Узкополосные сигналы
4.5.1. Общие сведения об узкополосных сигналах
В различных системах передачи информации широко применяются радио- сигналы с модуляцией, являющейся комбинацией рассмотренных ранее видов амплитудной, угловой и импульсной модуляций. Модулирующий сигнал может иметь достаточно сложный закон изменения. Однако ширина его спектра, как
правило, значительно меньше частоты ω0
несущего колебания. Это позволяет
отнести модулированные сигналы к классу узкополосных.
Узкополосный сигнал – это сигнал, эффективная ширина спектра которого
∆ωэф
значительно меньше центральной частоты
ω0 , вокруг которой группи-
руются спектральные составляющие сигнала. Физически такой сигнал относит-
ся к квазигармоническим сигналам, общее выражение для которых имеет вид
s(t) = A(t)cos[ω0t +ϕ(t)] = A(t)cosψ(t), (4.7)
В этом выражении
A(t)
– медленноменяющаяся функция времени, описывающая амплитуд-
ную огибающую данного сигнала;
ϕ(t )
ѓХ(t)
– фазовая функция сигнала;
– полная фаза сигнала.
Описание реального узкополосного сигнала в виде выражения (4.7) являет-
ся достаточно сложной задачей. Прямой путь решения задачи путем произволь-
ного задания одной из функций
A(t)
или
ѓХ(t)
и последующего определения
другой приводит, во-первых, к неоднозначности решения задачи, а во-вторых, –
к получению выражения, в котором
A(t)
не всегда является огибающей. В то
же время существует однозначный метод решения этой задачи.
Воспользуемся известным в теории методом комплексных амплитуд. Этот
метод предполагает представление гармонического сигнала
рической и комплексной формах, т.е.
s(t )
в тригономет-
s(t) = A0 cos(ω0t +ϕ)
и s(t ) = Re[ A0 e j(ω0t +ϕ)] = Re( Ae jω0t ) .
Здесь
A= A0e jϕ
– комплексная амплитуда сигнала, представляющая собой
|
начальной фазе.
Применительно к узкополосному сигналу комплексная амплитуда, кото- рую более правильно назвать комплексной огибающей, будет содержать всю информацию об основных параметрах (амплитуде и фазе), которые определя- ются модулирующим сигналом. Поэтому необходим метод, позволяющий од- нозначно представлять в комплексной форме любой узкополосный сигнал, что позволит обобщить понятие комплексной амплитуды и распространить его на узкополосные сигналы.
В основу такого метода положено представление вещественного (физиче-
ского) сигнала
s(t )
в виде аналитического сигнала с использованием преобра-
зования Гильберта (Д. Гильберт – немецкий математик).
4.5.2. Аналитический сигнал
Пусть сигнал описывается действительной функцией
можно поставить в соответствие комплексный сигнал вида
s(t) . Такому сигналу
z(t) = s(t) +
js1(t),
где
s1(t)
– сопряженный сигнал, полученный с помощью прямого преобразова-
ния Гильберта от сигнала
s(t) .
Прямое и обратное преобразования Гильберта имеют вид
∞ 1 ∞
s (τ)
s1(t) = ∫
s(τ)dτ ;
s(t) = −
∫ 1 dτ .
π −∞ t −τ
Определенный таким образом сигнал
z(t)
π −∞ t −τ
называется аналитическим.
Учитывая свойства комплексных функций, комплексный сигнал но представить следующим образом:
z(t)
мож-
z(t ) = s(t ) +
js1(t ) = A(t )e
jψ (t ),
| |
A(t) =
s2(t) + s2(t)
и ѓХ(t) = arctg s1 (t)
s(t)
– огибающая и полная фазы анали-
тического сигнала.
Огибающая аналитического сигнала является по существу огибающей ис-
ходного сигнала
s(t )
(доказательство этого имеется в [1,2]).
Учитывая, что
ѓХ(t ) = ω0t + ϕ(t ) , можно записать
z(t) = A(t)e jψ(t ) = A(t)e jϕ(t )e jω0t
= A(t)e jω0t .
Выражение
A(t) = A(t)e jϕ(t)
определяет комплексную амплитудную оги-
бающую аналитического сигнала.
Следовательно, для сигнала, представленного в произвольном виде, можно
определить амплитудную огибающую
A(t)
и фазовую функцию
ϕ(t ) , сформи-
ровав аналитический сигнал. Для этого достаточно получить мнимую часть аналитического сигнала, определив преобразование Гильберта от заданного сигнала.
Рассмотрим некоторые свойства аналитического сигнала. Для этого опре-
делим спектры и корреляционные функции сигнала
s1(t ) , комплексной ампли-
тудной огибающей
A (t)
и аналитического сигнала
z(t) .
4.5.3. Свойства аналитического сигнала
а. Спектральная плотность и корреляционная функция сигнала
s1(t)
Спектральная плотность
S1( jω)
сигнала
s1(t)равна
|
∫ s1(t)e−jωtdt = 1
∞ ⎛ ∞
∫ ⎜ ∫
s(τ) ⎞ − jωt
|
|
−∞ π
⎜ t −τ ⎟
|
Замена переменной:
x = t − τ;
t = x + τ;
dt = dx .
