Определение спектров некоторых сигналов
3.4.1. Спектр колоколообразного (гауссова) импульса
Сигнал, описываемый функцией вида
s(t ) = 1 e −π(t τ )2 , представляет со-
τ
бой колоколообразный (гауссов) импульс, совпадающий по форме с графиком нормального закона распределения вероятностей (рис. 3.5,а). Некоторые харак-
теристики сигнала (площадь под графиком сигнала, значение параметра τ) рас-
смотрены ранее (п. 2.2.3). Убедимся в том, что амплитудный спектр этого сиг-
нала по форме совпадает с самим сигналом.
б а
Рис. 3.5. Колоколообразный (гауссов) импульс (а) и его спектр (б)
Спектральную плотность сигнала будем определять, вычисляя прямое пре-
образование Фурье:
⎛ t ⎞2
∞ ω 1 ∞
−π⎜ ⎟
S ( jω) =
∫ s(t )e − j
−∞
t dt = ∫e
−∞
⎝τ ⎠
e − jω t dt .
Применим формулу Эйлера:
|
⎛ t ⎞2
∞ −π⎜ ⎟
∞ −π⎜ ⎟
S ( jω) = 1 ∫e
⎝τ ⎠
cosωt dt − j 1 ∫e
⎝τ ⎠
sin ωt dt .
τ −∞
τ −∞
Второй интеграл полученного выражения равен 0 как интеграл в симмет- ричных пределах от нечетной функции. Для вычисления первого интеграла воспользуемся справочником по математике [1]. В таблице неопределенных ин- тегралов справочника приведена формула
∞ 2 2
∫e−a x
cos bx dx =
π e−b2
2a
4a 2
при
a > 0 .
Применительно к рассматриваемой задаче
a = π ;
τ
b = ω. Следовательно,
2∞ −π(t τ )2 2
S(ω) = ∫e cosωt dt =
πτ −
e
ω2τ 2
4π
ω2τ 2
−
= e 4π .
τ 0 τ 2 π
ω2τ 2 ⎛ ⎞ 2
Обозначим
Ω = 2π . Тогда −
τ 4π
= −π ⎜ω ⎟
⎝ Ω ⎠
, что позволяет записать
S (ω ) = e −π(ω
Ω )2.
Таким образом, колоколообразный импульс и его спектр описываются по
существу одинаковыми функциями (отличаются только масштабом и, разуме-
ется, аргументами). Спектр сигнала изображен на рис. 3.5,б.
Полоса спектра на уровне
e −(π
4) от максимального значения равна
⎛ ⎞ 2
Ω 2π π 2π
−π⎜ω1 ⎟
⎝ Ω ⎠
= −π ,
ω1 =
= = ,
2 2τ τ
∆ω = 2ω1 = τ
= Ω .
По значению ∆ω
можно оценить эффективную полосу частот, занимае-
мую спектром сигнала. Полученное соотношение позволяет сделать вывод, что
чем меньше параметр τ колоколообразного сигнала, тем шире полоса частот,
занимаемая его спектром.
3.4.2. Спектральная плотность -функции
Спектральную плотность -функции определим с помощью прямого пре-
образования Фурье, используя ее селектирующее свойство:
∞
S( jω) = ∫
−∞
s(t)e−jωt dt =
∞
∫δ(t)e− jωt dt = e jω0 =1.
−∞
Таким образом, -функция имеет равномерный и сплошной амплитудный спектр, равный единице на всех частотах. Вещественность спектральной плот- ности обусловливает отсутствие фазового спектра (рис. 3.6,а).
Обратное преобразование Фурье от спектра -функции даст следующие формулы для ее представления:
δ(t)=1
2π
∞
∫e jωt dω ,
−∞
δ(t)=1
2π
∞
∫e− jωt dω .
−∞
Учитывая взаимозаменяемость частоты и времени в преобразовании Фу-
рье, можно записать:
δ(ω)=1
2π
∞
∫e jωt dt ,
−∞
δ(ω)=1
2π
∞
∫e− jωt dt .
−∞
Сдвиг δ -функции вдоль временной оси на интервал t0
нию спектра. Он будет равен
приведет к измене-
S( jω) =
∞
∫δ(t − t0)e− jωt dt = e−iωt0 .
