

– ответы на вопросы по лекции

Постарайтесь проговорить последовательность операций, которые использовались при выводе формул лекции.

– выводы по лекции

В ходе лекции были получены формулы, которые вам понадобятся при изучении физики.

– задание на самостоятельную работу и методические рекомендации по его выполнению

Задание на практические занятия 16 и 17 даны в электронной форме.

Если лекционный материал непонятен, пользуйтесь дополнительной литературой, обращайтесь за помощью к преподавателям кафедры.

Заключительный этап

Литература: – основная 1) Краснов М.Л., Киселёв А.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ: Задачи и примеры с подробными решениями: Учебное…

Скалярные и векторные поля.

Цель: дать понятие векторного поля, ввести характеризующие его величины и операции, используемые при работе с ним.

Планируемые результаты: СК-1, ОПК-3, ОПК-4, ПК-11, ПК-13.

Содержание:

Организационный этап

– входной контроль: проверка посещаемости.

Введение

– структура темы

1) Поток вектора, методы его определения.

2) Поток вектора через замкнутую поверхность. Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция векторного поля.

3) Линейный интеграл векторного поля. Циркуляция векторного поля.

4) Ротор векторного поля. Теорема Стокса.

– актуальность и значение изучаемого материала

Понятие векторного поля необходимо для описания движения сплошной среды и распространения электромагнитного поля.

– основная идея лекции

Изложить математический аппарат, используемый в электродинамике, чтобы студентам в дальнейшем было легче усвоить данную дисциплину.

– связь лекции с предыдущими и последующими занятиями

Лекция связана с практическими занятиями по данной теме.

– основные определения темы

Поток вектора, дивергенция, циркуляция, ротор.

Основная часть

1) Поток вектора, методы его определения.

Пусть векторное поле задано функцией

.

Потоком векторного поля через поверхность называют интеграл по поверхности от проекции вектора на нормаль к этой поверхности

.

.

Перемножим вектора и , в итоге для потока вектора получим

,

.

Вычисление потока вектора.

Способ 1. Метод проектирования на одну из координатных плоскостей.

Пусть одну из переменных уравнения поверхности можно выразить явно, например , тогда из интеграла для потока мы можем исключить одну из переменных. Геометрический смысл данного преобразования сводится к проектированию на плоскость . Аналогично, если , то , если , то .

Рассмотрим, поток через бесконечно малую площадку

.

Проекция на есть , – один из направляющих косинусов вектора нормали, угол между и осью .

Для бесконечно малого потока

.

Выражениеозначает, что заменено на .

Для определения потока через конечную поверхность необходимо просуммировать потоки через бесконечно малые поверхности.

.

Вектор нормали определяется из условия, что в данном направлении изменение функции максимально по модулю (данное положение справедливо и для поверхности заданной неявно). Поэтому для определения вектора нормали используем свойство градиента

.

Способ 2. Метод проектирования на все три координатные плоскости.

Метод можно применить, если все три аргумента определяющие форму поверхности выражаются явно в следующем виде

, , .

Ранее было получено выражение для потока

,

.

Знаки перед интегралами совпадают со знаками направляющих косинусов вектора нормали .

2) Поток вектора через замкнутую поверхность. Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция векторного поля.

Пусть векторное поле задано функцией

.

Рассмотрим изменение поля вдоль оси , при этом вектор будет зависеть только от координаты и его можно рассматривать как функцию . Очевидно, что для двух точек поля вдоль справедливо отношение

.

Умножим правую и левую части на бесконечно малую площадку (единичный орт является вектором нормали) и учтём, что элементарный объём

.

Слева получен интеграл по объёму цилиндра площадью основания , справа поток вектора через основания цилиндра. Если распространить интеграл на весь объём тела и под понимать проекции элементов поверхности тела на плоскость (), то мы получим формулу для определения проекции потока на плоскость

.

Знак означает, что интеграл берётся по замкнутой поверхности. Аналогичные выражения мы можем получить для проекций на две другие плоскости

и .

