Определение коэффициентов ряда

Значение коэффициентов Ck

определим, пользуясь формулой

Ck =

∞

Gk (t ) 2

∞

∫s(t )Gk (t )dt .

−∞

Для вычисления ∫s(t )Gk (t )dt

−∞

воспользуемся методикой, которая приме-

нялась для вычисления интеграла от произведения Gk (t )Gn(t )

при

k ≠ n:

∞ 1

∫s(t)Gk (t)dt = 2π

−∞

∞ 1

∫S( jω)Sgk ( jω)dω = 2π

−∞

ω m

ωm

∫

−ωm

S( jω)∆te jωk∆t dω =

= ∆t 1

2π

∫

−ωm

S( jω)e jωk∆t dω = ∆ts(k∆t).

Пределы интегрирования приведены в соответствие с тем, что спектры

сигнала и функции Gk (t )

имеют граничную частоту ωm .

Таким образом, коэффициенты C k

∞

равны

Ck = 1

∫s(t )Gk (t )dt =

1 ∆ts(k∆t ) = s(k∆t ).

Gk (t ) 2 −∞ ∆t

Получены все данные, чтобы записать ряд

∞ ∞ sin ω

(t − k∆t )

s(t ) =

∑ Ck Gk (t ) =

k =−∞

∑

k =−∞

s(k∆t )

ωm(t − k∆t )

. (3.27)

Это и есть ряд Котельникова.

Ограничение спектра сигнала наивысшей частотой ωm

свидетельствует о

непрерывности сигнала. Это значит, что ряд сходится к функции

бом значении t .

s(t )

при лю-

Ширина спектра сигнала

s(t )

и ширина спектра базисных функций

Gk (t ),

используемых для представления этого сигнала рядом Котельникова, одинако-

вы и равны

∆ω = 2ωm

(рис. 3.20). Это соотношение определяется предельным

случаем основного условия, фигурирующего в теореме Котельникова, а именно

∆t =1 2 f m .

Интервал ∆t

между выборками при дискретизации сигнала можно взять

меньше, чем

1 2 f m . Тогда ширина спектра

Sgk (jω)

базисной функции будет

больше, чем ширина спектра

S( jω)

сигнала. Это приведет к повышению точ-

ности воспроизведения сигнала, если граничная частота спектра сигнала опре-

делялась путем отсечения составляющих, выходящих за ее пределы. Заметим,

что для сигналов с конечной длительностью граничная частота определяется всегда приблизительно, так как их спектр занимает бесконечную полосу частот.

Если же интервал между выборками взять больше, чем 1 2 f m , то ширина

спектра

Sgk (jω)

будет меньше ширины спектра сигнала, что может привести к

искажению сигнала при его восстановлении по выборкам.

Таким образом, уменьшение интервала между выборками при дискретиза-

ции сигнала с ограниченным спектром по сравнению с

∆t = 1 2 f m

допустимо.

При практическом применении дискретизации сигнала выбирают интервал дискретизации в 2 – 5 раз меньше, чем 1 2 f m .

3.6.3. Дискретизация сигнала с конечной длительностью

Сигнал с конечной длительностью τс

имеет спектр с бесконечно большой

шириной. Однако на практике всегда можно определить частоту, вне которой составляющие спектра обладают малой энергией по сравнению с энергией сиг-

нала. Условно эту частоту можно считать граничной частотой

f m спектра. В

этом случае сигнал длительностью τс

приближенно можно представить неко-

торым числом N выборок с шагом

N ≥

∆t

∆t =1 2 f m , причем

+1= 2 f mτc +1.

Число

2 f mτc

называют иногда числом степеней свободы сигнала, или ба-

зой сигнала.

Таким образом, сигнал с конечной длительностью можно аппроксимиро-

вать рядом Котельникова с конечным числом членов, т.е.

s(t ) =

∑ s(k∆t )

sin ωm

(t − k∆t )

k =0

ωm (t − k∆t )

Сигнал

s(t ), представленный в виде такого ряда, воспроизводится точно

только в точках отсчетов

k∆t . В промежутках между отсчетами возникает

ошибка аппроксимации, которая возрастает у краев интервала τс . С увеличени-

ем граничной частоты

нее.

f m возрастает база сигнала и он аппроксимируется точ-

На рис. 3.21 показан пример аппроксимации прямоугольного импульса при

различных

f m.

В первом случае (рис. 3.21,а) граничную частоту приняли на уровне час-

тотного предела первого лепестка амплитудного спектра сигнала, т.е.

f m =1 τc . При этом

N = 2 f mτc +1 = 3 . Во втором случае (рис. 3.21,б) – на

уровне второго лепестка спектра, т.е.

f m = 2 τc . При этом

N = 2 f mτc +1 = 5.

