Параллельный колебательный контур

 

 

Параллельный колебательный контур – это частотно-избирательная цепь,

образованная параллельным соединением индуктивности L и емкости C . Ак-

тивные потери контура учитываются сопротивлением R , которое подключается последовательно или параллельно (рис. 5.4а,б). Контур широко используется как самостоятельно (полосовой фильтр), так и в составе различных радиотехни- ческих устройств (автогенераторов, модуляторов, преобразователей частоты и др.).

 

Рис. 5.3. Фильтр нижних частот (а), АЧХ и ФЧХ фильтра (б)

 

 

Основные параметры контура и их математические выражения [4,7]:

 

1. Резонансная частота контура

ωp = 1 .

LC

2. Добротность контура (рис. 5.4,а)

Q = ρ

R , добротность контура

(рис. 5.4,б) Q = R ρ .

3. Волновое сопротивление ρ =

L C = 1 ω pC = ωpL .

4. Затухание контура

d =1 Q .

 

Рис. 5.4. Параллельный колебательный контур с последовательным (а) и параллельным (б) включением сопротивления потерь

 

 

Для описания частотно-избирательных свойств параллельного контура

применяют комплексное входное сопротивление

Z ( jω)

и частотные коэффи-

циенты передачи по току теристики контура.

K i ( jω)

и напряжению

K u ( jω)

– резонансные харак-

Комплексное входное сопротивление является основной характеристикой контура. Оно равно отношению комплексной амплитуды выходного напряже- ния к комплексной амплитуде тока в контуре. Определим эту характеристику для контура, изображенного на рис. 5.4, а:

Z ( jω) =

 

U

вх =

I

1 (R +

jωC

jωL)

.

jωC

+ R +

jωL

ω

Полагаем, что потери в контуре малы. Это позволяет в области резонанс-

ной частоты считать, что

R << ωL . Тогда

 

 

Z( jω) = L C =

L RC =

L RC .

⎜

⎜

⎟

R + j⎛ωL− = 1 ⎞

1+ j =1 ⎛ωL− = 1 ⎞

1+ j 1

⎛ ω ⎞

L

p

⎝

⎟

ω

⎠

⎜ − ⎟

⎝ ωC ⎠

R ⎝ ωC ⎠

R C ⎜ωp ⎟

 

 

Как видно из данной формулы, при резонансе, когда

ω = ωp, входное со-

противление контура носит резистивный характер. Оно называется резонанс-

ным сопротивлением и равно

L ρ2 2

Z( jω) = =

RC

R = Q R = R0.

Продолжая преобразования формулы для

Z ( jω) , получим

 

 

Z ( jω) = R0

= R0 ,

ω ω p

1 + j ρ ξ

p

R

1 + jQξ

где ξ = −

ωp ω

тура.

– частотная расстройка,

Qξ – обобщенная расстройка кон-

При малых расстройках в области частот, близких к резонансной

(ω ≈ ωp ) , можно записать

 

 

⎛ ω

Qξ = Q⎜

⎜

ω ⎞ ω2

ω

− = ⎟ = Q

−ω2

≈ Q 2(ω −ωp)

= Q 2∆ω .

p

⎠

⎝ωp ⎟

ω pω

ω p ω p

Таким образом, комплексное входное сопротивление контура равно

Z( jω) = R0 =

R0 e− jarctgQξ

= Z(ω)e jϕ (ω ) . (5.5)

 

 

Здесь

1+ jQξ

1+ Q2ξ 2

Z (ω) =

R0

1 + Q 2ξ 2

 

– модуль входного сопротивления контура. Зависи-

мость модуля входного сопротивления контура от частоты является амплитуд-

но-частотной характеристикой контура;

ϕ(ω) = −arctgQξ

– аргумент входного сопротивления контура. Зависи-

мость аргумента входного сопротивления контура от частоты является фазо-

частотной характеристикой контура.

Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики параллельного ко-

лебательного контура при различных значениях добротности приведены на рис.

5.5.

 

Рис. 5.5. АЧХ (а) и ФЧХ (б) параллельного колебательного контура

 

 

Определим полосу пропускания контура на уровне 1 2 :

 

 

R0 =

1 R ;

Q 2ξ 2

=1 ;

ωp

∆ω = .

1 + Q 2ξ 2 2

пр Q

Отсюда следует: Q = f p

(∆fпр ). Данное определение добротности предос-

тавляет возможность ее экспериментального измерения.