Складывая эти отношения, найдём

.

Это формула Гаусса-Остроградского.

– дивергенция векторного поля.

Предположим, что объём бесконечно мал, тогда величина внутри его является постоянной, и из формулы Гаусса-Остроградского

.

Дивергенция характеризует поток через замкнутую поверхность охватывающую бесконечно малый объём. Область при этом стягивается в точку .

Операцию дивергенция можно также ввести, используя векторный дифференциальный оператор , дивергенция есть скалярное произведение на вектор

.

Если во всех точках некоторой области G дивергенция векторного поля равна нулю, то поле является соленоидальным, оно не имеет источников и стоков, векторные линии могут быть либо замкнутыми кривыми, либо иметь концы на границе поля.

3) Линейный интеграл векторного поля. Циркуляция векторного поля.

Линейный интеграл векторного поля вдоль ориентированной кривой есть интеграл вида

,

– единичный вектор, направленный вдоль касательной, – бесконечно малый элемент длины дуги.

Если кривая задана функцией изменения радиус-вектора , то , также учтём, что векторное поле задано функцией , откуда для линейного интеграла имеем

.

Чтобы задать кривую в пространстве необходимо наложить условия на проекции , и . Кривую можно задать двумя способами: 1) параметрически – проекции радиус-вектора являются функциями некоторого параметра , , ; 2) в явном виде – одна из проекций рассматривается в качестве аргумента, две другие проекции как функции первой, например , , .

1) Если проекции радиус-вектора являются функциями параметра (, , ), то линейный интеграл

.

2) Если проекции радиус-вектора являются функциями одной из координат, например (, , ), то линейный интеграл

.

Циркуляция векторного поля – линейный интеграл вдоль замкнутой кривой

.

Все формулы для линейного интеграла справедливы и для циркуляции.

4) Ротор векторного поля. Теорема Стокса.

Операцию ротор введём посредством оператора .

Векторное произведение оператора на вектор даёт операцию ротор .

Если в некоторой области G , то поле называют безвихревым.

Теорема Стокса связывает циркуляцию вектора по замкнутому контуру и поток ротора вектора через любую поверхность, натянутую на контур

.

Выведем данное выражение.

Рассмотрим некоторую поверхность, пусть её пересекает плоскость , результат пересечения – кривая, определим изменение проекции векторного поля вдоль бесконечно малого участка AB кривой

, так как вдоль кривой.

Возьмём бесконечно малое приращение вдоль , в итоге мы получим бесконечно малую проекцию циркуляции вдоль

.

Очевидно, если просуммировать все бесконечно малые площадки, то мы получим проекцию циркуляции векторного поля на ось

.

Бесконечно малое приращение не зависит от , поэтому интеграл

.

Также необходимо учесть, что интеграл берётся по кривой ограничивающей поверхность, данная кривая замкнута, поэтому

.

Второй интеграл берётся по поверхности, конечный результат мы должны представить в векторной форме, поэтому необходимо согласовать знаки. Рассмотрим бесконечно маленькую площадку. Пусть положительное направление обхода будет от A к B (по часовой), а направление вектора нормали площадки будем определять по правилу буравчика. Рассмотрим проекцию на плоскость . Если , то при обходе контура по часовой (показано на рисунке) величина . Проекция вектора нормали на ось при этом отрицательна, поэтому

.

Повторяя аналогичные рассуждения для проекции на плоскость , получим

.

Окончательно имеем

.

Для двух других проекций векторного поля можно получить подобные выражения

,

.

Суммируя три последних выражения, получим

,

,

.

Если площадка бесконечно мала, то ротор в её пределах можно считать постоянным и вынести его за знак интеграла, тогда из теоремы Стокса следует выражение для проекции ротора

Ротор характеризует циркуляцию вектора вдоль бесконечно малого контура.

