Геометрические методы в теории сигналов
В теории множеств имеется понятие действительного векторного про- странства, под которым понимается непустое множество V , для элементов ко- торого определено сложение и умножение на действительные числа. Элементы этого множества называются векторами, если выполняются следующие усло- вия:
1. Если
a∈V
и b∈V , то
a + b∈V .
2. Для любых
ность.
a,b,c∈V
справедливо
a+ (b + c) = (a + b) + c
– ассоциатив-
3. Для любых
a,b∈V
справедливо
a+ b = b + a
– коммутативность.
4. Для любых
a∈V
и действительного числа α справедливо α a∈V .
Такими действительными векторными пространствами являются вектор-
ное пространство конечных последовательностей
(x1,x2,…, xn )
n
действитель-
ных чисел, векторное пространство многочленов ∑ai xi , векторное простран-
i =0
ство функций, непрерывных на замкнутом отрезке, векторное пространство
геометрических векторов на плоскости.
Если в действительное векторное пространство введено понятие метрики с
помощью скалярного произведения векторов
(X ,Y), то такое пространство на-
зывается евклидовым векторным пространством. В этом пространстве можно определить:
длину (норму, модуль) вектора
X =
(X,Y)
( X , Y ) ;
угол между векторами
cosϕ =
X
, 0 ≤ ϕ ≤ π .
Y
Тогда скалярное произведение двух векторов X и Y равно
(X ,Y) = X
Y cosϕ ,
а квадрат модуля суммы двух векторов равен
X + Y 2 =
X 2 + Y
2 + 2(X,Y). (2.1)
Возьмем множество Vs , элементами которого являются совокупности сиг-
налов
s1 (t ),s2 (t ),…,sn (t ), рассматриваемые в интервале
t 2
(t1 , t2 )
и обладающие
свойством интегрируемости в этом интервале вида
|
∫ sk (t ) 2dt < ∞. Каждому
t1
сигналу сопоставим число
sk (t ) 2
= ∫s 2 (t )dt , которое по существу равно энер-
t1
гии сигнала. Величину
sk (t )
назовем нормой сигнала. Определим далее рас-
стояние между сигналами
si (t ) и
sk (t )
как норму разности сигналов:
t 2
ρ[si (t ),sk (t )]=
si (t ) − sk (t ) =
∫[si (t ) − sk (t )]2dt .
t1
Полагая в данном выражении
sk (t) = 0 , получим выражение для нормы
сигнала. Это значит, что норма сигнала – это по существу длина вектора, соот- ветствующего сигналу, а квадрат длины – это энергия сигнала. Следовательно, концы векторов, соответствующих сигналам с одинаковой энергией, лежат на
поверхности n-мерной сферы радиусом ρ = Э .
Пользуясь приведенными выше рассуждениями, можно убедиться, что
множество сигналов Vs
эквивалентно n -мерному евклидову пространству и с
функциями
s1 (t ),s2 (t ),…,sn (t )
можно обращаться, как с точками или вектора-
ми n -мерного евклидова пространства.
Определим энергию суммы двух сигналов
si (t ) и
sk (t ) :
∞ ∞ ∞ ∞
Э = [s(t)+ s
(t)]2dt =
s2 (t)dt +
s2 (t)dt + 2
s (t)s
(t)dt = Э + Э
+2Э
∫ i k
∫ i ∫ k
∫ i k i k ik ,
−∞ −∞ −∞ −∞
где
Эi , Эk
– энергия сигналов
si (t ) и
sk (t ), а
Эik
– взаимная энергия двух сиг-
налов.
Сравнивая полученное выражение с формулой (2.1), можно записать вы- ражение для скалярного произведения двух сигналов и косинуса угла между ними:
(s1(t),s2(t))=
∞
∫s1(t)s2(t)dt;
cosϕ =
(s1
(t ), s2
(t ))
.
−∞ s1 (t )
s2 (t )
Если угол
ϕ =π
2 , то
cosϕ
= 0. Это значит, что скалярное произведение
сигналов с таким углом между ними, а значит, и их взаимная энергия равны 0.
Такие сигналы называются ортогональными.
Таким образом, геометрические методы в теории сигналов основаны на представлении сигнала как вектора в пространстве векторов, удовлетворяющих определенным условиям (линейности, ортогональности). При этом возможно использование понятия линейного пространства действительных или ком- плексных сигналов со свойствами линейного пространства векторов.
Причиной объединения сигналов в множество, образующее пространство сигналов, является наличие общих свойств, удовлетворяющих принципам ли- нейности. При этом имеется возможность одни элементы множества выразить через другие. Исследование свойств сигналов в рамках векторного представле- ния оказывается полезным для синтеза устройств, удовлетворяющих принципу суперпозиции.
Для передачи сигналов по каналам связи с помехами, а также для разреше- ния сигналов основное значение имеет не положение их в пространстве сигна- лов, а расстояние между ними. Для этого можно воспользоваться свойствами скалярного произведения векторов.
