Свойства взаимокорреляционной функции

1. Значения

R12 (τ)

и R 21(τ)

не изменятся, если вместо задержки сигнала

s2 (t )

или

s1(t )

рассматривать опережение

s1(t )

или

s2 (t ) , т.е. можно записать

 

 

R12(τ) =

∞

∫s1(t +τ)s2(t )dt ;

−∞

R21(τ) =

∞

∫s1(t )s2(t +τ)dt . (3.21)

−∞

 

 

В этом можно убедиться, осуществив замену переменной x = t −τ.

2. Сравнивая выражения (3.20) и (3.21), можно отметить следующее свой-

ство взаимокорреляционной функции:

 

R12 (τ) = R21 (−τ),

R21 (τ) = R12 (−τ).

 

 

3. Взаимокорреляционная функция в общем случае не является четной

функцией и необязательно достигает максимума при τ

= 0.

4. При τ

= 0:

R12(τ) =

∞

∫s1(t )s2(t )dt = Э12 ,

−∞

где

Э12

– взаимная энергия сигналов

s1(t ) и

s2 (t ).

5. С ростом абсолютного значения τ ВКФ сигналов с конечной энергией

затухает, т.е.

lim

τ → ∞

R12(τ) = 0 и

lim

τ → ∞

R21(τ) = 0.

 

 

Пример 4.

Определим взаимокорреляционные функции

R12 (τ) и

R21 (τ)

 

 

прямоуголь-

ного

s1 (t )

и треугольного

s2 (t )

видеоимпульсов (рис. 3.13).

 

⎧E

s t =

при 0 ≤ t ≤τи ,

⎧ E t

⎩

s (t ) = ⎪τ

при 0 ≤ t ≤τи ,

1 ( )

⎨ 0 при

t < 0;

t > τ .

2 ⎨ и

⎩ и ⎪ 0 при

t < 0;

t > τ и .

Рис. 3.13. Прямоугольный и треугольный видеоимпульсы

 

 

На рис. 3.14 и 3.15 показано взаимное расположение сигналов при сдвиге

одного из них на время τ при

τ < 0

(а) и τ > 0

(б). Заштрихованная область –

это область, используемая для определения произведений

s1 (t −τ)⋅ s2 (t ).

s1 (t )⋅ s2 (t −τ) и

 

Определение

R12 (τ):

τи +τ

2 t −τ

 

 

E 2 2 2

При

−τи

≤τ ≤ 0

R12 (τ) = ∫ E

dt =

τи 2τи

(τи −τ );

 

 

При

0 ≤ τ ≤τи

τи

R12(τ) = ∫

τ

 

E 2 t − τ τ и

 

E 2

dt =

2τи

(τи

−τ)2 ;

При

τ >τи

R12 (τ) = 0.

 

 

Определение

R21 (τ):

τ +τ 2

2 t E 2

При

−τи

≤τ ≤ 0

R21 (τ) = ∫

и

0

τ и

E dt =

τи 2τи

t E 2

(τи

+τ) ;

2 2 2

При

0 ≤ τ ≤τи

R21(τ) = ∫ E

τ

dt =

τи 2τи

(τи −τ );

При

τ >τи

R21 (τ) = 0.

 

 

Пределы интегрирования определяются из рис. 3.14,а,б и 3.15,а,б с учетом

знака времени сдвига τ .

Графики венно.

R12 (τ) и

R21 (τ)

представлены на рис. 3.14,в и 3.15,в соответст-

 

 

Рис. 3.14. Формирование

R12 (τ)

 

 

 

 

Пример 5.

Рис. 3.15. Формирование

R21 (τ)

Определить взаимокорреляционные функции

R12 (τ) и

R21 (τ)

треугольно-

го импульса

s1 (t )

и δ -функции.

∞ ∞

R12(τ) =

R21(τ) =

∫ s1(t)s2(t −τ)dt =

−∞

∞

∫ s1(t −τ)s2(t )dt =

−∞

∫s1(t)δ(t −τ)dt ;

−∞

∞

∫s1(t −τ)δ(t )dt .

−∞

Учитывая селектирующее свойство δ -функции, можно записать

R12(τ) =

∞

∫s1(t )δ(t −τ)dt = s1(τ);

−∞

R21(τ) =

∞

∫s1(t −τ)δ(t )dt = s1(−τ).

−∞

Графики сигналов

s1 (t )

и δ -функции, а также их взаимокорреляционных

функций

R12 (τ) и

R21 (τ)

приведены на рис. 3.16.