Заключение

– ответы на вопросы по лекции

Постарайтесь проговорить последовательность операций, которые использовались при выводе формул лекции.

– выводы по лекции

В ходе лекции были получены формулы, которые вам понадобятся при изучении физики.

– задание на самостоятельную работу и методические рекомендации по его выполнению

Задание на практические занятия 18 и 19 даны в электронной форме.

Если лекционный материал непонятен, пользуйтесь дополнительной литературой, обращайтесь за помощью к преподавателям кафедры.

Заключительный этап

Литература: – основная 1) Краснов М.Л., Киселёв А.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ: Задачи и примеры с подробными решениями: Учебное…

Обработка данных.

Цель: Рассмотреть методы, с помощью которых изучаются функциональные связи между физическими величинами.

Планируемые результаты: СК-1, СК-4, ОПК-3, ОПК-4, ПК-11, ПК-13.

Содержание:

Организационный этап

– входной контроль: проверка посещаемости.

Введение

– структура темы

1) Выявление связи между двумя случайными величинами.

2) Метод наименьших квадратов.

3) Метод дифференциальных поправок.

– актуальность и значение изучаемого материала

Рассматриваются методы обработки экспериментальных данных.

– основная идея лекции

Корреляционный и регрессионный анализ применяют в биологии, экономике, социологии. Необходимо показать студентам, что данный математический аппарат иногда можно использовать и в физических исследованиях. Метод наименьших квадратов является основным при расчёте различных математических моделей с учётом экспериментальных данных. На занятии не даётся статистическое обоснование метода, основная задача – научить студентов применять его.

– связь лекции с предыдущими и последующими занятиями

Лекция связана с практическими занятиями по данной теме.

– основные определения темы

Корреляция, регрессия, коэффициент корреляции, аппроксимация.

Основная часть

1) Выявление связи между двумя случайными величинами.

В физике при описании различных процессов пользуются моделями. Поэтому многие формулы лишь приближенно описывают реальные объекты и процессы. На практике многие зависимости приходится аппроксимировать степенными многочленами, не используя при этом теоретические модели, которые, возможно, могли бы их объяснить. С такого рода зависимостями вы уже встречались на данном предмете: зависимость объёма воды от температуры, зависимость сопротивления от температуры термистора платинового термометра.

Не всегда данные зависимости являются столь явными, так как изменения величин часто оказываются очень незначительны, и случайные ошибки измерений приводят к искажению результатов. При таких условиях встаёт вопрос: как определить существует зависимость между физическими величинами или нет, и насколько достоверен получаемый результат.

Мы будем использовать математический аппарат, широко применяемый в биометрии. Предположим нам необходимо доказать связь межу двумя физическими величинами . Измеряемые физические величины являются случайными величинами в силу ошибок измерений, потому каждому значению соответствует множество значений из интервала , где – максимальная погрешность, определяемая случайными факторами и погрешностями приборов, измеряемых и . Статистическую зависимость, при которой одному значению ставится в соответствие множество значений , называют корреляцией. Приведём пример корреляционной зависимости из биологии – зависимость между ростом и весом человека, известно, что в среднем при увеличении роста растёт масса. Рост и вес рассматриваются как случайные числа. Зависимость среднего значения одной случайной величины от другой называют регрессией .

Для обнаружения связи между случайными величинами можно использовать коэффициент корреляции Пирсона

, 1

где , – средние арифметические, , – среднеквадратичные отклонения.

Для расчётов удобна следующая форма записи коэффициента корреляции:

. 2

Дома: Используя (1), вывести (2).

При вычислении предполагают, что связь между изучаемыми величинами линейная. Мы будем изучать нелинейные зависимости, но они хорошо аппроксимируются линейными на определённых интервалах изменения изучаемых величин.

Коэффициент корреляции изменяется в интервале , если , то с ростом среднее значение уменьшается, при возрастает, если связь между величинами линейная, при линейная корреляция отсутствует, но возможна нелинейная по закону косинуса, синуса или более сложная.

