Радиосигналы с угловой модуляцией
4.3.1. Общие сведения об угловой модуляции
При угловой модуляции (английский термин – angle modulation) происхо- дит изменение фазового сдвига высокочастотного колебания под действием модулирующего сигнала. Амплитуда сигнала при этом виде модуляции остает- ся постоянной. Формула, описывающая модулированное колебание, имеет вид
s(t) = Uн cos[ω0t +ϕ(t)] = Uн cosψ(t) ,
где ω0t
ϕ(t)
– линейный набег фазы за время t ;
– фазовая функция, обусловленная модуляцией.
Ранее было сказано, что изменение фазового сдвига
ϕ(t)
может происхо-
дить как путем модуляции непосредственно фазового сдвига, так и путем моду- ляции частоты несущего колебания. Объясняется это известной зависимостью, существующей между угловой частотой и полной фазой гармонического коле- бания:
ω(t) = dψ(t) = ω
dt 0
+ dϕ(t)
dt
и ψ(t) =
t
∫ω(t)dt = ω
0t +ϕ(t).
Поэтому различают фазовую модуляцию (ФМ) и частотную модуляцию
(ЧМ).
При фазовой модуляции пропорционально модулирующему сигналу
изменяется фазовый сдвиг, т.е.
s м (t )
ϕ(t ) = ϕ0 + kфs м(t ) ,
при частотной модуляции – частота несущего колебания, т.е.
ω(t) =ω0 +kчsм(t).
Коэффициенты
kф и
kч – это масштабные (размерные) коэффициенты
пропорциональности между фазой и напряжением (размерность Рад/В), часто-
той и напряжением (размерность Рад/В с).
Полная фаза модулированного колебания равна
при ФМ
при ЧМ
ψ(t ) = ω0t + kфs м(t ) +ϕ0 ;
t
ψ(t) = ω0t + ∫kчsм(t)dt + ϕ0 .
Тот факт, что изменение фазы колебания во времени по закону ψ(t)
при-
водит к изменению мгновенной частоты по закону
dψ(t )
dt , а изменение мгно-
венной частоты по закону ω(t )
приводит к изменению фазы по закону ∫ω(t )dt ,
обусловливает общность между двумя разновидностями угловой модуляции –
фазовой и частотной.
Рассмотрим более подробно каждый из этих видов модуляции в предполо-
жении, что реализуется тональная модуляция, т.е. модулирующий сигнал явля-
ется гармоническим и равен
sм (t) = U мcos(Ωt + γ ) .
4.3.2. Фазовая модуляция
При фазовой модуляции гармоническим сигналом полная фаза модулиро-
ванного сигнала равна
ψ(t) =ω0t + kфUм cos(Ωt +γ)+ϕ0 . (4.2)
Тогда выражение для модулированного сигнала принимает вид
s(t ) = Uн cos[ω0t + kфUм cos(Ωt + γ)+ϕ0].
Угловая частота этого колебания будет равна
ω(t) = dψ(t) = ω
dt 0
− kфU
мΩ sin(Ωt +γ). (4.3)
Таким образом, изменение фазового сдвига по закону косинуса приводит к изменению частоты по закону синуса, т.е. при фазовой модуляции изменение частоты (по существу тоже модуляция) происходит по закону, отличному от за- кона изменения модулирующего сигнала.
Анализ выражений (4.2) и (4.3) для фазы и частоты модулированного ко- лебания позволяет сделать определенные выводы относительно некоторых его параметров.
Как следует из формулы для полной фазы, величина
β = kфUм
является
максимальным отклонением фазы несущего колебания от начальной фазы
ϕ0 ,
т.е. по существу это амплитуда изменения фазы. Эту величину называют индек- сом угловой модуляции. При ФМ она зависит только от амплитуды модули- рующего сигнала.
В свою очередь величина
ωд = kфUмΩ
является максимальным отклоне-
нием частоты несущего колебания от значения
ω0 , т.е. это амплитуда измене-
ния частоты. Эту величину называют девиацией частоты. При ФМ она зависит не только от амплитуды модулирующего сигнала, но и от его частоты.
Таким образом, общее выражение для фазомодулированного сигнала при
тональной модуляции сигналом
sм (t) = U м cos(Ωt + γ )
имеет вид
s(t) = Uн cos[ω0t + β cos(Ω t + γ ) + ϕ0 ].