 

Рис. 3.16. Формирование ВКФ для треугольного импульса и δ -функции

3.5.6. Представление периодического сигнала

 

 

Определим корреляционную функцию одиночного импульсного сигнала

∞

s1 (t )

и сигнала

s2 (t ) =

∑ δ(t + nT), являющегося периодической последова-

n=−∞

тельностью δ -функций:

 

 

R(τ) =

∞

∫s1(t )s2(t −τ)dt =

−∞

∞

∫ s1(t )

−∞

∞

∑ δ(t + nT −τ) =

n=−∞

∞ ∞ ∞

= ∑ ∫

n=−∞ −∞

s1(t)δ[t − (τ − nT)]dt =

∑ s1(τ − nT).

n=−∞

 

 

Получена корреляционная функция, которая соответствует периодической

последовательности сигналов

s1 (t ) , т.е. получен периодический сигнал

∞

s(t) =

∑ s1(t − nT).

n=−∞

 

 

Таким образом, можно сделать вывод, что любой периодический сигнал можно представить в виде корреляционной функции одиночного импульсного

сигнала

s1 (t )

и сигнала

s2 (t) , являющегося периодической последовательно-

стью δ -функций.

Полученный результат поясняется рис. 3.17.

 

Рис. 3.17. Получение периодической последовательности импульсов

 

 

3.5.7. Энергетический спектр и автокорреляционная функция сигнала

 

 

При изучении детерминированных сигналов и процессов их преобразова- ний широко используется спектральный метод анализа. Корреляционная функ- ция – это характеристика сигнала во временной области, спектр – в частотной области. Обе характеристики являются интегральными преобразованиями ана- лизируемых сигналов, поэтому логично предположить существование связи между АКФ сигнала и его спектральным представлением, в частности энерге- тическим спектром. Эта связь достаточно просто устанавливается при следую- щих преобразованиях:

∞ ∞ ⎡ ∞ ⎤

R(τ) =

∫s(t)s(t −τ)dt =

∫ s(t −τ)⎢

∫S( jω)e jωt dω⎥dt =

−∞ − ∞

∞ ⎡ ∞

2π −∞

⎤

= ∫S( jω)⎢

∫s(t − τ )e jωt dt ⎥dω .

− ∞ 2π − ∞

Замена переменных:

t − τ = x;

t = x + τ;

dt = dx .

∞ ⎡ ∞ ⎤ ∞

R(τ ) =

∫ S( jω)⎢

∫s(x)e jω( x +τ) dx⎥dω = 1

∫S ( jω )S ∗( jω )e jωτ dω .

− ∞ 2π − ∞

2π − ∞

Окончательно получаем

1 ∞

2 jωτ

R(τ) =

2π

∫ S( jω) e

−∞

dω . (3.22)

Это обратное преобразование Фурье. Следовательно, справедливо и его прямое преобразование:

S( jω)2

∞

= ∫R(τ)e − jωτ dτ . (3.23)

−∞

Таким образом, автокорреляционная функция сигнала

s(t )

и его энергети-

 

ческий спектр

S( jω) 2 связаны между собой преобразованиями Фурье.

 

Учитывая четность функций записать так:

R(τ)и

S( jω) 2, выражения (3.22, 3.23) можно

R(τ) = 1

π

∞

∫ S( jω) 2 cosωτdω и

S( jω)2

∞

= 2∫R(τ)cosωτdτ .

Применим полученные результаты для взаимокорреляционной функции.

Определим прямое преобразование Фурье от

R12 (τ) :

∞ ∞ ∞

∫R12(τ)e− jωτ dτ

−∞

= ∫ ∫ s1(t)s2(t −τ)e− jωτ dtdτ .

−∞ −∞

Замена переменных:

∞ ∞

t −τ

= x;

⎡ ∞

τ = t − x;

dτ = −dx.

⎤

∫R12(τ)e− jωτdτ =

∫ s1(t)e−jωt ⎢

∫s2(x)e jω xdx⎥dt = S1( jω)S∗( jω) = S12( jω).

−∞ − ∞ − ∞

Таким образом, взаимокорреляционная функция связана преобразованием

Фурье с так называемым взаимным спектром сигналов. Взаимный спектр

S12 ( jω)

для сигналов

s1 (t )

и s2 (t )

представляет собой произведение их спек-

тров, один из которых является комплексно-сопряженным.

Таким образом, если спектры сигналов не перекрываются, то их взаимный спектр равен нулю на всех частотах. Поэтому и их взаимокорреляционная функция равна нулю при любых временных сдвигах.

Полученные результаты имеют важное значение.

1. Корреляционная функция

R(τ)

зависит от модуля спектральной плотно-

сти и не зависит от фазовой характеристики сигнала. Это значит, что различ- ным по форме сигналам, имеющим одинаковые амплитудные спектры, соответ- ствуют одинаковые корреляционные функции.

2. Оценка взаимной связи между корреляционными свойствами сигнала и его энергетическим спектром: чем больше эффективная ширина энергетиче- ского спектра, тем меньше интервал корреляции. И наоборот, чем больше ин- тервал корреляции, тем меньше эффективная ширина энергетического спектра.

3. Определение энергетического спектра и корреляционной функции. С помощью коррелометра или ЭВМ можно определить АКФ сигнала, а затем, вы- числив прямое преобразование Фурье, найти энергетический спектр. И наобо- рот, с помощью спектрометра или ЭВМ можно определить энергетический спектр сигнала и, вычислив обратное преобразование Фурье, найти его АКФ.