Основные характеристики линейных цепей

5.2.1. Характеристики в частотной области

Спектральное представление сигналов делает весьма удобным их анализ в частотной области. При этом возможно решение задачи о прохождении различ- ных сигналов через линейные цепи, основанное на важном свойстве линейных цепей – справедливости принципа суперпозиции. Необходим только способ оп- ределения реакций на выходе цепи, возникающих под воздействием каждой спектральной составляющей. Выходной сигнал при этом можно получить в ре- зультате суммирования этих реакций. Такой способ расчета сигналов на выходе линейных цепей основан на использовании их частотных характеристик.

Характеристикой цепи в частотной области является ее передаточная функция, которая определяется в стационарном режиме как отношение ком- плексной амплитуды гармонического сигнала (напряжения или тока) на выходе цепи к комплексной амплитуде гармонического сигнала на ее входе. В зависи- мости от характера сигналов на входе и выходе цепи передаточная функция может иметь следующие свойства:

коэффициента передачи по напряжению

K( jω) = Uвых ;

Uвх

сопротивления

Z ( jω) = Uвых ;

вх

коэффициента передачи по току

K I ( jω) = вых;

вх

проводимости Y ( jω) =

Iвых .

Uвх

Наиболее часто используют первые две характеристики.

Коэффициент передачи по напряжению

K ( jω)

будем называть в дальней-

шем частотным коэффициентом передачи, или просто частотной характери- стикой. Однако надо иметь в виду, что в литературе эту частотную характери- стику называют по-разному: передаточной функцией [1,3], комплексным коэф- фициентом передачи [6], комплексной передаточной функцией [9], комплекс- ным коэффициентом усиления [7,12].

Передаточную функцию

нием.

Z ( jω)

будем называть комплексным сопротивле-

Частотный коэффициент передачи как комплексное число можно выразить в показательной форме через модуль и аргумент, т.е.

K ( jω) = Uвых

Uвх

= K (ω)e jϕ(ω) ,

K(ω) = Uвых ,

Uвх

ϕ(ω) = ϕ

вых

−ϕвх

. (5.1)

Модуль

K(ω)

называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ).

Эта характеристика определяет зависимость коэффициента усиления цепи по напряжению от частоты.

Аргумент

ϕ(ω)

называют фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Эта ха-

рактеристика определяет зависимость от частоты величины фазового сдвига,

который получает входной гармонический сигнал при прохождении через цепь.

Частотный коэффициент передачи определяют аналитически (методами контурных токов, узловых потенциалов, наложения и др.) или эксперименталь- но. Для экспериментального определения частотной характеристики цепи на ее вход подают гармонический сигнал с постоянной амплитудой и, изменяя его частоту, фиксируют амплитуду и фазу гармонического сигнала на выходе цепи (линейная цепь не изменяет формы сигнала). В силу определенных частотных свойств цепи амплитуда и фаза выходного сигнала будут изменяться. Опреде-

ляя отношение U вых U вх

и разность ϕвых −ϕвх

для каждого значения частоты

входного сигнала, можно получить зависимость коэффициента усиления по на- пряжению и фазового сдвига от частоты. Именно поэтому в вышеприведенных формулах эти параметры являются функциями частоты. Так как коэффициент усиления цепи в данном случае пропорционален амплитуде выходного напря- жения, то его зависимость от частоты получила название амплитудно- частотной характеристики. Тем не менее давать определение АЧХ как зависи- мости амплитуды от частоты будет некорректно (АЧХ – это характеристика це- пи, и такого параметра, как "амплитуда", у цепи нет).

Частотные характеристики описывают свойства цепи при воздействии гармонических сигналов. С их помощью можно определить реакцию цепи на заданное воздействие любой частоты и определить область частот, в пределах которой цепь выполняет свои функции полностью или частично.

В связи с этим используют понятие полосы пропускания цепи. Обычно это

область частот, где АЧХ имеет значение не менее 1

2 ≈ 0,707 своего макси-

мального значения. Значение, по которому определяют полосу пропускания линейной цепи, выбрано не случайно. Дело в том, что этот уровень определяет частотные границы, начиная с которых отношение выходной мощности к вход- ной уменьшается более чем в 2 раза. Наиболее же удобен при практических

расчетах нормированный модуль коэффициента передачи

мальная величина которого равна единице.

K (ω)

K max , макси-

В зависимости от соотношения величины полосы пропускания цепи

∆ωпр

и величины центральной частоты АЧХ ω0

различают узкополосные цепи и ши-

рокополосные. Узкополосная цепь – это цепь, у которой

∆ωпр

<< ω0 . Широко-

полосная цепь не удовлетворяет этому условию. В дальнейшем будут рассмот- рены примеры наиболее характерных и часто используемых узкополосных и широкополосных цепей.

5.2.2. Временные характеристики

Основными характеристиками линейных цепей во временной области яв- ляются импульсная и переходная характеристики. Эти характеристики позво- ляют определить выходной сигнал для любого входного воздействия, не обра- щаясь к спектральному представлению сигналов.

Импульсная характеристика цепи

h(t ) – это реакция цепи на сигнал, опи-

сываемый дельта-функцией

δ(t ) . Другими словами, выходной сигнал, форми-

руемый линейной цепью при поступлении на ее вход сигнала в виде дельта- функции, является импульсной характеристикой. На практике сигнал в виде дельта-функции – это импульс прямоугольной формы, имеющий большую ам- плитуду (в пределах линейного участка характеристики цепи) и длительность, которая намного меньше постоянной времени цепи.

Переходная характеристика цепи

ставляющий собой единичный скачок

g(t) – это реакция цепи на сигнал, пред-

σ(t). Таким образом, выходной сигнал,

формируемый линейной цепью при поступлении на ее вход сигнала в виде рез-

кого перепада, является переходной характеристикой.

Функциональная связь между временными характеристиками

h(t) и

g (t )

обусловлена взаимной зависимостью дельта-функции и единичного скачка

(производная и интеграл):

h(t ) = dg(t)

и g (t) = ∫h(t)dt .

Взаимная зависимость частотной и временных характеристик будет рас-

смотрена ниже.

Анализ линейных цепей с использованием частотных характеристик и ана- лиз с использованием временных характеристик равносильны по результатам. Выбор одного из этих подходов диктуется простотой вычислений, исходными данными в части, касающейся сигналов и цепей, и характером необходимых ре- зультатов.

Рассмотрим некоторые линейные цепи и их характеристики.