Корреляционный анализ сигналов

3.5.1. Общие положения

При решении многих задач оптимальной обработки сигналов возникает потребность определять степень подобия различных сигналов или сигнала и его копии, сдвинутой на определенное время. Такая проблема возникает, например, в радиолокации при решении задачи обнаружения полезных сигналов (сигна- лов, отраженных от цели) на фоне шумов. В результате решения этой задачи в рамках линейных систем синтезирован оптимальный обнаружитель сигналов, структура которого содержит согласованный фильтр или корреляционный при- емник. Алгоритм работы подобного обнаружителя предполагает вычисление функции [11]

где

q(T,τ) = 2

W0 – энергетический спектр шума;

∫s(t)ε(t,τ)dt ,

T – интервал времени, в пределах которого осуществляется обработка сме-

си сигнала и шума;

s(t )

– полезный сигнал;

ε(t,τ)

– отраженный от цели сигнал, представляющий собой сумму задер-

жанного на τ полезного сигнала и шума

n(t ), т.е.

ε(t,τ) = Θ ∗ s(t −τ)+ n(t ).

Здесь Θ – случайная величина, причем

Θ = 0, если полезный сигнал от-

сутствует, и

Θ = 1, если сигнал присутствует.

Задача обнаружителя – определить значение Θ . Для этого результат вы-

числения функции

q(T,τ)

сравнивается с порогом h . Если

q(T,τ) > h, то

Θ = 1

(цель присутствует), если

q(T,τ) < h, то

Θ = 0

(цели нет).

Как видно из рассмотренного алгоритма, оптимальный обнаружитель сиг-

налов при

n(t ) = 0

предусматривает расчет функции

R(T,τ) = ∫s(t )s(t −τ)dt .

Эта функция в общем случае имеет вид

∞

R(τ) =

∫s(t )s(t −τ)dt

−∞

(3.17)

и называется автокорреляционной функцией (АКФ) сигнала

s(t ). Как видно из

формулы, АКФ – это свертка сигнала

s(t )

и его зеркального отображения

s(−t ),

т.е.

R(τ) = s(τ)⊗ s(−τ). Если сигнал – напряжение (размерность B ), то раз-

мерность АКФ –

B 2c .

Если в формуле (3.17) фигурируют различные сигналы

s1(t) и

s2 (t) , то та-

кая функция называется взаимокорреляционной. Она обозначается как

R12 (τ)

или

R21(τ)

и имеет вид

∞ ∞

R12(τ) =

∫s1(t )s2(t −τ)dt ;

−∞

R21(τ) =

∫s1(t −τ)s2(t )dt . (3.18)

−∞

Автокорреляционную и взаимокорреляционную функции иногда называют просто корреляционной функцией, различая их по содержанию рассматриваемо- го вопроса.

Для сигналов, представленных в комплексной форме, автокорреляционная и взаимокорреляционная функции определяются следующим образом:

∞

R(τ) =

∞

∫s(t)s∗(t −τ)dt ;

−∞

∞

R12

(τ) =

∫s1

(t )s∗(t −τ)dt ;

R21

(τ) =

∫s ∗(t −τ)s2

(t )dt .

−∞ − ∞

3.5.2. Свойства автокорреляционной функции

Будем полагать, что исследуемый сигнал является импульсным с конечной длительностью, так что интеграл вида (3.17) существует.

Для фиксированного момента времени τ (фиксированного сдвига копии

относительно оригинала) АКФ равна площади функции, описывающей произ-

ведение

s(t )s(t −τ), то есть общей (совпадающей по оси t) площади двух сигна-

лов. При этом АКФ характеризует степень подобия сигнала

s(t )

и его смещен-

ной во времени копии

s(t −τ), а также положение сигналов на оси времени.

Кроме того, автокорреляционная функция обладает следующими свойст-

вами.

1. При τ

= 0 автокорреляционная функция равна энергии сигнала, т.е.

∞

R(0) = ∫s 2(t )dt = Э .

