Дифференцирующая и интегрирующая цепи

 

 

На рис. 5.1,а представлена схема линейного четырехполюсника в виде по-

следовательной RC -цепи с постоянной времени τ

= RC . На входе цепи дейст-

вует напряжение

uвх (t ) , а выходное напряжение

uвых (t )

может сниматься либо

с сопротивления R , либо с конденсатора C . Определим зависимость выходного напряжения от входного для каждого из этих случаев. В соответствии со вто- рым законом Кирхгофа можно составить уравнение

uвх (t ) = Ri(t ) + C ∫i(t )dt , или

Cuвх(t) =τ i(t) + ∫i(t)dt .

Выполним анализ данного уравнения при большом и малом значениях τ .

1. Постоянная времени τ – малая величина.

duвх (t )

Тогда

Cuвх (t ) ≈ ∫i(t)dt

или

i(t ) ≈ C .

dt

В этом случае выходное напряжение, снимаемое с сопротивления R, будет

 

равно

uR (t) ≈τ

duвх (t) . Следовательно, если выходное напряжение снимать с

dt

сопротивления, то при малых значениях постоянной времени τ последователь-

ная RC -цепь может дифференцировать входной сигнал.

2. Постоянная времени τ – большая величина.

 

Тогда

Cuвх(t) ≈τ i(t )

 

или

i(t) ≈ Cuвх(t) =

τ

1 uвх(t).

R

В этом случае выходное напряжение, снимаемое с конденсатора C , будет

1 1

равно

uc(t) ≈ C ∫i(t)dt = τ

∫uвх(t)dt . Следовательно, если выходное напряже-

ние снимать с конденсатора, то при больших значениях постоянной времени τ

последовательная RC -цепь может интегрировать входной сигнал.

Схема дифференцирующей цепи представлена на рис. 5.1,б, интегрирую-

щей цепи – на рис. 5.1,в.

 

 

Рис. 5.1. Последовательная RC -цепь (а), дифференцирующая (б) и интегрирующая (в) цепи

 

 

5.3.1. Дифференцирующая цепь

 

Определим частотный коэффициент передачи

K ( jω)

дифференцирующей

цепи. Комплексная амплитуда тока в цепи определяется законом Ома

I=

Uвх .

R + 1

jωC

Следовательно, комплексная амплитуда выходного напряжения равна

U =IR =U

jωτ .

 

Отсюда:

вых

вх 1+

jωτ

 

 

с

частотный коэффициент передачи

K ( jω) = Uвых =

jωτ

 

 

; (5.2)

 

амплитудно-частотная характеристика

Uвх

K (ω) =

1 + jωτ ωτ ;

 

фазочастотная характеристика

ϕ(ω) = π

1+ω2τ 2

− arctgωτ .

Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 5.2,а.

Как следует из графика АЧХ, дифференцирующая цепь является фильтром

верхних частот. Определим частоту среза ωс

на уровне 1

2 ≈ 0,707:

K(ωс ) =

ωсτ =

с

1+ω2τ2

1 ; ω2τ 2

=1;

ωс =1 τ .

Для приближения к точному дифференцированию необходимо, чтобы на

всех частотах спектра входного сигнала соблюдалось неравенство ωτ

<< 1. То-

гда

K ( jω) ≈

jωτ

– частотная характеристика идеальной дифференцирующей

цепи.

 

 

5.3.2. Интегрирующая цепь

 

Определим частотный коэффициент передачи

пи. Если комплексная амплитуда тока в цепи равна

K ( jω)

интегрирующей це-

I=

Uвх ,

R + 1

jωC

то комплексная амплитуда выходного напряжения равна

 

 

Отсюда:

 

Uвых

= I 1

jωC

=Uвх

1 .

1+ jωτ

 

частотный коэффициент передачи

K ( jω) = Uвых

Uвх

= 1

1+ jωτ

 

; (5.3)

 

амплитудно-частотная характеристика

K (ω) =

1 ;

1+ω2τ 2

фазочастотная характеристика

ϕ(ω) = −arctgωτ.

Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 5.2,б.

Как следует из графика АЧХ, интегрирующая цепь является фильтром

нижних частот. Частота среза также равна 1τ .

Для приближения к точному интегрированию необходимо, чтобы на всех

частотах спектра входного сигнала соблюдалось неравенство

ωτ << 1. Тогда

K ( jω) ≈1 ωτ

– частотная характеристика идеальной интегрирующей цепи.

 

Рис. 5.2. АЧХ и ФЧХ дифференцирующей (а) и интегрирующей (б)

цепей