∞ ⎛ ∞ ⎞
∞ ⎛ ∞
⎞ − jω x
|
∫ ⎜ ∫
s(τ) dτ ⎟e−jω x e− jωτ dx = 1
∫ ⎜ ∫s(τ)e− jωτ dτ ⎟ e
|
|
−∞ ⎝−∞ ⎠
∞
⎜ ⎟
|
Учитывая, что
записать
∫s(τ)e− jωτ dτ
−∞
= S( jω)
– это спектр сигнала
s(t ) , можно
1 ⎛ ∞
cos jωx
∞ sin
jωx ⎞
S1( jω) = π
S( jω)⎜
|
dx − j
|
dx⎟.
x ⎟
⎝−∞
−∞ ⎠
Интегралы в полученном выражении равны [10]:
∞ sin
∫
⎧
|
ω = 0
∞ cos jωx
∫ x
−∞
dx = 0,
−∞ x ⎪
⎩ -
Окончательно получаем
⎧− jS(jω) при
⎪
ω> 0 ,
|
0 при
ω= 0 ,
Выводы.
⎪ jS(jω) при
ω< 0 .
1. Амплитудные спектры сигнала
s(t)
и сопряженного по Гильберту сиг-
нала
s1(t)
одинаковы. Следовательно, если сигнал
s(t)
– узкополосный, то сиг-
нал
s1(t)
также является узкополосным.
2. Фазовые спектры сигнала
s(t)
и сопряженного по Гильберту сигнала
s1(t)
отличаются на π
2 со знаком, противоположным знаку частоты. Следова-
тельно, сигналы
s(t) и
s1(t)
могут значительно отличаться по форме.
Корреляционная функция сигнала связана обратным преобразованием Фу-
рье с его амплитудным спектром. Выше было показано, что амплитудные спек-
тры сигнала
s(t)
и сопряженного по Гильберту сигнала
s1(t)
одинаковы. По-
этому можно сделать вывод, что корреляционная функция
R1(τ)
сигнала
s1(t)
равна корреляционной функции
∞
R(τ)
сигнала
s(t) , т.е.
∞
R1(τ) = 1
|
S2(ω)e− jωτ dω = 1
2π
| |
∫S2(ω)e− jωτ dω =R(τ).
−∞
б. Спектральная плотность и корреляционная функция комплексной
огибающей
A(t)
аналитического сигнала
Спектральная плотность комплексной огибающей равна
SA( jω) =
∞
∫A(t)e− jωtdt =
−∞
∞
∫z(t)e− jω0te− jωtdt =
−∞
∞
∫z(t)e− j(ω+ω0 )tdt.
−∞
Таким образом,
SA( jω) = Sz[ j(ω + ω0 )]
или
Sz ( jω) = SA[ j(ω −ω0 )],
где
Sz ( jω)
– спектр аналитического сигнала
z(t) .
| |
RA (τ)
комплексной
огибающей и корреляционной функцией
Rz (τ)
аналитического сигнала.
R (τ) = 1
A 2π
∞
∫ RA( jω)2e
−∞
jωτ
dω = 1
2π
∞
∫ Sz[ j(ω +ω0 ) e
−∞
jωτ
dω .
Замена переменной:
x = ω +ω0 ;
ω = x −ω0 ;
dω = dx .
Окончательно получим:
RA (τ) =
∞
∫ Sz ( jx)
2e jxτ e− jω 0τ dx = e− jω 0τ 1
∞
∫ Sz ( jx)
2e jxτ dx;
Выводы.
2π −∞
RA(τ) = Rz (τ)e− jω0τ
или
2π −∞
Rz (τ) = RA(τ)e jω0τ .
1. Спектр
SA( jω)
комплексной огибающей аналитического сигнала пред-
ставляет собой сдвинутый на ω0
влево спектр аналитического сигнала. Други-
ми словами, комплексная огибающая аналитического сигнала – это низкочас- тотный его эквивалент, а метод замены сигналов их комплексными огибающи- ми при анализе прохождения сигналов через различные цепи называется мето- дом комплексных огибающих, или методом низкочастотных эквивалентов. В общем случае спектр комплексной огибающей не является симметричным от- носительно нулевой частоты (рис. 4.19, в).
2. Между корреляционной функцией комплексной огибающей и корреля- ционной функцией аналитического сигнала существует достаточно простая связь.
в. Спектральная плотность и корреляционная функция аналитического сигнала
Аналитический сигнал
z(t) = s(t) +
js1(t) . Учитывая свойства преобразо-
вания Фурье, можно записать
Sz ( jω) = S( jω) +
jS1( jω).
⎧− jS(jω) при
⎪
ω > 0 ,
Так как
S1 ( jω) = ⎨
0 при
ω = 0 ,
|
ω < 0 ,
⎧2S(jω)при
⎪
ω> 0 ,
то Sz (jω) = ⎨
S (0) при
ω= 0 ,
|
ω< 0 .