Для доказательства корреляционной связи необходимо также произвести проверку значимости коэффициента корреляции, который является случайной величиной, поэтому возможны отклонения вычисленного значения от истинного (в первоисточниках Фишер обозначает ). Необходимо доказать, что коэффициент корреляции по модулю больше 0, а лучше 0.7, откуда следует наличие тесной связи. С ростом распределение становится все более ассиметричным. Фишер нашел величину – функцию , распределение которой близко к нормальному и её среднеквадратическую ошибку

, 3

. 4

Наша задача доказать, что значение не входит в доверительный интервал (; ), где t-критерий Стьюдента

. 5

Гипотеза о том, что вычисленные значения коэффициентов корреляции больше 0.7 принимается, если значение интеграла после подстановки в него t-критерия (5) превышает уровень надёжности 0.95

,

где – распределение Стьюдента, – количество степеней свободы, – гамма-функция Эйлера.

2) Метод наименьших квадратов.

Пусть мы имеем некоторую зависимость между двумя физическими величинами . В данное выражение входят некоторые коэффициенты , , и т.д., например, в случае степенного ряда , то есть имеются некоторые параметры, которые характеризуют зависимость между и . Наша задача определить эти параметры. Зависимости между величинами могут быть сложнее, чем степенные ряды, в общем виде представим их в виде . В процессе экспериментов мы раз изменяем величину и измеряем , то есть получаем набор данных . Если их подставить в исследуемую зависимость, получаем систему уравнений вида

Равенства в данных уравнениях приближенные в силу погрешности измерений. Для решения подобных систем уравнений используют метод наименьших квадратов. Пусть ошибки уравнений определяются малыми величинами , тогда

.

Задача метода наименьших квадратов – найти параметры , , и т.д. при которых среднеквадратичная ошибка системы уравнений минимальна, задача сводится к нахождению минимумов функции

.

В точке минимума частные производные равны нулю

, , …. 6

Это система уравнений для определения искомых параметров. В случае использования зависимости , система (6) имеет вид

. 7

Рассмотренная схема применяется, если с помощью зависимости каждый из искомых параметров, можно линейно выразить через другие. В противном случае система уравнений (6) является нелинейной и коэффициенты , , и т.д. из неё не выражаются.

3) Метод дифференциальных поправок.

В случае нелинейной связи между параметрами, например , используется метод дифференциальных поправок.

Дифференциал функции нескольких переменных

.

От дифференциала переходим к конечным приращениям

, 8

где разность между измеренным и вычисленным значением величины .

Полученное уравнение является линейным относительно , , и т.д., они определяют поправки к искомым параметрам на каждом шаге алгоритма. Далее подставляем в (8) измерения и получаем систему приближённых уравнений вида

. 9

Полученная система решается методом наименьших квадратов.

Дома: получить систему уравнений аналогичную (7) для решения методом наименьших квадратов системы уравнений (9).

Рассмотрим алгоритм метода дифференциальных поправок:

1) Задаются первые приближения , , и т.д. Если сходимость алгоритма хорошая их можно задать интуитивно, понимая особенности используемой модели, в противном случае требуется разработка дополнительных методов.

2) Используя первые приближения и измерения находим , , , и т.д.

3) Определяем коэффициенты линейной системы уравнений, получающейся в результате применения метода наименьших квадратов.

4) Решаем систему линейных уравнений. В результате получаем поправки к параметрам , , и т.д.

5) Используя поправки, уточняем значения параметров , , и т.д.

Уточнённые значения используются в качестве первых приближений на следующем шаге алгоритма, процесс уточнения параметров ведётся, пока поправки не станут меньше некоторой малой величины, она задаётся вычислителем.

Заключение

– ответы на вопросы по лекции

Постарайтесь проговорить последовательность операций, которые использовались при выводе формул лекции.

– выводы по лекции

В ходе лекции были получены формулы, которые вам понадобятся при изучении физики.

