Рез равные промежутки времени
∆t ≤1 2 f m .
Справедливость теоремы подтверждается тем, что сигнал
s(t), спектр ко-
торого ограничен частотой ωm
= 2π
f m, представляется рядом
s(t ) =
∞
∑ s(k∆t )
sin ωm
(t − k∆t )
, (3.24)
k=−∞
ωm (t − k∆t )
где
∆t = 1 2 f m
– интервал между двумя отсчетными точками (узлами) на оси
времени,
s(k∆t )
– выборки функции
s(t )
в моменты времени t = k∆t . Функции
Gk (t ) =
sinωm(t − k∆t )
ωm(t − k∆t )
(3.25)
являются базисными функциями ряда Котельникова.
Представление сигнала рядом Котельникова показано на рис. 3.18.
Рис. 3.18. Представление непрерывного сигнала рядом Котельникова
3.6.2. Доказательство теоремы Котельникова
а. Свойства системы базисных функций
Базисные функции
sin
Gk (t) =
ωm(t
− k∆t)
– это функции типа
sin x
, отли-
ωm(t − k∆t)
чающиеся друг от друга сдвигом по времени на величину
ций
x
k∆t . Графики функ-
G (t) = sinωmt
0 ωmt
и G1
(t ) = sinωm(t − ∆t )
ωm(t − ∆t )
приведены на рис. 3.19. Функция Gk (t )
достигает максимума в момент времени
t = k∆t , тогда как другие функции
равны 0.
Gn(t )
(при
n ≠ k ) в этот момент времени
Рис. 3.19. Графики функций G0 (t )
и G1 (t )
Определим спектр сигнала, описываемого функцией
Gk (t)
(в дальнейшем
под
Gk (t)
будем понимать либо функцию, либо сигнал, описываемый этой
функцией).
В п. 3.4.9 определен спектр сигнала
s(t ) = A
sinωmt
ωmt
. Амплитудный спектр
этого сигнала имеет форму прямоугольного импульса и ограничен полосой час-
тот
2ωm , в пределах которой он равен
Общее выражение для спектра
A 2 f m .
|
ω ≤ωm
S( jω) = ⎨2 fm
|
ω >ωm
sinωm(t − k∆t )
Базисные функции
sinωmt
Gk (t ) =
ωm(t − k∆t )
отличаются от функции
A
ωmt
амплитудой и наличием сдвига на временной интервал
k∆t . Это зна-
чит, что спектр станет комплексным, причем форма амплитудного спектра не
изменится, а появится фазовый спектр
ϕ(ω) = −kω∆t . Общее выражение для
спектральной плотности базового сигнала Gk (t)
будет иметь вид
⎧ 1 e− jωk∆t
при
ω ≤ω
Sgk
( jω) = ⎪2 f m
|
|
|
ω >ωm
Учитывая, что
∆t = 1 2 f m , можно записать
Sgk
( jω) =
⎪⎧∆te− jω k∆t
⎨
при
ω ≤ωm
0 при
ω >ωm
На рис. 3.20 приведены графики спектров дискретизируемого сигнала и сигнала, описываемого функцией Gk (t ) .
а б
Рис. 3.20. Графики спектров дискретизируемого сигнала (а)
и функции Gk (t )
(б)
б. Доказательство теоремы
Покажем, что ряд Котельникова (3.24) определяет функцию
s(t )
в любой
момент времени. Этот факт будет свидетельствовать о правомерности теоремы
Котельникова.
Для получения ряда воспользуемся общим методом разложения заданной функции по ортогональным системам функций (см. п. 3.1.1).
1. Функция, заданная для разложения, –
s(t ).
2. Базисная система функций, по которым будет осуществляться разложе-
sinωm(t − k∆t)
ние, – это функции вида
Gk (t) =
ω m(t − k∆t)
. Ортогональность этой системы
функций в бесконечном интервале необходимо доказать.
3. Обобщенный ряд Фурье применительно к рассматриваемому случаю из-
вестен:
s(t ) =
∞
∑ Ck Gk (t ),
Ck = 1
∞
∫s(t )Gk (t )dt .
k =−∞
Gk (t ) 2 −∞
Для нахождения ряда Котельникова требуется доказать ортогональность
системы функций
Gk (t), найти
Gk (t ) 2
– квадрат нормы функции
Gk (t) и
определить коэффициенты C k .
Доказательство ортогональности системы функций Gk (t)
Система функций Gk (t)
∞
ортогональна, если
G (t)G
(t)dt = ⎪⎧Gk (t) при
k = n ,
∫ k n
−∞
∞
⎨
⎩⎪ 0 при
k ≠ n ,
где
Gk (t ) =
∫Gk (t )dt
−∞
– норма функции Gk (t) .
Вычислим значение интеграла от произведения Gk (t )⋅Gn(t )
при
k ≠ n.
∞
∫ Gk (t)Gn(t)dt =
−∞
∞ sinωm(t − k∆t)
|
⋅ sinωm(t − n∆t)
ωm(t − n∆t)
dt . (3.26)
Из свойств преобразования Фурье известно, что если
s1 (t ) ↔ S1 (jω) и
то
s2 (t ) ↔ S2 (jω),
Следовательно,
∞
s1(t )s2(t ) ↔ 2π
S1(jω)⊗ S2(jω).
∞
∫s1(t)s2 (t )e− jωt dt = 1
−∞ 2π
∞
∫S1( jΩ)S2[j(ω − Ω)]dΩ ,
−∞
| |
∫ s1
(t )s2
(t )dt = 1
2π
∫ S1
( jω )S *( jω )dω .
− ∞ − ∞
Применим полученное соотношение к выражению (3.26), учитывая, что
Тогда
sin ωm(t − k∆t ) ↔
ωm(t − k∆t)
sin ωm(t − n∆t) ↔
ωm(t − n∆t)
∞
2 f m
2 f m
e− jωk∆t
e− jωn∆t
ωm
при
при
−ωm
−ωm
≤ ω ≤ ωm;
≤ ω ≤ ωm.
| |
∫Gk (t)Gn(t)dt = ∫
1 e− jωk∆t
1 e jωn∆t dt =
−∞ 2π
|
−ωm 2f m
2f m
|
| |
1 e− jω (k − n)∆t =
| |
−ω m
8π m
j(k − n)∆t
− ω m
|
(e jω m (k − n)∆t − e− jω m (k − n)∆t ) =
8π m
j(k − n)∆t
= 1
4π f m
(k − n)
sin ωm
(k − n)∆t =
4π f m
(k − n)
sin(k − n)π
= 0.
Вычислим значение Gk (t ) 2:
∞ ∞ 2
G (t) 2 =
G2(t)dt =
sin
ωm(t − k∆t)dt .
|
−∞
∫ ω2 (t − k∆t)2
Замена переменной:
Тогда
ωm(t − k∆t ) = x ;
t = x
|
+ k∆t ;
dt = 1
ωm
dx .
G (t) 2 = 1
∞ sin 2
xdx = π = π
= ∆t .
k
Таким образом,
∫ 2
|
ωm 2π f m
∞
∫G (t )G
⎧∆t
(t )dt = ⎨
при
k = n,
k n
−∞ ⎩
0 при
k ≠ n .
Ортогональность системы функций Gk (t)
доказана.