−∞
При сдвиге δ -функции амплитудный спектр не изменяется. Появляется
фазовый спектр в виде линейной зависимости фазы от частоты (рис. 3.6,б).
а б
Рис. 3.6. Амплитудный (а) и фазовый (б) спектры δ -функции
3.4.3. Спектр функции единичного скачка
Определение спектра функции единичного скачка путем непосредственно- го вычисления преобразования Фурье сопровождается затруднениями, связан- ными с тем, что эта функция не является абсолютно интегрируемой. Поэтому пользуются косвенным методом, предусматривающим предельный переход к данной функции от другой функции, спектр которой определяется без затруд- нений.
Функцию единичного скачка можно получить из экспоненциального им-
пульса путем предельного перехода, т.е.
lim e−α t
при
t ≥ 0
σ(t) = ⎨α →0
0 при
t < 0
Следовательно, спектральную характеристику функции единичного скачка можно определить, выполнив предельный переход от спектра экспоненциаль-
ного импульса при α → 0. Определим спектр экспоненциального импульса:
∞
Sэ( jω) = ∫e−αt e− jωt dt = −
Тогда искомый спектр равен
α + jω
e−(α+ jω)t
∞
= 1 .
α + jω
S( jω) =
lim S
( jω) =
lim
α + j
lim
−ω .
α →0 э
α →0 α2 +ω2
α →0 α2 +ω2
При
α = 0
первое слагаемое в правой части этой формулы равно нулю на
всех частотах, кроме
ω = 0. На частоте
ω = 0
это слагаемое обращается в бес-
конечность. Площадь под графиком функции
α
α2 +ω2
равна
∞
∫ 2
−∞ α
α
+ω2
∞
dω = 2α ∫ 2
0α
+ω2
dω = 2απ
2α
= π .
Таким образом, пределом первого слагаемого при α → 0
является взвешен-
ная δ -функция, т.е. πδ(ω). Пределом второго слагаемого – величина 1 ( jω). В
результате можно записать выражение для спектральной плотности функции
единичного скачка:
S ( jω) = πδ(ω) +1 ( jω) .
Графики амплитудного и фазового спектров приведены на рис. 3.7.
Рис. 3.7. Амплитудный и фазовый спектры функции единичного скачка
3.4.4. Спектр постоянного во времени сигнала
|
годаря дуальности преобразования Фурье можно ожидать, что спектр постоян-
ного во времени сигнала (константы) будет иметь вид δ -функции.
Пусть
s(t ) = A . Спектр этого сигнала равен
S( jω) =
∫ Ae−jωt dt = 2πA 1
− ∞ 2π
∞
∫e− jωt dt = 2πAδ(ω).
−∞
Предположение подтвердилось (рис. 3.8,а). Здесь хорошо прослеживается обратная пропорциональность между длительностью сигнала и шириной его спектра: бесконечно протяженный сигнал имеет бесконечно узкий спектр.
3.4.5. Спектр комплексной экспоненты
Рассмотрим комплексный сигнал вида ла равен
s(t ) = Ee jω0t . Спектр такого сигна-
S( jω) =
∞
∫Ee jω0t e− jω t dt = E
−∞
∞
∫e− j(ω−ω0 )t dt = 2πEδ(ω −ω0 ).
−∞
Спектр комплексного сигнала представляет собой одиночную взвешенную
δ -функцию (рис. 3.8,б). Сигнал не является вещественным, поэтому амплитуд-
ный спектр теряет свойство четности.
а б
Рис. 3.8. Амплитудные спектры постоянного во времени сигнала (а)
и комплексной экспоненты (б)
Заметим, что модель комплексного сигнала является удобным средством анализа модулированных сигналов, особенно при сложных видах модуляции, предусматривающих одновременное изменение амплитуды и фазы. Такая мо- дель сигнала анализируется в следующем разделе 4.
3.4.6. Спектр гармонического сигнала
Определим спектральную плотность гармонического сигнала
|
S( jω) =
∞
∫ Ecos(ω
−∞
0t +ϕ
∞
)e− jωtdt = E
∫[ej(ω0t+ϕ) + e− j(ω0t+ϕ)]e− jωtdt =
−∞
∞
= E e jϕ
∫e− j(ω−ω0 )t dt + E e− jϕ
∫e− j(ω +ω 0 )t dt.