4.3.3. Частотная модуляция
При частотной модуляции гармоническим сигналом частота модулирован-
ного колебания равна
ω(t) = ω0 + kчU м cos(Ωt + γ ) .
Полная фаза такого колебания определяется как интеграл от частоты (с
учетом начальной фазы)
t
ψ(t) = ∫ω(t)dt =ω0t +
kчU м
Ω
sin(Ωt +γ)+ϕ0 .
Тогда выражение для модулированного сигнала принимает вид
kчUм
s(t) =Uн cos[ω0t +
Ω sin(Ωt + γ)+ϕ0 ].
Таким образом, изменение частоты по закону косинуса приводит к изме-
нению фазового сдвига по закону синуса, т.е. при частотной модуляции изме- нение фазового сдвига происходит по закону, отличному от закона изменения модулирующего сигнала.
На рис. 4.11 показано, как изменяется фаза и частота модулированного ко- лебания при ФМ и ЧМ, если закон изменения модулирующего сигнала одина- ков.
Как следует из приведенных формул для полной фазы и частоты, частотно-
модулированное колебание имеет девиацию частоты
ωд = kчUм
и индекс угло-
вой модуляции
β = kчU м
Ω . В данном случае девиация частоты не зависит от
частоты модулирующего сигнала, а индекс угловой модуляции зависит.
Рис. 4.11. Сравнение функций ω(t ), ϕ(t )
и сигналов при ФМ и ЧМ
Таким образом, общее выражение для частотно-модулированного сигнала при тональной модуляции можно записать так:
s(t) = Uн cos[ω0t + β sin(Ωt + γ ) + ϕ0 ].
Характерно, что связь индекса угловой модуляции и девиации частоты для
фазовой и частотной модуляций определяется выражениями
β = ωд Ω
и ωд = β Ω .
По общему виду математического выражения для сигнала с угловой моду- ляцией нельзя сказать, какая модуляция реализована – фазовая или частотная, если не известен модулирующий сигнал. Ответить на этот вопрос можно, если
рассмотреть графики зависимостей
β(Ω)
и ωд(Ω)
(рис. 4.12).
При фазовой модуляции график
β(Ω)
– прямая, параллельная оси абсцисс,
график ωд(Ω)
– прямая, проходящая через начало координат с углом наклона к
оси абсцисс, зависящим от амплитуды U м
модулирующего сигнала. При час-
тотной модуляции график
β(Ω)
– равносторонняя гипербола с центром в нача-
ле координат, график ωд(Ω)
– прямая, параллельная оси абсцисс.
Рис. 4.12. Графики зависимостей
β(Ω)
и ωд(Ω)
при ФМ (а) и ЧМ (б)
4.3.4. Спектральный анализ сигналов с угловой модуляцией
виде
Определим спектр колебания с угловой модуляцией, представленного в
s(t) = Uн cos(ω0t + β sin Ωt).
Данное выражение описывает сигнал с фазовой модуляцией, если модули-
рующий сигнал
sм (t) = U м sinΩt , и сигнал с частотной модуляцией, если моду-
лирующий сигнал
sм (t) = U м cosΩt . Для упрощения математических выкладок
начальные фазы (ϕ0
и γ ) несущего и модулирующего сигналов опущены.
Выполним элементарные тригонометрические преобразования.
s(t ) = Uн cos(ω0t + β sin Ωt ) = Uн[cos ω0t cos( β sin Ωt ) − sin ω0t sin( β sin Ωt )].
Воспользуемся известными соотношениями [10]:
∞
cos(β sin Ωt ) = J 0 (β)+ 2 ∑ J 2k (β)cos 2kΩ t ;
k=1
где
J k ( β )
∞
sin( β sin Ωt ) = 2 ∑ J 2k +1(β)sin(2k +1)Ω t ,
k=0
– бесселева функция первого рода k -го порядка от аргумента β .
⎡ ∞ ⎤
Тогда
s(t) = Uн cosω0t ⎢J 0(β)+ 2 ∑ J 2k (β)cos 2kΩt⎥ −
⎣ k=1 ⎦
⎡ ∞ ⎤
−Uн sinω0t⎢2 ∑ J2k+1(β)sin(2k +1)Ωt⎥ .