– задание на самостоятельную работу и методические рекомендации по его выполнению

Дано в процессе чтения лекции.

Если лекционный материал непонятен, пользуйтесь дополнительной литературой, обращайтесь за помощью к преподавателям кафедры.

Заключительный этап

Литература: – основная 1) Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: «Высшая школа», 2002.

– Конец работы –

Используемые теги: Методическая, Разработка, проведению, лекционных, занятий, дисциплине, Математические, Методы, решения, физических, задач, Лекции, Тригонометрические, Функции0.254

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Методическая разработка к проведению лекционных занятий по дисциплине Математические методы решения физических задач Лекции 1. Тригонометрические функции 3

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА для проведения практического занятия по дисциплине Основы информатики
по г Санкт Петербургу и Ленинградской области... УТВЕРЖДАЮ Начальник цикла криминалистики...

Лекции 1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И КАТЕГОРИЯ ИНФОРМАТИКИ. 2 ЛЕКЦИИ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. 12 ЛЕКЦИЯ 3. АППАРАТНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭВМ. 20 ЛЕКЦИЯ 4. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КОМПЬЮТЕРОВ.. 49 Широко распространён также англоязычный вар
gl ОГЛАВЛЕНИЕ... Лекции ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И КАТЕГОРИЯ ИНФОРМАТИКИ... ЛЕКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ...

Методы решения жестких краевых задач, включая новые методы и программы на С++ для реализации приведенных методов
Стр. 8. Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С.К.Годунова.Стр. 9. Замена метода численного интегрирования Рунге-Кутта в методе прогонки… Стр. 10. Метод половины констант. Стр. 11. Применяемые формулы… Стр. 62. 18. Вычисление вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений. Стр. 19. Авторство.…

Методическая разработка для проведения группового занятия по дисциплине: «инженерное обеспечение СБД ВВ»
На сайте allrefs.net читайте: "Методическая разработка для проведения группового занятия по дисциплине: «инженерное обеспечение СБД ВВ»"

Методические указания к проведению лекционного занятия № 4 Тема 2.5 Вентиляция
Раздел ИНЖЕНЕРНО ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБОРУДОВАНИЕ ГОСТИНИЧНЫХ КОМПЛЕКСОВ... План... Тема Вентиляция Тема Кондиционирование воздуха...

Лекция 1. Предмет, задачи и методы педагогической психологии. Предмет и задачи педагогической психологии. Психология и педагогика. История развития педагогической психологии в России и за рубежом
План... Предмет и задачи педагогической психологии Психология и педагогика... История развития педагогической психологии в России и за рубежом...

Лекция: Уровни абстракции ОС. ОС с архитектурой микроядра. Виртуальные машины. Цели проектирования и разработки ОС. Генерация ОС В лекции рассматриваются следующие вопросы: методы проектирования и реализации ОС: уровни абстракции ОС; ОС с архитектурой мик
В лекции рассматриваются следующие вопросы методы проектирования и реализации... Содержание Введение Уровни абстракции ОС Операционные системы с микроядром Виртуальные машины другой распространенный подход к...

Конспект проведения лекционного занятия по дисциплине Дошкольная педагогика
ФГОБУ ВПО Шадринский государственный педагогический институт... Педагогичекий факультет... Кафедра теории и методики дошкольного образования...

Учебная программа курса. 4. Лекция 1. История психологии как наука. 5. Лекция 2. Античная философия и психология. 6. Лекция 3. Развитие психологии в Средневековый период. 19. Лекция 16. Тревога и защита
Введение... Учебная программа курса... Рабочая программа курса Лекция История психологии как наука...

Лекция №1. Задачи начертательной геометрии. Методы проецирования. Комплексный чертеж точки. 1.1. Основные задачи начертательной геометрии. Условные обозначения
План... Основные задачи начертательной геометрии Условные обозначения... Методы проецирования Проецирование точки на две взаимно перпендикулярные плоскости...

0.083
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам