Реактивная и комплексная обратная связь

Реактивная обратная связь устанавливается при условии

ϕ(ω) +ϕβ (ω) = 2kπ +π

2 , т.е. при поступлении на вход основной цепи сигнала

обратной связи с фазовым сдвигом относительно входного сигнала, равным

 

π 2 . В этом случае

e j[ϕ(ω)+ϕβ (ω)] =

 

j и модуль коэффициента передачи равен

 

K oc

(ω) =

K (ω) .

1 + K 2(ω)β2(ω)

В данном случае отрицательная обратная связь также может уменьшать энергию входного воздействия основной цепи, что приводит к уменьшению модуля коэффициента передачи цепи с обратной связью.

При остальных значениях суммарного фазового сдвига

 

ратная связь будет комплексной.

ϕ(ω)+ϕβ (ω)

об-

В общем случае величина суммарного фазового сдвига в цепи с обратной связью зависит от частоты. Поэтому характер обратной связи также во многом определяется рабочим частотным диапазоном цепи.

Таким образом, частотные свойства цепи с обратной связью зависят от

K (ω)

и β(ω). При необходимости изменить какие-либо характеристики основ-

ной цепи с коэффициентом передачи

K ( jω)

можно, не изменяя структуры и

параметров этой цепи, ввести обратную связь с соответствующим коэффициен-

том

β(ω)и получить требуемые характеристики цепи в целом.

Рассмотрим целесообразность использования обратной связи.

 

 

5.7.2. Стабилизация коэффициента усиления

 

 

Определим относительную нестабильность коэффициента передачи цепи с обратной связью.

Полагаем, что рассматриваемая цепь представляет собой усилитель, охва- ченный отрицательной обратной связью. Коэффициент усиления усилителя и коэффициент передачи цепи обратной связи в определенном диапазоне частот

являются действительными величинами, т.е.

K( jω) = K

и β( jω) = β . Для

оценки нестабильности коэффициента усиления определим значение парамет-

ра, определяемого выражением ε

= dKoc Kос

и характеризующего относитель-

ное изменение коэффициента передачи цепи с обратной связью:

 

K oc

= K ;

1 + Kβ

dK oc

dK

= (1 + Kβ) − Kβ

(1 + Kβ)2

= 1

(1 + Kβ)2

= K 1

K (1 + Kβ)2

= K oc

K

1 .

1 + Kβ

 

Тогда

dK oc

Koc

= 1

1+ Kβ

dK .

K

Таким образом, относительное изменение коэффициента усиления усили- теля, охваченного обратной связью, может сильно отличаться от относительно- го изменения коэффициента усиления при отсутствии обратной связи. При этом

если обратная связь отрицательная, то относительная нестабильность коэффи-

циента усиления уменьшается. Например, при

Kβ >>1

относительная неста-

бильность падает в Kβ

раз. В данном случае коэффициент усиления цепи с об-

ратной связью определяется только значением β , т.е. не зависит от нестабиль-

ности коэффициента усиления усилителя без ОС.

 

 

5.7.3. Коррекция амплитудно-частотной характеристики

 

 

Применение отрицательной обратной связи позволяет уменьшить относи- тельное изменение частотного коэффициента передачи, т.е. реализовать "вы- равнивание" АЧХ.

Рассмотрим резонансный усилитель с частотным коэффициентом передачи

K ( jω) = −

1 +

K0 .

j∆ωτэк

Охватив этот усилитель цепью частотно-независимой отрицательной об-

ратной связи, получим

 

Koc

( jω) =

K ( jω)

1+ K ( jω)β

= 1+

1+

1+

K0

j∆ωτэк

K0 β

j∆ωτэк

= K0

1+ K0β +

 

.

j∆ωτэк

Таким образом, АЧХ усилителя, охваченного отрицательной обратной свя-

зью, определяется выражением

K

Koc (ω) = 0 .

(1+ K0 β)2+ (∆ωτэк )2

На рис. 5.12 приведено семейство АЧХ с различными уровнями обратной

связи, т.е. различными значениями

K 0 β . Из рисунка видно, что график АЧХ

цепи с обратной связью значительно ровнее, чем график АЧХ цепи без обрат-

ной связи. Выравнивание АЧХ цепи с обратной связью сопровождается сниже-

нием графика

Kос(ω), т.е. уменьшением коэффициента усиления, что является

результатом действия отрицательной обратной связи.

 

 

5.7.4. Подавление нелинейных искажений

 

 

Нелинейность характеристик элементов цепи приводит к возникновению высших (паразитных) гармоник в спектре преобразуемого сигнала, что является причиной нелинейных искажений. Внутренние шумы активных цепей, особен- но шумы выходного каскада в многокаскадном усилителе, представляющем со- бой последовательное соединение одиночных усилительных каскадов, также могут привести к искажениям выходных сигналов. Оценим влияние обратной связи на величину этих искажений.

 

 

Рис. 5.12. Влияние обратной связи на АЧХ

 

 

Предположим, что паразитный сигнал, соответствующий нежелательным высшим гармоникам, появляется внутри активного элемента. Место его появ- ления делит активный элемент на две каскадно включенные части с коэффици-

ентами передачи

K1 (jω) и

K 2 (jω)

(рис. 5.13).

 

Рис. 5.13. Подавление паразитного сигнала с помощью цепи обратной связи

 

 

Введем отрицательную обратную связь. Тогда для паразитного сигнала частотный коэффициент передачи будет иметь вид

K п(jω) =

K 2(jω) .

1+ K1(jω)K 2(jω)β(jω)

Следовательно, паразитный сигнал (нежелательные гармонические состав-

ляющие или шумы) на выходе цепи с отрицательной обратной связью будет в

[1 + K1 ( jω)K 2 ( jω)β( jω)]

раз меньше, чем в случае отсутствия обратной связи.

Ослабление паразитного сигнала особенно существенно, если наблюдается в

пределах эффективной полосы пропускания

K 2 (ω) >> K1 (ω) . Заметим, что

введение отрицательной обратной связи приводит к ослаблению и полезного сигнала. Однако его ослабление можно компенсировать предварительным или последующим усилением.

 

5.7.5. Устойчивость цепей с обратной связью

а. Понятие об устойчивости

 

 

Система устойчива, если, выведенная из состояния равновесия, она в него возвращается. По существу в устойчивой системе при нулевом входном сигнале выходной сигнал затухает при любых начальных условиях, т.е.

lim

t → ∞

sвых (t) = 0

при

sвх (t) = 0.

Применение обратной связи тесно связано с проблемой обеспечения ус- тойчивости. Устойчивость может быть нарушена в силу наличия в структуре цепи реактивных элементов (паразитные емкости монтажа, индуктивности про- водов, межэлектродные емкости транзисторов), способных накапливать энер- гию и создавать дополнительные фазовые сдвиги. Поэтому при проектировании и исследовании различных цепей большое значение имеют методы определения устойчивости цепи.

В настоящее время известно несколько критериев устойчивости, разли- чающихся в основном по форме, а не по содержанию. В основе их лежит идея устойчивости решений однородного дифференциального уравнения, описы- вающего свободные (собственные) колебания цепи после исчезновения возму- щающих сил, т.е.

a

d nuвых(t)

n dt n

+ an−1

dn−1uвых(t )

dt n−1

+...

+ a1

duвых(t)

dt

+ a0uвых

 

(t)

= 0.

Решение уравнения, как известно, имеет вид

n

uвых(t) =

∑ Ai e pi t ,

i =1

где

Ai – постоянные числа, определяемые из n начальных условий;

pi – корни характеристического уравнения

Q(p) = an pn

+ an−1p

n−1

+... + a1p + a0 ,

an > 0 ,

a0 ≠ 0 ,

n ≥ 1.

Корни характеристического уравнения являются в общем случае ком-

плексными числами, т.е.

pi =αi +

jωi .

Для устойчивой цепи входящие в решение дифференциального уравнения экспоненты должны быть затухающими. Это значит, что корни характеристи- ческого уравнения должны быть либо отрицательными вещественными числа- ми, либо комплексными числами с отрицательными действительными частями.

Таким образом, можно сформулировать следующий основной критерий устойчивости линейных цепей: линейная цепь устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны.

Пользоваться этим критерием для систем, описываемых дифференциаль-

ными уравнениями выше второго порядка, затруднительно. Поэтому были раз- работаны специальные критерии устойчивости, позволяющие судить об устой- чивости любой цепи без решения характеристического уравнения.

б. Критерий устойчивости Гурвица

 

 

Критерий швейцарского математика А. Гурвица относится к алгебраиче- ским критериям устойчивости. Он позволяет судить об устойчивости системы по результатам анализа соотношений между коэффициентами характеристиче- ского уравнения без определения его корней:

Для того чтобы корни характеристического уравнения имели отрица-

тельные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы выполня-

лись неравенства

∆1 > 0 ,

∆2 > 0 ,

∆3 > 0 , … ,

∆n > 0 .

Здесь

∆1,

∆2 ,

∆3 ,… – последовательные определители, равные

∆1 = an−1 ;

∆2 =

an−1

an−3 ,

∆3 =

an−1

an

an−3

an−2

an−5

an−4

 

 

, . . . .

an an−2

0 an−1

an−3

Последовательные определители равны главным диагональным минорам матрицы Гурвица

an−1

an

H = 0

an−3

an−2

an−1

an−5……0

an−4 ……0

an−3……0 ,

 

ai = 0 при i < 0

 

и i > n.

…………………………...

0 0………………a0

 

 

Последний столбец матрицы H содержит лишь один отличный от нуля

элемент

a0 , расположенный на главной диагонали. Поэтому

∆n = a0∆n−1.

Следовательно, условия устойчивости можно записать в виде

∆1 > 0,

∆2 > 0,

∆3 > 0 , … ,

∆n−1 > 0 ,

a0 > 0 .

Данный критерий позволяет проверить устойчивость системы при задан- ных параметрах (коэффициентах дифференциального уравнения). В то же вре- мя им невозможно пользоваться при экспериментальных исследованиях, когда известны только частотные характеристики прямой и обратной цепей. Трудно также определить параметры, изменение которых приводит к устойчивости це- пи.

 

 

Пример.

Резонансный усилитель с положительной ОС при определенных условиях может работать как автогенератор гармонических колебаний. На рис. 5.14 пред- ставлена схема такого автогенератора, называемого LC- генератором.

 

 

Рис. 5.14. Схема LC-генератора

 

 

Дифференциальное уравнение резонансного усилителя с трансформатор-

ной положительной ОС имеет вид

d 2u

 

вых

(t )

+ 2αэкв

duвых

(t )

+ω2u (t ) = 0,

 

 

Здесь

dt 2 dt

uвых (t )

– напряжение на выходе генератора;

р вых

ωp – резонансная частота контура;

−

⎜

α = = 1 ⎛ 1

= SM ⎞

⎟

 

– эквивалентный коэффициент затухания.

экв

2C ⎝ R н L ⎠

Запишем характеристическое уравнение

p 2 + 2α

экв

p + ω 2

= 0.

В соответствии с критерием Гурвица получаются следующие условия ус-

тойчивости:

∆1 = 2αэкв

> 0;

∆2 =

2αэкв

р

2 = 2α

ω2 > 0.

1 ωр

экв р

Система будет устойчивой при следующих соотношениях между парамет-

рами схемы:

= 1 ⎛ 1

SM ⎞ 2

1 SM

1 M 1

⎜ −

2C ⎝ R н

⎟ωp

L ⎠

> 0;

> ;

R н L

> ;

SRн L

> β .