(0 <α <1)
Дано:
исходного сигнала (рис. 3.3).
s(t ) ↔ S ( jω) .
Определить
S м ( jω)
такое, что
S м( jω) =
s(αt ) ↔ S м ( jω) .
∞
∫s(αt)e−jω t dt .
−∞
Замена переменных:
αt = x ;
t = x ;
α
dt =
1 dx .
α
|
Тогда
Sм( jω) = 1
∞
|
|
|
1S⎛ j ω= ⎞ .
Окончательно запишем
α − ∞
s(αt) ↔ 1
α
S ⎛ j ω ⎞.
⎝ ⎠
⎜ ⎟
α ⎝ ⎠
Вывод. При сжатии (расширении) сигнала во времени в определенное число раз во столько же раз расширяется (сжимается) его спектр по оси частот при пропорциональном уменьшении (увеличении) амплитуд его составляющих.
г. Спектр производной
ds(t )
dt
Дано:
s(t ) ↔ S ( jω) .
Определить
S п ( jω)
такое, что
ds(t ) ↔ S п( jω) .
dt
Обратное преобразование Фурье
s(t) = 1
2π
∞
∫S( jω)e
jω t
dω .
−∞
Возьмем производную от левой и правой частей этого равенства:
∞
ds(t ) = 1
dt 2π
∫ jωS ( jω)e
−∞
jω t
dω .
Сравнивая полученное выражение с обратным преобразованием Фурье,
можно сделать вывод, что
S п ( jω) =
jωS ( jω) .
Окончательно запишем
ds(t ) ↔
dt
jωS ( jω) .
Вывод. Спектр производной сигнала равен спектру исходного сигнала, ум-
ноженному на
jω . При этом амплитудный спектр изменяется пропорционально
изменению частоты, а к фазовой характеристике исходного сигнала добавляется
постоянная составляющая, равная π / 2
при ω > 0 и равная
−π / 2
при ω < 0 .
t
д. Спектр интеграла ∫s(t)dt
−∞
Дано:
s(t ) ↔ S ( jω) .
t
Определить
Sи ( jω)
такое, что
∫s(t)dt ↔ Sи (jω).
−∞
рье:
Возьмем интеграл от левой и правой частей обратного преобразования Фу-
t t ⎡ 1 ∞
jωt ⎤ 1 ∞
⎡ t jωt ⎤
∫s(t )dt =
−∞
∫ ⎢
−∞ ⎢⎣2π
t
∫S( jω)e
−∞
dω⎥dt =
⎥⎦ 2π
|
∫ S( jω)⎢ ∫e
−∞ ⎢⎣−∞
dt ⎥dω ,
⎥⎦
∫s(t )dt = ∫
−∞ − ∞
1 S ( jω )e
jω
jω t
dω.
Сравнивая полученное выражение с обратным преобразованием Фурье,
можно сделать вывод, что
Sи (jω) =
t
1 S( jω).
jω
Окончательно запишем
∫s(t )dt ↔
−∞
1 S( jω).
jω
Вывод. Спектр сигнала, равного интегралу от исходного сигнала, равен
спектру исходного сигнала, деленному на
jω . При этом амплитудный спектр
изменяется обратно пропорционально изменению частоты, а к фазовой характе-
ристике исходного сигнала добавляется постоянная составляющая, равная
π / 2
при ω < 0
и равная
−π / 2
при ω > 0.
е. Спектр произведения двух сигналов
Дано:
s1 (t ) ↔ S1 (jω),
s2 (t ) ↔ S2 (jω).
Определить
Sпр ( jω)
такое, что
s1(t)s2(t) ↔ Sпр ( jω).
∞ ∞ ⎡ ∞ ⎤
Sпр ( jω) =
∫ s1(t )s2(t )e − jωt dt = ∫ ⎢ 1
∫S1( jΩ)e jΩt dΩ⎥s2(t )e − jωt dt .
−∞ − ∞
2π −∞
∞ ⎡ ∞ ⎤
S пр ( jω) = 1
∫ S1 ( jΩ)⎢
∫s2 (t )e −(ω −Ω)t dt ⎥dΩ .
2π −∞ − ∞
Интеграл в квадратных скобках – это спектральная плотность
S 2 [ j(ω −Ω)]
сигнала
s2 (t ) .
Следовательно,
∞
Sпр
( jω) = 1
2π
∫S1 ( jΩ)S2
−∞
[ j(ω −Ω)]
dΩ = 1
2π
S1 ( jω)⊗ S2
( jω).
Окончательно запишем
s1(t )s2(t ) ↔ 2π
S1( jω) ⊗ S 2( jω) .
Вывод. Спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров, ум-
ноженной на коэффициент 1/ 2π .