2 − ∞
Окончательно
2 − ∞
S( jω) = Aπe jϕδ(ω −ω0 )+ Aπe − jϕδ(ω +ω0 ).
Спектральная плотность гармонического сигнала представляет собой пару
взвешенных δ -функций, расположенных на частотах
±ω0 . Веса δ -функций
отражают комплексную амплитуду гармонического сигнала.
3.4.7. Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса
Спектральную плотность прямоугольного видеоимпульса (рис. 3.9) опре-
делим двумя способами:
1) непосредственным вычислением прямого преобразования Фурье;
2) использованием свойств преобразования Фурье.
Первый способ.
Вычисляем прямое преобразование Фурье, учитывая ограниченную дли-
тельность сигнала и постоянство амплитуды в пределах длительности:
S( jω) =
τи 2
∫
τи 2
Ee− jωtdt = E e− jωt
= E e
jωτи
2 − e
− jωτи 2
,
−τ и 2
− jω
−τ и 2 jω
S(ω) = Eτи
sin(ωτи 2).
ωτи 2
Рассматривался четный сигнал, поэтому его спектральная плотность со-
держит только действительную часть (см. рис. 3.9,б).
Амплитудный спектр представляет собой функцию типа
sin x
x. Он имеет
лепестковый характер, причем ширина лепестков равна
2π τ и , т.е. обратно
пропорциональна длительности импульса. Нули спектра определяются из урав-
нения sin (ωτи
2) = 0:
ωτи
2 = ±kπ ,
k =1, 2, 3,…,
ω = ±k 2π .
k τи
Значение спектральной плотности импульса при
ω = 0
равно произведе-
нию
Eτи , т.е.
S (0)
равно площади импульса.
При увеличении длительности импульса ширина лепестков спектра
уменьшается, при этом увеличивается значение
S(0). При уменьшении дли-
тельности импульса ширина лепестков увеличивается, значение
2π
S (0)
уменьша-
ется. При τи → 0
точки спектра ωk
= ±k
τи
удаляются в бесконечность и бес-
конечно малая спектральная плотность становится равномерной в бесконечной
полосе частот. При τи → ∞
точки спектра ωk
приближаются к нулю и беско-
нечно большая спектральная плотность приобретает вид δ -функции (с полосой
частот, равной нулю).
Фазовый спектр (см. рис. 3.9,б) принимает лишь два значения: 0 и π в за-
висимости от знака функции
sin x
x. Значения фазы π и −π
неразличимы,
разные знаки для фазового спектра при ω > 0
и ω < 0
использованы лишь с це-
лью представления его в виде нечетной функции.
а б
Рис. 3.9. Прямоугольный импульс и его производная (а),
спектр прямоугольного импульса (б)
При сдвиге импульса по оси времени на величину
∆t = ±t0
спектральная
плотность в соответствии со свойствами преобразования Фурье приобретает вид
sin(ωτ 2)
sin(ωτ 2)
S(ω) = Eτи и e jω ∆t
= Eτи
и e± jω t0 .
ωτи 2
ωτи 2
Как видно из этого выражения, амплитудный спектр не изменяется, а фа-
зовый спектр свидетельствует о линейной зависимости фазы от частоты со
скачками на π в точках ωk
(штриховая линия на рис. 3.9,б).
Второй способ.
Определяем сигнал
s1 (t ) , равный производной от рассматриваемого пря-
моугольного видеоимпульса, т.е.
ds(t )
s1(t ) = dt . Этот сигнал представляет собой
две взвешенные δ -функции (см. рис.3.9,а). Спектральная плотность сигнала
s1 (t )
будет равна сумме спектральных плотностей δ -функций, а именно:
∞
S ( jω ) = E
δ⎛t + τи ⎞
∞
− jω t dt − E
δ⎛t − τи ⎞
− jωtdt
1 ∫ ⎜ ⎟e
−∞ ⎝ 2 ⎠
∫ ⎜ ⎟e =
−∞ ⎝ 2 ⎠
= E (e jωτи
2 − e− jωτ и
2 ) .