K0

Окончательно получим

K0 β

<1.

Таким образом, рассматриваемая система с положительной обратной свя-

зью устойчиво работает как усилитель, если коэффициент усиления разомкну-

той цепи удовлетворяет условию

K oβ

<1. В свою очередь при

K oβ

=1 систе-

ма находится на границе устойчивости, а при стоянии, т.е. работает как генератор.

K oβ >1

– в неустойчивом со-

Последние условия являются условиями работы LC-генератора и называ-

ются "баланс амплитуд". При

K oβ

>1 генератор работает в переходном режи-

ме (при включении питания), при

K oβ

=1 – в стационарном режиме.

 

 

в. Критерий устойчивости Найквиста

 

 

Критерий американского ученого Найквиста относится к частотным кри- териям. Для анализа устойчивости используется частотный коэффициент пере- дачи цепи с обратной связью

K oc (jω) =

K ( jω) .

1− K ( jω)β(jω)

Глубина и характер обратной связи определяется величиной

1− K ( jω)β(jω).

При

K ( jω)β(jω) → 1 цепь с обратной связью приближается к границе ус-

тойчивости. При

K ( jω)β(jω) >1

цепь с положительной ОС работает в неус-

тойчивом режиме (в режиме самовозбуждения). Поэтому в основу рассматри- ваемого критерия положен геометрический метод определения следующих ус- ловий:

K(ω)β(ω) < 1

и ϕ(ω)+ϕβ (ω) = 2kπ .

Для этого рассматривается коэффициент передачи цепи с разомкнутой об-

ратной связью

K р( jω) = K ( jω)β( jω) = A(ω) +

jB(ω)

и строится годограф

K р (jω)

как функция частоты ω на плоскости [ A(ω),

B(ω)].

Формулировка критерия Найквиста.

Система с обратной связью будет устойчивой, если годограф коэффици-

ента передачи разомкнутой системы не охватывает точку (1, 0) на комплекс-

ной плоскости [A(ω),

B(ω)].

На рис. 5.15,а приведен годограф устойчивой системы, описываемой диф- ференциальным уравнением второго порядка, а на рис. 15.15,б – годограф неус- тойчивой системы.

 

 

а б

 

Рис. 5.15. Годографы устойчивой (а) и неустойчивой (б) цепей с ОС

г. Критерий устойчивости Михайлова

 

 

Критерий русского ученого Михайлова относится к аналитическим крите- риям. Для анализа устойчивости используется характеристическое уравнение цепи с обратной связью, т.е. уравнение вида

Q(p) = an pn

+ an−1p

n−1

+... + a1p + a0 .

Подставив в данное уравнение

ная, получим

p = jω, где ω – действительная перемен-

Q( jω) = an( jω)n + an−1(jω)n−1 +... + a1( jω)+ a0

= A(ω)+

jB(ω).

Годограф функции

Q( jω) = A(ω)+

jB(ω), получающийся на комплексной

плоскости [ A(ω),

B(ω)]

при изменении частоты ω от 0 до ∞, называется кри-

вой (годографом) Михайлова.

Формулировка критерия Михайлова.

Для того чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно,

чтобы годограф функции

Q( jω)

при изменении ω от 0 до ∞ последовательно

прошел против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, начи-

наясь на действительной оси (при ω = 0

Q( jω) = a0 ).

На рис. 5.16,а приведены годографы устойчивых систем, описываемых дифференциальными уравнениями различного порядка, а на рис. 5.16,б – годо- графы неустойчивых систем.

 

 

а б

Рис. 5.16. Годографы устойчивых (а) и неустойчивых (б) систем с обратной связью

 

 

Критерий Михайлова применяется в тех случаях, когда возникает необхо- димость оценить влияние изменений структуры и параметров системы на ее ус- тойчивость.