−∞

2. Осуществив замену переменной x = t −τ

легко убедиться, что

в выражении для

R(τ), можно

R(τ) =

∞

∫ s(t )s(t −τ)dt =

−∞

∞

∫s(t )s(t +τ)dt = R(−τ).

−∞

Таким образом, автокорреляционная функция относится к классу четных функций.

3. При любом значении τ модуль АКФ не превосходит энергии сигнала,

т.е.

R(τ)

≤ R(0) = Э, что непосредственно следует из известного неравенства

Коши–Буняковского:

s(t )s(t −τ) ≤

s(t ) ⋅

s(t −τ ,

где

s(t )

– норма вектора, соответствующего сигналу

s(t ).

4. С ростом абсолютного значения τ АКФ сигнала с конечной энергией за-

тухает, т.е.

lim

τ → ∞

R(τ) = 0.

В результате можно сделать вывод, что график АКФ – это симметричная относительно оси ординат кривая в верхней полуплоскости с центральным мак-

симумом при

τ = 0. Это также следует из физической интерпретации корреля-

ционной функции – сигнал и его копия при отсутствии временного сдвига, то

есть при τ

= 0, имеют наибольшую степень подобия.

Пример 1.

Определить математически и графически корреляционную функцию пря-

моугольного видеоимпульса.

На рис. 3.11,а,б показано взаимное расположение сигнала и его копии,

сдвинутой на время τ при τ < 0

и τ > 0. Заштрихованная область – это область,

используемая для определения произведения

s(t )s(t −τ). При этом значения

корреляционной функции при различных τ определяются выражениями:

τи+τ

При

−τи

≤τ ≤ 0

R(τ) = ∫

τи

E2 dt = E2

(τи +τ).

При

0 ≤ τ ≤τи

τ >τи

R(τ) = ∫

R(τ) = 0.

E 2 dt = E 2 (τи

−τ).

Полученные результаты можно объединить и записать

R(τ) = E2(τи

− τ )

при

−τи

≤τ ≤τи . (3.19)

а б

Рис. 3.11. Определение

R(τ)

прямоугольного видеоимпульса

Как видно из (3.19), корреляционная функция сигнала не зависит от поло-

жения

s(t )

на временной оси. График

R(τ)

представлен на рис. 3.11,в.

3.5.3. Автокорреляционная функция периодического сигнала

Периодические сигналы являются бесконечно протяженными во времени. Следовательно, эти сигналы, обладая конечной мощностью, имеют бесконечно большую энергию. Для таких сигналов АКФ, являющаяся энергетической ха- рактеристикой сигнала, должна определяться в пределах одного периода в еди- ницах средней мощности, то есть

1 T

где T – период сигнала.

R(τ) =

∫s(t )s(t −τ)dt ,

Так как периодический сигнал – это сигнал, удовлетворяющий условию

s(t ) = s(t + nT),

n = …,− 2,−1,0,1,2,… ,

то можно записать

T T

R(τ) =

1 1

∫s(t)s(t −τ)dt = ∫s(t)s(t + nT −τ)dt =R (τ − nT).

T 0 T 0

Таким образом, автокорреляционная функция периодического сигнала яв- ляется периодической функцией с периодом, равным периоду сигнала. Если сигнал-напряжение (размерность B ), то размерность АКФ периодического сиг-

нала –

B2 .

Пример 2.

Определить автокорреляционную функцию сигнала

s(t) = E cos(ωt +ϕ).

1 T 2

∫

R(τ) = E

E2 T

cos(ω t +ϕ)cos[ω(t −τ) +ϕ]dt =

E2 T E2

= 2T ∫cos[ω(2t −τ) + 2ϕ]dt + 2T

∫cosωτdt =

cosωτ .

0 0

Автокорреляционная функция гармонического колебания с периодом

T = 2π ω

также является гармонической с таким же периодом. Заметим, что

АКФ гармонического колебания не зависит от его начальной фазы.