Аналогично можно показать, что
s1(t) ⊗ s2(t) ↔ S1( jω)S2( jω),
т.е. произведению двух спектров
S1 ( jω) и
S 2 ( jω)
соответствует сигнал, обра-
зованный сверткой двух таких сигналов, что
s1 (t ) ↔ S1 ( jω) ,
s2 (t ) ↔ S 2 ( jω) .
Следствия из полученных результатов.
1. Пусть ω = 0 . Тогда
∞ ∞
S (0) =
|
(t)dt = 1
S ( jΩ)S
(− jΩ)dΩ = Э
пр ∫ 1 2
−∞
π −ω
1 2 12 , (3.14)
где
Э12
– взаимная энергия двух сигналов.
2. Если в выражении (3.14) положить
ство Парсеваля
s1(t) = s2 (t) = s(t), то получим равен-
Э = 1
2π
∞
|
−∞
)2 dω
Т.е. величина
S( jω
)2 может рассматриваться как плотность распределе-
ния энергии сигнала по частотам.
ж. Взаимная заменяемость ω и t в преобразованиях Фурье
(свойство дуальности)
1. Сигналу
s(t)
соответствует спектральная плотность
S ( jω) , причем
s(t ) = 1
2π
∞
∫S ( jω)e
−∞
jω t
dω .
Выполним взаимную замену переменных ω и t . Получаем
|
∫ S ( jt )e jω t dt = 1
∞
∫S (− jt )e − jω t dt .
2π
−∞
Получено выражение для спектра
s(ω)
2π −∞
функции
1 S(− jt ) .
2π
Наличие мнимой единицы j в обозначении аргумента имеет только симво- лический смысл. Поэтому в функции, описывающей сигнал, можно убрать j, а в функции, описывающей спектр, поставить. Тогда можно записать окончатель- ный результат:
если
s(t ) ↔ S ( jω) , то
1 S (−t ) ↔ s( jω) . (3.15)
2π
2. Спектральной плотности
S ( jω)
соответствует сигнал
s(t ) , причем
S ( jω) =
∞
∫s(t )e − jω t dt .
−∞
Выполним взаимную замену переменных ω и t . Получаем
|
∫s(ω)e − jω t dω = 1
∞
∫2πs(−ω)e jω t dω .
−∞
Получено выражение для сигнала
чательно можно записать:
2π −∞
S ( jt ) , имеющего спектр
2π s(−ω) . Окон-
если
s(t ) ↔ S ( jω) , то
S (t ) ↔ 2π
s(−jω) . (3.16)
Физический смысл формул (3.15) и (3.16): если сигналу
s(t )
соответствует
амплитудный спектр
S (ω) , то сигналу, имеющему форму такую же, как форма
амплитудного спектра
S (ω) , соответствует спектр, имеющий форму сиг-
нала
s(t ) .
Если сигнал четный, т.е.
s(t) = s(−t), то спектральная плотность также чет-
ная и вещественная. В этом случае результаты (3.15) и (3.16) можно переписать следующим образом:
если
s(t ) ↔ S ( jω) , то
S (t ) ↔ 2π
s( jω) .
Таким образом, переменные ω и t в преобразованиях Фурье взаимно заме-
няемы.
Полученные результаты поясняются рис. 3.4.
Рис. 3.4. Взаимозаменяемость переменных ω и t в преобразованиях Фурье
з. Смещение спектра сигнала
Произведение двух сигналов
s1(t )
и s2(t) = cos(ω0t + ϕ)
образует гармо-
нический сигнал
s(t) = s1(t)cos(ω0t + ϕ), в котором
s1(t)
при соблюдении не-
которых условий (п. 4.5) может быть огибающей. Так, если
s1(t )
– импульсный
сигнал (видеоимпульс), то
s(t)
– это радиоимпульс с несущей частотой ω0.
Определим спектральную плотность сигнала
s(t) :
S( jω) =
∞ ∞
|
s (t)cos(ω t +ϕ)e− jω tdt =
−∞ −∞
∞ ∞
= 1 ∫s1(t)e j(ω 0 t +ϕ )e− jω t dt + 1
∫s1(t)e− j(ω 0 t +ϕ )e− jω t dt =
2 − ∞
∞
2 − ∞
∞
= 1 e jϕ
∫s1(t)e−j(ω−ω0 )tdt + 1 e− jϕ
∫s1(t)e− j(ω +ω 0 )t dt.
2 − ∞
2 − ∞
Таким образом, спектральная плотность сигнала
s(t )
равна
S( jω) = 1 e jϕ S
[j(ω −ω
)]+ 1 e− jϕ S
[j(ω +ω
)].
2 1 0 2 1 0
Вывод. При умножении сигнала на гармоническую функцию образуется
сигнал, спектр которого представляет собой преобразованный спектр сигнала
s1(t ) . Суть преобразования заключается в переносе спектра на нием вдвое его величины.
±ω0
с уменьше-
Рассмотренные свойства преобразования Фурье значительно облегчают вычисление спектров различных сигналов.