⎣ k = 0 ⎦
Раскроем скобки и заменим произведения тригонометрических функций
cosω0tcos2kΩt
и sinω0tsin(2k +1)Ωt
полусуммами косинусов соответствую-
щих аргументов (с суммарными и разностными частотами). В результате полу-
чим выражение, которое определяет спектр сигнала с угловой модуляцией:
∞
s(t) = UнJ0(β)cosω0t +Uн ∑Jk (β)cos(ω0 +kΩ)t+
k=1
∞
+Uн ∑(−1)kJk (β)cos(ω0 − kΩ)t
k=1
. (4.4)
Анализ данного выражения позволяет сделать следующие выводы:
1. Спектр сигнала с угловой модуляцией состоит из составляющей на не-
сущей частоте и бесконечного числа боковых составляющих с частотами
ω0 ± kΩ , расположенных симметрично относительно несущей частоты
(рис.4.13). Составляющие с нечетными номерами и частотами ω0 − kΩ
находят-
ся в противофазе с составляющими, имеющими такие же номера и частоты
ω0 + kΩ .
Рис. 4.13. Спектры сигналов с угловой модуляцией при различных β
2. Амплитуды составляющих спектра зависят не только от амплитуды Uн
несущего колебания, но и от значений бесселевых функций при индексе угло-
вой модуляции β данного сигнала. Характер изменения бесселевых функций
таков (рис. 4.14), что при определенных значениях β возможно отсутствие в
спектре сигнала составляющей на несущей частоте ( β
≈ 2,4,
β ≈ 5,5), состав-
ляющих на частотах
ω0 ± Ω
(β ≈ 3,9,
β ≈ 7,1), составляющих на частотах
ω0 ± 2Ω (β
≈ 5,2,
β ≈ 8,4) и т.д.
3. В общем случае сигнал с угловой модуляцией занимает бесконечную по-
лосу частот (теоретически). Однако бесселевы функции характеризуются тем,
что с ростом индекса модуляции β абсолютное значение функции
J k ( β )
бы-
стро уменьшается с увеличением k . Наибольший номер составляющей, кото-
рую еще необходимо учитывать в составе спектра, равен приблизительно ин-
дексу модуляции, т.е.
k ≈ β . Поэтому считается, что при
β >>1 (это справедли-
во для так называемой медленной угловой модуляции, при которой ширина спектра сигнала равна
ωд >>Ω )
∆ωэф
≈ 2β Ω
или
∆ωэф
≈ 2 ωд
Ω
Ω = 2ωд
.
Рис. 4.14. Графики функций Бесселя
Таким образом, можно сказать, что эффективная полоса частот сигнала с угловой тональной модуляцией равна удвоенной величине девиации частоты и зависит от частоты модулирующего сигнала при ФМ и не зависит – при ЧМ.
Определенный интерес с познавательной точки зрения представляет слу-
чай, когда индекс угловой модуляции имеет малое значение, т.е.
случае имеют место приближенные равенства
β <<1. В этом
cos(β sinΩt) ≈1 и
Тогда спектр сигнала равен
sin(β sinΩt) ≈ β sinΩt .
s(t) ≈ Uн(cosω0t − β sin Ωt sin ω0t);
s(t) ≈Uн
cosω
t + Uнβ cos(ω
0 2 0
+ Ω)t − Uнβ cos(ω
2 0
− Ω)t .
Таким образом, амплитудный спектр сигнала с угловой модуляцией при
β <<1
такой же, как у сигнала с амплитудной модуляцией (при тональной мо-
дуляции). Причем индекс угловой модуляции β в данном случае играет такую
же роль, как и коэффициент амплитудной модуляции m .
Отличие имеет фазовый спектр. Нижняя боковая составляющая спектра,
т.е. составляющая разностной частоты, сдвинута по фазе на
относительно
ее фазы при амплитудной модуляции. Благодаря этому реализуется угловая мо- дуляция, что иллюстрируется спектром и векторной диаграммой, приведенной на рис. 4.15.
На векторной диаграмме направление вектора
CF1
при амплитудной моду-
ляции показано штриховой линией. Тот факт, что соответствующий вектор при угловой модуляции имеет противоположное направление, приводит к тому, что
вектор CD перпендикулярен к направлению вектора OC . При этом результи-
рующий вектор OD изменяется как по фазе, так и по амплитуде. Последнее из-
менение несущественно, так как при лы и ими можно пренебречь.
β <<1
амплитудные изменения очень ма-
Рис. 4.15. Спектр и векторная диаграмма сигнала
с угловой модуляцией при
β <<1
Заметим, что при тональной модуляции амплитудные спектры сигналов с ЧМ и ФМ одинаковы (разумеется, при одинаковых параметрах модулирующего и несущего колебаний), а фазовые спектры различаются.