3.5.4. Автокорреляционная функция сигналов с дискретной структурой

Процесс преобразования аналогового сигнала в последовательность отсче- тов называется дискретизацией, а результат такого преобразования – дискрет- ным сигналом. При обработке сигналов в вычислительных устройствах его от- счеты представляются в виде двоичных чисел, имеющих ограниченное число разрядов. Вследствие этого отсчеты могут принимать лишь конечное множест- во значений. Процесс преобразования отсчетов сигнала в числа называется квантованием по уровню. Сигнал, дискретный во времени и квантованный по уровню, называется цифровым сигналом. Дискретные и цифровые сигналы – это сигналы с дискретной структурой. Такую структуру может иметь каждый импульс периодической последовательности.

Сигналы с дискретной структурой широко используются для кодирования информации при построении средств связи и средств вычислительной техники. Некоторые модели сложных сигналов при этом создаются следующим образом.

Интервал времени, соответствующий длительности сигнала, разбивается

на целое число

m > 1

промежутков, равных

∆t . На этих промежутках сигнал

принимает фиксированные значения, например U 0

и −U0 . Эти значения коди-

руются числами 1 и -1. Так, сигнал, изображенный на рис. 3.12, может быть за-

кодирован в виде

a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6 ,a7 , где

a1 = a2

= a3

=1,

a4 = a5

= −1,

a6 =1, a7

= −1.

Автокорреляционная функция такого сигнала также определяется по фор- муле (3.17). Однако при этом необходимо иметь в виду, что операции интегри- рования соответствует в дискретном случае операция суммирования, а пере-

менная τ изменяется дискретно на величину интервала дискретизации сигнала.

При этом АКФ будет соответствовать формула

∞

R(n) =

∑ ak

k=−∞

⋅ak −n ,

где n – целочисленный аргумент, указывающий, на сколько позиций сдвинута копия сигнала относительно оригинала.

Автокорреляционная функция, являясь в данном случае функцией цело-

численного аргумента, обладает всеми свойствами обычной автокорреляцион-

ной функции. Так,

R(n)

– это четная функция, т.е.

R(n) =

R(−n). При нулевом

сдвиге дискретная АКФ равна энергии сигнала, т.е.

Пример 3.

R(0) =

∞

∑

k =−∞

= Э.

Для иллюстрации сказанного вычислим АКФ сигнала, соответствующего

коду Баркера при

m = 7.

Таблица 3.2

Расчет АКФ сигнала, соответствующего коду Баркера

Сигнал	a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7	R(τ)
s( t )	1 1 1 –1 –1 1 –1 0 0 0 0 0 0 0
s(t − 0)	1 1 1 –1 –1 1 –1 0 0 0 0 0 0 0	R(0) = 7
s(t − ∆t )	0 1 1 1 –1 –1 1 –1 0 0 0 0 0 0	R(1) = 0
s(t − 2∆t )	0 0 1 1 1 –1 –1 1 –1 0 0 0 0 0	R(2) = −1
s(t − 3∆t )	0 0 0 1 1 1 –1 –1 1 –1 0 0 0 0	R(3) = 0
s(t − 4∆t )	0 0 0 0 1 1 1 –1 –1 1 –1 0 0 0	R(4) = −1
s(t − 5∆t )	0 0 0 0 0 1 1 1 –1 –1 1 –1 0 0	R(5) = 0
s(t − 6∆t )	0 0 0 0 0 0 1 1 1 –1 –1 1 –1 0	R(6) = −1
s(t − 7∆t )	0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 –1 –1 1 –1	R(7) = 0

На рис. 3.12 приведен график АКФ этого сигнала с учетом ее четности.

Заметим, что сигналы (коды) Баркера обладают совершенными свойствами с позиций теоретической радиотехники и прикладной математики: значения их

АКФ при

n ≠ 0

не превышают 1, а при n = 0 энергия этих сигналов равна m.

3.5.5. Взаимокорреляционная функция сигналов

Для количественной оценки степени подобия двух различных сигналов

s1(t ) и

s2 (t )

служит взаимокорреляционная функция (ВКФ), которая определя-

ется выражениями:

R12(τ) =

∞

∫s1(t )s2(t −τ)dt ;

−∞

R21(τ) =

∞

∫s1(t −τ)s2(t )dt . (3.20)

−∞

а б

Рис. 3.12. Код Баркера (а) и его корреляционная функция (б)