Спектральная плотность аналитического сигнала существует только в об-
ласти положительных частот и равна удвоенной спектральной плотности ис-
ходного сигнала при
ω > 0
и спектральной плотности исходного сигнала при
|
(рис. 4.19,а,б).
Рис. 4.19. Амплитудные спектры физического сигнала (а), аналитического сигнала (б) и его комплексной огибающей (в)
Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье, можно получить следующую формулу для аналитического сигнала:
1 ∞ jωt 1 ∞
jωt
z(t) =
2π
∫Sz( jω)e
dω =
π
∫S( jω)e
dω . (4.8)
Связь спектральной плотности комплексной огибающей аналитического сигнала и спектральной плотности физического сигнала определяется выраже- нием
|
|
⎩ 0
при при
при
ω > −ω0 ,
ω = −ω0 ,
ω < −ω0 .
Полученный результат иллюстрируется рис. 4.19,в.
Пример.
Задан физический сигнал
s(t), имеющий равномерную спектральную
плотность
S0 в полосе частот
−ωm ≤ω ≤ωm . Определить аналитический сиг-
нал, соответствующий сигналу
s(t).
Для определения аналитического сигнала воспользуемся формулой (4.8).
1 ∞ jωt S
z(t) = ∫S( jω)e dω = 0
ωm
∫ ejωtdω =
S0 (e jωmt
−1).
π π jπ t
0 0
Учитывая, что
ему сигналы:
z(t) = s(t) +
js1(t ) , выделим физический и сопряженный
z(t) =
S0
jπt
(cosωmt+
jsinωmt −1)= S0 (sinωmt +
πt
j2sin2 ωmt
2) .
Следовательно,
s(t) = S0ωm
sinωmt
и s (t) = S0ωm
sin2
ωmt 2 .
π ω mt
1 π ωmt 2
Графики спектра физического сигнала, а также графики физического и со-
пряженного сигналов для данного примера приведены на рис. 4.20.
Определим связь корреляционной функции
R(τ)
узкополосного сигнала с
корреляционными функциями комплексной огибающей.
Rz (τ) и
RA (τ)
аналитического сигнала и его
Так как
z(t) = s(t) + js1(t) , то
s(t) = Re[z(t)]. Следовательно,
R(τ) =
∞
∫ s(t)s(t −τ)dt =
−∞
∞
∫Re[z(t)]Re[z(t −τ)]dt .
−∞
Рис. 4.20. Спектр физического сигнала (а), физический и сопряженный по
Гильберту сигналы (б)
Для комплексных чисел
x = a + jb и
y = c + jd
справедливо следующее
соотношение:
Re( x)Re( y) = 1 2 Re( xy ) +1 2 Re( xy ∗) . Тогда можно записать
R(τ) = 1
∞ 1
∫Re[z(t) z(t −τ)]dt + 2
−∞
∞
∫Re[z(t) z∗(t −τ)]dt . (4.9)
−∞
Определим значение первого слагаемого.
|
|
2 2
−∞
∞
∞
∫Re{[s(t) +
−∞
∞
js1(t)][s(t −τ) +
js1(t −τ)]}dt =
= 1 ∫ s(t)s(t − τ )dt − 1
1 1
∫s1(t)s1(t −τ)dt = R(τ)− R1(τ) = 0.
2 2 2 2
−∞ − ∞
Итак, первое слагаемое выражения (4.9) равно 0 в силу равенства корреля-
ционных функций сигналов
Таким образом,
∞
s(t) и
s1(t) .
∞
| |
∫Re[z(t)z∗(t −τ)]dt = 1 Re ∫
z(t)z∗(t −τ)dt = 1 Re[Rz(τ)].
−∞
В свою очередь так как
−∞
Rz (τ) = R A (τ)e − jω0τ , то
R(τ) = 1 Re[R
2 A
(τ)e− jω0τ ].
Получены важные соотношения между корреляционной функцией
R(τ)
узкополосного сигнала, корреляционной функцией
Rz(τ)
аналитического сиг-
нала и корреляционной функцией
ского сигнала.
RA (τ)
комплексной огибающей аналитиче-
Получим соотношение между энергиями физического и аналитического сигналов.
В соответствии с равенством Парсеваля энергия физического сигнала рав-
на
|
|
2π
S ( jω) 2dω = 1
π
−∞
∞
∫ S ( jω) 2dω .
В свою очередь энергия аналитического сигнала определяется соотноше-
нием
1 ∞ 2 1 ∞
2 2 ∞ 2
Эz =
2π
∫ Sz( jω)
−∞
dω =
2π
∫ 2S( jω)
dω =
π
∫ S( jω)
dω = 2Э .
Сравнение приведенных соотношений показывает, что энергия аналитиче- ского сигнала в 2 раза больше энергии физического сигнала. Это понятно, если учесть, что преобразование Гильберта не изменяет амплитудных соотношений в спектре сигнала.