Спектральная плотность прямоугольного импульса, являющегося интегра-
лом от сигнала
s1 (t ) , получается делением спектра
S1 ( jω ) на
jω (см. свойства
преобразования Фурье):
S( jω) =
S1( jω ) =
E (e jωτи
2 − e− jωτи
2)
= Eτи
sin(ωτ и
2) .
jω jω
ωτи 2
Второй способ вычисления спектральной плотности является более про-
стым.
3.4.8. Спектральная плотность произвольного периодического сигнала
Периодический сигнал может быть представлен рядом Фурье в комплекс-
ной форме
s(t ) =
∞
∑ Ck e jkω1t ,
k =−∞
где ω1
= 2π
T
– частота первой гармоники, равная частоте сигнала.
Учитывая результаты, полученные при вычислении спектра комплексного
сигнала, можно сделать вывод, что спектральная плотность произвольного пе-
риодического сигнала представляет собой набор δ -функций, расположенных на частотах гармоник ряда Фурье. Веса δ -функций равны соответствующим
коэффициентам ряда Фурье, умноженным на
2π .
3.4.9. Спектральная плотность сигнала вида sin x x
При рассмотрении вопросов дискретизации непрерывных сигналов возни-
кает необходимость знать спектр сигнала, описываемого функцией
sin x
x. Вы-
числение спектра будем производить по формуле прямого преобразования Фу-
рье. Итак, пусть задан сигнал
s(t) = A sin ωmt ,
ωmt
2π
где ω m
= 2π f m = T
, T – период функции
sin ωmt .
Нули сигнала определяются так:
π
Тогда
ωmt = ±kπ
∞
при
k = 1,
2,…;
∞
t = ± k .
ωm
S( jω) = A ∫
sinωmt e− jωt dt = 2A∫sinωmtcosω t dt =
−∞ ωmt
0 ωmt
|
|
A ∞sin(ω −ωm )t
=
m 0 t
dt − ∫
ωm 0 t
dt .
Из таблицы определенных интегралов [10]:
∞ sin ax
∫
⎧ π
dx =⎪ 2
при
a >0,
|
при
a < 0.
Тогда при
ω > ωm
S( jω) = 0, а при
ω < ωm
S( jω) = Aπ
ωm . Таким об-
разом, спектральная плотность сигнала типа
sin x x
вещественная (сигнал чет-
ный), амплитудный спектр имеет форму прямоугольного импульса. Конкретно
sin ωmt
для рассматриваемого сигнала
s(t ) = A
ω mt
амплитудный спектр ограничен
полосой частот
(рис. 3.10)
2ωm , в пределах которой уровень спектра равномерен и равен
Aπ =
ωm
Aπ
2πf m
= A .
2f m
Рис. 3.10. Сигнал
s(t ) = A
sin ωmt
ωmt
и его спектр
Аналогичный результат может быть получен из свойства дуальности пре-
образования Фурье. В соответствии с этим свойством, если четному сигналу
s(t )
соответствует спектральная плотность
S( jω), то сигналу
S(t )
будет соот-
ветствовать спектральная плотность
2πs( jω).
Известно, что прямоугольному импульсу длительностью τи
и амплитудой
E соответствует спектральная плотность
Eτи
sin(ωτ и 2) (ωτ и 2)
. Это значит, что сиг-
налу типа
sin x x
соответствует амплитудный спектр, имеющий прямоуголь-
ную форму. Необходимо только определить длительность и уровень амплитуд-
ного спектра рассматриваемого сигнала
s(t ).
Заменив ω на t , а также ωm
на τи
2 и Eτи
на A , из формулы спектраль-
ной плотности получим сигнал
s(t) = A
sin ωmt .
ωmt
Заменив t на ω, а также τи
2 на ωm
и E на
A 2ωm , из формулы прямо-
угольного импульса получим спектральную плотность
s( jω)
в частотном диа-
пазоне
2ωm . Уровень амплитудного спектра равен
2πA
2ωm
= A 2 f m .
Итак, окончательно можно записать выражение для спектра рассматривае-
мого сигнала
|
ω ≤ωm ,
S( jω) = ⎨2 fm
|
ω >ωm .
Полученные результаты будут использованы при рассмотрении вопросов дискретизации непрерывных сигналов на основании теоремы Котельникова.