4.3.5. Угловая модуляция полигармоническим сигналом
Модулирующий сигнал в общем случае имеет спектр, состоящий из боль- шого количества составляющих с различными частотами. Именно такой спек- тральный состав имеют реальные сигналы современных каналов связи. Поэтому определенный интерес представляет спектральный состав высокочастотных ко- лебаний с фазовой или частотной модуляцией такими сигналами.
Пусть модулирующий сигнал представлен суммой N гармонических со-
ставляющих
N
sм (t ) = ∑Uk sinΩkt .
k=1
Тогда сигнал с фазовой модуляцией будет иметь вид
N
s(t) = Uн cos(ω0t +
∑ βk sin Ωkt),
k=1
где βk
= kфU k
– парциальные индексы угловой модуляции.
Для упрощения дальнейших преобразований целесообразно воспользо-
ваться комплексным представлением фазомодулированного сигнала, т.е.
N
s(t ) = U н e
j (ω
0 t + ∑ βk
k =1
sin Ω k t )
=U н
e jω0 t
N jβk sin Ω k t
∏e .
Известно [10], что
k =1
∞
Тогда
e jβk sinΩ kt
= ∑Jn(βk )e jnΩ kt .
|
N ⎛ ∞ ⎞
|
∑Jn (βk )e jnΩ k t ⎟ejω0t .
k =1⎝n = −∞ ⎠
Анализ полученного выражения (дальнейшие преобразования не выпол- няются из-за громоздкости и отсутствия необходимости) позволяет сделать следующие выводы.
1. В спектре высокочастотного колебания с угловой модуляцией полигар- моническим сигналом имеется бесконечное количество составляющих с несу- щей и боковыми частотами. Частоты составляющих равны:
ω0 ± (k1Ω1 ± k2Ω2 ±… ± k N ΩN ) ,
k1 , k2 ,…, k N
= 0, ∞.
Среди боковых составляющих имеются составляющие с комбинационны- ми частотами. Так, при модуляции бигармоническим сигналом спектр модули- рованного колебания будет содержать составляющие с частотами
ω0 , ω0 ± k1Ω1 , ω0 ± k2Ω2
и ω0 ± (k1Ω1 ± k2Ω2 ) .
2. Амплитуды составляющих спектра с комбинационными частотами оп- ределяются произведениями бесселевых функций разных порядков. Поэтому составляющие с комбинационными частотами, выходящими за пределы
∆ω = 2ωcд
(ωcд
– сумма девиаций частот, образуемых за счет составляющих
модулирующего сигнала), имеют малую амплитуду и могут не приниматься во внимание.
4.3.6. Сравнение амплитудной, фазовой и частотной модуляций
Рассмотренные виды модуляций сравним по двум основным характери- стикам: средней мощности за период несущей частоты и ширине спектра. Не- обходимые для такого сравнения результаты были получены ранее. Обобщим их.
Средняя мощность АМ-колебаний за период несущей частоты изменяется,
так как изменяется амплитуда этих колебаний. Эта мощность в максимальном
режиме в
(1+ m)2
раз больше мощности немодулированного колебания. Шири-
на полосы частот, занимаемой спектром амплитудно-модулированных колеба-
ний, зависит от величины максимальной частоты
Ω max
модулирующего сигна-
ла и равна
2Ω max .
Средняя мощность ФМ- и ЧМ-колебаний за период несущей частоты по-
стоянна, так как амплитуда колебаний неизменна. Ширина полосы частот, за-
нимаемой спектром ФМ-колебаний, равная
∆ω = 2ωд
= 2kфUмΩ , зависит как
от амплитуды модулирующего сигнала
U м , так и от его частоты Ω . Ширина
полосы частот, занимаемой спектром ЧМ-колебаний, равная
∆ω = 2ωд
= 2kчU м , зависит только от амплитуды модулирующего сигнала и не
зависит от его частоты.
Таким образом, ширина спектра сигналов с угловой модуляцией примерно
в β раз больше ширины спектра АМ-колебаний. Так, например, для радиове-
щания
β =15 , т.е. ширина спектра колебаний с угловой модуляцией при мак-
симальной частоте модуляции
Fmax = 5 кГц составляет величину
2fд
= 2βFmax
= 150 кГц. Для этой же частоты модуляции ширина спектра АМ-
|