Рис. 3.21. Дискретизация сигнала конечной длительности

Как видно из рисунка, точность аппроксимации сигнала возрастает с уве- личением граничной частоты спектра, которая учитывается при определении количества слагаемых ряда Котельникова.

3.6.4. Спектр дискретизированного сигнала

В процессе дискретизации аналогового сигнала

s(t )

формируется дискре-

тизированный сигнал

sд(t ), представляющий собой совокупность отсчетных

значений

s(k∆t )

в дискретные моменты времени. Определим связь спектра

S( jω)

аналогового сигнала со спектром

Sд(jω)

дискретизированного сигнала.

Дискретизированный сигнал можно представить в виде последовательно-

сти δ -функций, взвешенных значениями отсчетов

(рис. 3.22), т.е.

s(k∆t )

аналогового сигнала

sд(t ) =

∞

∑ s(n∆t )δ(t − n∆t ). (3.28)

n=−∞

Учитывая, что δ(t − n∆t ) ≠ 0

только при t = n∆t , можно записать

∞

sд(t ) = s(t )

∑ δ(t − n∆t ).

n=−∞

Сумма в данном выражении – это периодическая функция, которая может быть представлена в виде следующего ряда Фурье:

∞

∑δ(t − n∆t) =

n=−∞

∞

∑Cke jkωдt .

k=−∞

Коэффициенты ряда равны

∆t 2

Ck = 1

∫ δ(t)e− jkωдtdt = 1 ,

где

ωд = 2π

∆t

∆t −∆t 2 ∆t

– частота дискретизации.

При вычислении коэффициентов

учтено селектирующее свойство δ -

функции и тот факт, что в интервал интегрирования

(−∆t

2, ∆t 2)

попадает

только одна δ -функция при

n = 0.

Таким образом, периодическая последовательность δ -функций может

быть представлена в виде следующего комплексного ряда Фурье:

∞ 1

∑ δ(t − n∆t) =

∞

∑ e jkωдt .

Тогда

n=−∞

∞

∆t k =−∞

∞ ∞

sд(t) = s(t)

∑δ (t − n∆t ) = s(t)

∑ e jkω дt = 1

∑ s(t)e jkωдt .

n = −∞

∆t k = −∞

Как следует из свойств преобразования Фурье, умножение сигнала на

e jkωдt

приводит к сдвигу спектра этого сигнала вправо на величину

kωд . По-

этому спектр дискретизированного сигнала можно записать следующим обра-

зом:

Sд( jω ) = 1

∆t

∞

∑ S[ j(ω − kωд)]. (3.29)

k =−∞

Таким образом, спектр дискретизированного сигнала представляет собой

бесконечный ряд сдвинутых копий спектра аналогового сигнала

сдвига соседних копий спектра равна частоте дискретизации ωд

s(t ) . Величина

(рис. 3.22).

Рис. 3.22. Дискретизированный сигнал и его спектр

Характер спектра дискретизированного сигнала демонстрирует частотно- временную дуальность преобразования Фурье: периодический сигнал – дис- кретный спектр, периодический спектр – дискретный сигнал.

Способ восстановления непрерывного сигнала по дискретным отсчетам наглядно демонстрирует рис. 3.22. Для этого необходимо пропустить дискрет- ный сигнал через идеальный фильтр нижних частот с частотой среза, равной половине частоты дискретизации. Амплитудно-частотная характеристика тако- го фильтра показана пунктиром.

Точное восстановление сигнала возможно, если сдвинутые копии спектра не перекрываются. Из рис. 3.22 видно, что для этого необходимо, чтобы частота дискретизации как минимум в 2 раза превышала верхнюю граничную частоту в

спектре сигнала, т.е.

тельникова).

ωд ≥ 2ωm ⇒ ∆t ≤ 1 2 f m

(см. формулировку теоремы Ко-

Заметим, что представление сигнала в форме (3.28) упрощает спектраль-

ный анализ дискретных сигналов. Спектральную плотность

S д( jω)

можно оп-

ределить непосредственно по совокупности временных отсчетов без обращения к спектру аналогового сигнала:

∞ ∞ ∞

Sд( jω) =

∫sд(t)e− jωt dt =

−∞

∫ ∑ δ(t − n∆t)s(n∆t)e−jωt dt =

−∞ n=−∞

∞

= ∑ s(n∆t)

n=−∞

∞

∫δ(t − n∆t )e− jωt dt =

−∞

∞

∑ s(n∆t)e−jω n∆t .

n=−∞

Следует отметить, что из-за наличия в формуле (3.29) множителя 1/∆t спектральная плотность дискретизированного сигнала имеет размерность, сов- падающую с размерностью сигнала.